第六章 誤差理論的基本知識

1、第六章第六章 誤差理論誤差理論的基本知識的基本知識主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容v測量誤差概述測量誤差概述v偶然誤差的特性偶然誤差的特性v衡量精度的標準衡量精度的標準v觀測值的算術平均值觀測值的算術平均值v基本要求：基本要求： 掌握產(chǎn)生誤差的原因和測量誤差分類，偶然誤差的特掌握產(chǎn)生誤差的原因和測量誤差分類，偶然誤差的特性，以及評定精度的指標。性，以及評定精度的指標。v重點：重點：產(chǎn)生誤差的原因和測量誤差分類，算術平均值以及衡量產(chǎn)生誤差的原因和測量誤差分類，算術平均值以及衡量精度的標準。精度的標準。v難點：難點： 觀測值的中誤差。觀測值的中誤差。第一節(jié)第一節(jié) 誤差概述誤差概述什么是誤差什么是誤差誤差（誤

2、差（Error)（真誤差）（真誤差）： 觀測值觀測值L與真值與真值X的差值。的差值。 = L X = L X真值真值X X：反映一個量真正大小的絕對準確的：反映一個量真正大小的絕對準確的數(shù)值。數(shù)值。 1 1、觀測誤差產(chǎn)生的原因、觀測誤差產(chǎn)生的原因： 人人-觀測者感覺器官的觀測者感覺器官的鑒別力的局限鑒別力的局限 儀器儀器-測量儀器與測量測量儀器與測量方法給觀測結果帶來誤差方法給觀測結果帶來誤差 客觀環(huán)境客觀環(huán)境-客觀環(huán)境給客觀環(huán)境給觀測結果帶來的影響觀測結果帶來的影響 觀測條件觀測條件： 人、儀器、客人、儀器、客觀環(huán)境總稱觀測觀環(huán)境總稱觀測條件，它們是引條件，它們是引起觀測誤差的主起觀測誤差的

3、主要因素。要因素。等精度觀測等精度觀測觀測條件相同的各次觀測觀測條件相同的各次觀測非等精度觀測非等精度觀測觀測條件不同的各次觀測觀測條件不同的各次觀測v2. 測量誤差的分類（表現(xiàn)形式）測量誤差的分類（表現(xiàn)形式）v1）偶然誤差）偶然誤差(a)在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，若誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小均不一致，而且從表若誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小均不一致，而且從表而上看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為而上看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為偶然誤偶然誤差差單個偶然誤差無規(guī)律，大量偶然誤差有統(tǒng)計規(guī)律單個偶然誤差無規(guī)律，大量偶然誤差有統(tǒng)計規(guī)律v2）系統(tǒng)誤差（

4、）系統(tǒng)誤差（s）在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，在相同的觀測條件下，對某量進行一系列的觀測，若誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小均相同，或按一定的若誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小均相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有累積性，對測量結果影響很大，具有系統(tǒng)誤差具有累積性，對測量結果影響很大，具有一定的規(guī)律性一定的規(guī)律性可以采用一定的方法將系統(tǒng)誤差消除或減弱可以采用一定的方法將系統(tǒng)誤差消除或減弱v3）粗差（）粗差（g）由于觀測者疏忽大意，操作不當，或受外界干擾等由于觀測者疏忽大意，操作不當，或受外界干擾等原因造成的測量錯誤原因造成的測量錯誤測量中粗差

5、不允許出現(xiàn)測量中粗差不允許出現(xiàn)測量中，可通過一定的檢核條件，判讀是否有粗差測量中，可通過一定的檢核條件，判讀是否有粗差存在，如有則重新觀測以消除粗差存在，如有則重新觀測以消除粗差v3. 學習誤差理論的目的學習誤差理論的目的了解偶然誤差產(chǎn)生的規(guī)律了解偶然誤差產(chǎn)生的規(guī)律正確處理觀測成果，即根據(jù)一組觀測數(shù)據(jù)，求出未正確處理觀測成果，即根據(jù)一組觀測數(shù)據(jù)，求出未知量的最可靠值，并衡量其精度知量的最可靠值，并衡量其精度根據(jù)誤差理論來指導實踐，使測量作業(yè)能達到預期根據(jù)誤差理論來指導實踐，使測量作業(yè)能達到預期的精度要求。的精度要求。gsaa第二節(jié)第二節(jié) 偶然誤差的特性偶然誤差的特性 在相同的觀測條件下，獨立地

