第五章利率理論

1、第五章 利率理論 本章概述本章主要介紹利率的有關(guān)理論，包括利率的期限結(jié)構(gòu)和債券理論。首先，我們結(jié)合零息票介紹了單利、復(fù)利、連續(xù)復(fù)利和利率的期限結(jié)構(gòu)曲線(xiàn)。利率的期限結(jié)構(gòu) 是現(xiàn)代金融理論中非常重要的一部分內(nèi)容，也是至今學(xué)術(shù)界仍然再研究的一個(gè)領(lǐng)域。根據(jù)利率期限結(jié)構(gòu)解釋理論中的預(yù)期理論，影響利率期限結(jié)構(gòu)的一個(gè)主要因素就 是短期利率未來(lái)的變化，因此本章還介紹了利率的跨時(shí)演進(jìn)模型，以及如何在無(wú)套利均衡下，通過(guò)短期利率的變化構(gòu)造整個(gè)期限結(jié)構(gòu)曲線(xiàn)。最后，本章還介紹了債券 的定價(jià)，在介紹債券三種定價(jià)思路的基礎(chǔ)上，引進(jìn)了債券的久期和凸度的概念。 第一節(jié) 利率的期限結(jié)構(gòu)1.1 零息票收益率和利率期限結(jié)構(gòu)曲線(xiàn)一、單利

2、、復(fù)利和連續(xù)復(fù)利在計(jì)算利率的時(shí)候，如果利息并不產(chǎn)生利息，也即前期的利息并不重新再投資，則可以得到單利，反之則得到復(fù)利。假設(shè)數(shù)額A以利率R投資了n年。如果一年計(jì)一次復(fù)利，則上述投資的終值為： 如果每年計(jì)m次復(fù)利，則終值為： 當(dāng)m趨于無(wú)窮大時(shí)，就稱(chēng)為連續(xù)復(fù)利（Continuous compounding），此時(shí)的終值為 其中，e約等于2.71828。表51顯示了提高復(fù)利頻率所帶來(lái)的效果。從表中可以看出，連續(xù)復(fù)利（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）與每天計(jì)復(fù)利的效果一樣。因此，實(shí)際運(yùn)用中通常可以認(rèn)為連續(xù)復(fù)利與每天計(jì)復(fù)利等價(jià)。表51復(fù)利頻率與終值提高計(jì)復(fù)利的頻率對(duì)100元在一年末終值的影響，利率為每年10% 復(fù)利頻

3、率100元在一年末的終值（單位:元，取兩位小數(shù)） 每一年（m=1） 每半年（m=2） 每季度（m=4） 每 月（m=12） 每 周（m=52） 每 天（m=365） 連續(xù)復(fù)利 110.00 110.25 110.38 110.47 110.51 110.52 110.52 假設(shè)是連續(xù)復(fù)利的利率，是與之等價(jià)的每年計(jì)m次復(fù)利的利率，從上式可得： 或 這意味著： 利用以上兩個(gè)式子，我們就可以實(shí)現(xiàn)每年計(jì)m次復(fù)利的利率與連續(xù)復(fù)利之間的轉(zhuǎn)換。 特別地，當(dāng)m=1時(shí)， 二、零息票收益率零息票是指到期日以前沒(méi)有利息的債券，這種債券面值和當(dāng)前價(jià)格的比值反映的收益率暗含了期限為到期日的復(fù)利大小。不同到期日零息票的收

4、益率和到期日之間的關(guān)系構(gòu)成了利率的期限結(jié)構(gòu)曲線(xiàn)。 三、利率期限結(jié)構(gòu)曲線(xiàn)的變化利率期限結(jié)構(gòu)是市場(chǎng)對(duì)未來(lái)短期利率變化的預(yù)期的反映，與短期利率有著密切的關(guān)系。由于短期利率的變化是多樣的，因此導(dǎo)致利率期限結(jié)構(gòu)隨著時(shí)間的演變也 是復(fù)雜的。經(jīng)過(guò)理論分析和實(shí)證研究發(fā)現(xiàn)，期限結(jié)構(gòu)的變化可以分解為以下幾種典型變化：平行移動(dòng)，也即不同到期期限的利率全部增加或者減少相等的數(shù)值；陡緩 變化，也即短期利率變化和長(zhǎng)期利率變化幅度不同，短期的幅度小，曲線(xiàn)變平緩，反之曲線(xiàn)變陡峭；蝶式變化，也即中期利率變化和長(zhǎng)期短期利率變化幅度不同，像 蝴蝶扇動(dòng)翅膀一樣；還有一種特殊變化，也即短期端變化，中長(zhǎng)期利率不發(fā)生變動(dòng)。四、幾種解釋理論