6、觀測了在相同的觀測條件下，獨立地觀測了817個三角形的全個三角形的全部內(nèi)角。部內(nèi)角。 由于觀測結果中存在著偶然誤差，三角形的三個內(nèi)角觀由于觀測結果中存在著偶然誤差，三角形的三個內(nèi)角觀測值之和不等于三角形內(nèi)角和的理論值（真值）。測值之和不等于三角形內(nèi)角和的理論值（真值）。 設三角形內(nèi)角和的真值為設三角形內(nèi)角和的真值為X，觀測值為，觀測值為Li，則三角形內(nèi)角，則三角形內(nèi)角和的真誤差（或簡稱誤差）為和的真誤差（或簡稱誤差）為 i =Li -X（i一一1，2，n） i = Li - X ( i = 1,2,n) 12 X= k/n/d i = Li - X ( i = 1,2,n) 14 X= k/n

7、/d 1、偶然誤差的特性、偶然誤差的特性1) 有界性：有界性：在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限值。不會超過一定的限值。 2) 單峰性：單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機會多。機會多。 3)對稱性：對稱性： 絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會基本絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的機會基本相等。相等。 4) 補償性：補償性： 偶然誤差的算術平均值隨著觀測次數(shù)的偶然誤差的算術平均值隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零。無限增加而趨于零。 0limnn當當n具有足夠大時，誤差在各個區(qū)間出現(xiàn)的相對具有足夠大時，誤差

8、在各個區(qū)間出現(xiàn)的相對個數(shù)就趨于穩(wěn)定。誤差分布曲線。其方程（稱個數(shù)就趨于穩(wěn)定。誤差分布曲線。其方程（稱概率密度）為概率密度）為 式中參數(shù)式中參數(shù) 是觀測誤差的標準差（方根差或均方根差）是觀測誤差的標準差（方根差或均方根差） nn22lim 22221ef對偶然誤差分布曲線形狀的影響對偶然誤差分布曲線形狀的影響f()O121221210.6830.683 愈小，曲線頂點愈愈小，曲線頂點愈高，誤差分布比較密高，誤差分布比較密集；反之較離散。集；反之較離散。1122 22221ef1) 有界性：有界性：2) 單峰性：單峰性：3)對稱性：對稱性： 1f ()是偶函數(shù)。所以曲線對稱于縱軸。這是偶函數(shù)。所以

9、曲線對稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。就是偶然誤差的第三特性。 2. 愈小，愈小，f（）愈大。）愈大。當當=0時，時，f（）有最大值：）有最大值：愈大，愈大，f（）愈小。）愈小。當當時，時，f（）0。這就是偶然誤差的第一和第二特性。這就是偶然誤差的第一和第二特性。 22221ef如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？如何處理含有偶然誤差的數(shù)據(jù)？例如：例如： 對同一量觀測了對同一量觀測了n次次 對標靶射對標靶射n次次 觀測值為觀測值為 :l1,l2,l3,.lnv如何評價數(shù)據(jù)的精度？如何評價數(shù)據(jù)的精度？ v成績多少？成績多少？ 以上就是研究誤差的兩個目的以上就是研究誤差的兩個目的第三節(jié)第三節(jié) 評定精度

10、的指標評定精度的指標 在一定的觀測條件下進行一組觀測，如果該組誤差值在一定的觀測條件下進行一組觀測，如果該組誤差值總的說來偏小些，即誤差分布比較密集，則表示該組觀測質(zhì)總的說來偏小些，即誤差分布比較密集，則表示該組觀測質(zhì)量好些，這時標準差量好些，這時標準差的值也較??；反之成立。的值也較??；反之成立。因此，一組觀測誤差所對應的因此，一組觀測誤差所對應的標準差值標準差值的大小，的大小，反映了該組觀測結果的精度。反映了該組觀測結果的精度。 所以在評定觀測精度時，可用該組誤差所對應的所以在評定觀測精度時，可用該組誤差所對應的標準標準差差的值。的值。v1. 中誤差中誤差設對某真值設對某真值 已知的量進行了