5、對(duì)于利率期限結(jié)構(gòu)的解釋?zhuān)恢倍际墙鹑趯W(xué)爭(zhēng)論的重要領(lǐng)域。一般有三類(lèi)解釋?zhuān)謩e是：預(yù)期理論、流動(dòng)性偏好理論和期限偏好理論。預(yù)期理論又分為完全預(yù)期理論和有限預(yù)期理論。而期限偏好理論一般強(qiáng)調(diào)不同期限的債券形成了不同的分割市場(chǎng)，不同投資者在不同市場(chǎng)交易，從而形成相互之間沒(méi)有關(guān)系的短期、中期和長(zhǎng)期利率。1.2 利率的跨時(shí)演變模型一、連續(xù)時(shí)間模型短期利率的跨時(shí)演變模型有Ho-Lee模型、Salomon Brothers模型、Black-Derman-Toy模型和Black-Karasinski模型。這些模型有連續(xù)時(shí)間版本和離散時(shí)間版本。經(jīng)過(guò)多年的實(shí)證研究，研究者發(fā)現(xiàn)均值回復(fù)過(guò)程能夠比較好的描述短期利率變動(dòng)，

6、也即： 在無(wú)套利均衡條件下，不同到期期限的零息票和短期利率之間滿(mǎn)足以下仿射關(guān)系： 二、離散時(shí)間模型與多步二叉樹(shù)一般我們用多步的二叉樹(shù)模型來(lái)描述利率的跨時(shí)演變。如下圖： 假設(shè)每一步演變有兩種情況，記第n+1期的T期利率相對(duì)第n期T期利率的上漲比率和下跌比率分別為：U(T)和D(T)， U(T)D(T)=1；T=1時(shí)，即為第n+1期的短期利率相對(duì)第n期短期利率的變化比率，記U(1)=U和D(1)=D。三、利率期限結(jié)構(gòu)曲線(xiàn)和利率的跨時(shí)演變記第n期還剩T期的零息票價(jià)格為：，該債券在第n+1期還剩T-1期，價(jià)格為：。假設(shè)未來(lái)兩種情況，未來(lái)價(jià)格相對(duì)當(dāng)前價(jià)格上漲比率u(T-1)和下跌比率d(T-1)分別滿(mǎn)足

7、： 則 根據(jù)多步二叉樹(shù)的構(gòu)造方法，我們知道第n期還剩T期到期的零息票到第n+2期的價(jià)格可以經(jīng)過(guò)上漲再下跌或者下跌再上漲得到，這兩條路徑的結(jié)果應(yīng)該一樣，也即 由 化簡(jiǎn)得到邊界條件：u(T-2)d(T-1)u(1)=d(T-2)u(T-1)d(1)。 用某種資產(chǎn)對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)，n期和n+1期價(jià)格分別為：。無(wú)套利條件為： 記對(duì)沖資產(chǎn)上漲價(jià)格和下跌價(jià)格分別為：Su和Sd。 由（1）得： 代入（2）得： 如果風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖資產(chǎn)為還剩T+1期的零息債券，價(jià)格上漲比率和下跌比率分別為：u(T)和d(T)，則和，代入（3）可得 u(T)-d(T)=1-d(T)u(T -1)+u(T)-1d(T -1)該式和邊界條件給出了

8、u(T)和d(T)的迭代關(guān)系，也即在無(wú)套利條件下，給定短期利率未來(lái)的變化（即u(1)和d(1)或者U(1)和D(1)），迭代以上差分方程，就可以得到各個(gè)不同到期期限利率的跨時(shí)演變。四、利率期限結(jié)構(gòu)曲線(xiàn)和遠(yuǎn)期利率、利率預(yù)期如果風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖資產(chǎn)為利率遠(yuǎn)期協(xié)議，即當(dāng)前（第n期）簽訂的協(xié)議，約定第n+1期還剩T-1期的零息票的價(jià)格為。該協(xié)議當(dāng)前價(jià)值為S=0，未來(lái)的損益為： 代入（3）可得： 將結(jié)論推廣可以得到，當(dāng)前t，T時(shí)刻利率r，T*時(shí)刻利率r*，T*T，當(dāng)前 T*到T之間的遠(yuǎn)期利率為，則單利情形有： 連續(xù)復(fù)利情形有： 即有，故 第二節(jié) 債券定價(jià)理論2.1 債券定價(jià)一、定價(jià)根據(jù)第四章的資產(chǎn)定價(jià)理論，我們

9、知道債券定價(jià)有三種思路。第一種思路，將未來(lái)各期的利息逐期貼現(xiàn)，因?yàn)槲磥?lái)的貼現(xiàn)率是不確定的，因此需要求期望值；第二種思路，將用未來(lái)各期的利息按照當(dāng)前相應(yīng)期限的利率進(jìn)行貼現(xiàn)。也即， 和 其中，表示第j-1期至第j期的短期利率，表示當(dāng)前的i期利率。 第三種思路見(jiàn)到期收益率部分。二、到期收益率換個(gè)角度分析，假如債券未來(lái)的現(xiàn)金流重新再投資，由于當(dāng)前并不知道未來(lái)再投資能夠獲得的收益率，我們假設(shè)未來(lái)各期現(xiàn)金流再投資的收益率相等，這個(gè)收益率為y，那么債券未來(lái)現(xiàn)金流的到期價(jià)值為， 當(dāng)前購(gòu)買(mǎi)債券的現(xiàn)金流按照同樣的收益率一直到期，得到的到期價(jià)值為， 這兩個(gè)到期價(jià)值應(yīng)該相等，因此可以得到 收益率y就稱(chēng)為債券的到期收益

10、率，或者債券的內(nèi)部收益率。三、浮動(dòng)利息債券定價(jià)由于浮動(dòng)利息債券未來(lái)的現(xiàn)金流不確定，不能用前面的定價(jià)公式。由于浮動(dòng)利息債券的票面利率通常在重新設(shè)定日時(shí)定為市場(chǎng)利率，因此浮動(dòng)利息債券在重新設(shè) 定日，價(jià)格和面值相等，否則會(huì)出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)。在重新設(shè)定日，除了面值以外，浮動(dòng)利息債券還將獲得上一期的浮動(dòng)利息，所以浮動(dòng)利息債券當(dāng)前價(jià)格應(yīng)該等于面值 與上一期利息之和按照市場(chǎng)利率貼現(xiàn)得到，也即 其中，L表示浮動(dòng)利息債券的面值，表示上一期設(shè)定的浮動(dòng)利息，為到下一重新設(shè)定日的市場(chǎng)利率，連續(xù)復(fù)利的形式。四、信用價(jià)差對(duì)于企業(yè)債券等非主權(quán)債券的到期收益率相對(duì)于國(guó)債的到期收益率有一個(gè)差額，用來(lái)補(bǔ)償企業(yè)債券的違約風(fēng)險(xiǎn)，這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)

11、溢價(jià)稱(chēng)為信用價(jià)差。五、解鞋帶法由于市場(chǎng)上多數(shù)債券是附息債券，零息票一般只是短期國(guó)債或者票據(jù)，因此并沒(méi)有直接的利率收益率曲線(xiàn)。我們通過(guò)解鞋帶法（Bootstrap）可以將市場(chǎng)上附息債券的價(jià)格生成利率收益率曲線(xiàn)。 比如，有五只附息債券，有關(guān)信息如下：債券本金 到期期限年息票債券價(jià)格1000.25097.51000.50094.91001.00090.01001.50896.01002.0012101.6記、和分別為到期期限為三個(gè)月、半年、一年、一年半和兩年的利率。從例子中可以看出， 以上三式可以解得、和。代入下式， 可以解得。、和代入下式， 可以解得。以此類(lèi)推可以求得整個(gè)利率期限結(jié)構(gòu)曲線(xiàn)。2.2 久期和凸度一、久期可以從兩個(gè)方面去理解久期。第一，久期表示債券價(jià)格變動(dòng)百分比相對(duì)于到期收益率變動(dòng)的比率，也即， 從這個(gè)方面理解，久期度量了債券價(jià)格相對(duì)于到期收益率這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)