11、已知的量進行了 n 次等精度獨立觀測次等精度獨立觀測得觀測值得觀測值l1，l2，ln各觀測量的真誤差各觀測量的真誤差1， 2 ， n 觀測值精度可表示為：觀測值精度可表示為：m 稱為觀測值的稱為觀測值的中誤差lliinm標準差標準差跟中誤差跟中誤差m的不同，在于觀測個數(shù)的不同，在于觀測個數(shù)n上上l例例 設對某個三角形用兩種不同的精度分別對它設對某個三角形用兩種不同的精度分別對它進行了進行了10次觀測，試求這兩組觀測值的中誤差。次觀測，試求這兩組觀測值的中誤差。中誤差與真誤差不同，它只是表示一組觀中誤差與真誤差不同，它只是表示一組觀測值的精度指標，并不等于任何觀測值的測值的精度指標，并不等于任何

12、觀測值的真誤差。真誤差。由于是等精度觀測，每個觀測值的精度都由于是等精度觀測，每個觀測值的精度都等于中誤差。等于中誤差。v2. 相對誤差相對誤差真誤差和中誤差都是絕對誤差真誤差和中誤差都是絕對誤差相對誤差是專門為距離測量定義的精度指標相對誤差是專門為距離測量定義的精度指標相對誤差相對誤差絕對誤差的絕對值與相應觀測值絕對誤差的絕對值與相應觀測值之比之比通常用分子是通常用分子是1的分式形式來表示的分式形式來表示 工程測量 第六章 測量誤差的基本知識mDDmK1例如丈量兩條直線，一條長例如丈量兩條直線，一條長100m，另一條長，另一條長20m，它們的中誤差都是全它們的中誤差都是全10mm，那么，能不

13、能說兩，那么，能不能說兩者測量精度相同呢？者測量精度相同呢？即前者的精度比后者高即前者的精度比后者高。 22112211,20001,100001LmLmLmLm實踐證明：實踐證明：大于一倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為大于一倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為31.7%。大于兩倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為大于兩倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為4.6。大于三倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性只占大于三倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性只占3左右。左右。3、極限誤差、極限誤差結論：結論：在觀測次數(shù)不多的情況下，可認為大在觀測次數(shù)不多的情況下，可認為大于三倍中誤差的偶然誤差實際上是不于

14、三倍中誤差的偶然誤差實際上是不可能出現(xiàn)的可能出現(xiàn)的v測量中常取測量中常取兩倍中誤差兩倍中誤差作為誤差的限值，作為誤差的限值，也就是在測量中規(guī)定的容許誤差（或稱限也就是在測量中規(guī)定的容許誤差（或稱限差）。差）。|容容|=2mv在有的測量規(guī)范中也有取在有的測量規(guī)范中也有取三倍中誤差三倍中誤差作為作為容許誤差的。容許誤差的。 |容容|=3m第四節(jié)第四節(jié) 算術平均值及其中誤差算術平均值及其中誤差 設在相同的觀測條件下對未知量觀測了設在相同的觀測條件下對未知量觀測了n次，觀次，觀測值為測值為L1、L2Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這，現(xiàn)在要根據(jù)這n個觀測值個觀測值確定出該未知量的最或然值。確定出該未知量的最或然值。

15、設未知量的真值為設未知量的真值為X，寫出觀測值的真誤差公，寫出觀測值的真誤差公式為式為i= Li-X (i=1,2n)將上式相加得將上式相加得或或故故nXLLLnn 2121 nXL nnLX設以設以x表示上式右邊第一項的觀測值的表示上式右邊第一項的觀測值的算術平均值算術平均值，即，即以以X表示算術平均值的真誤差，即表示算術平均值的真誤差，即代入上式，則得代入上式，則得由偶然誤差第四特性知道，當觀測次數(shù)無限增多時，由偶然誤差第四特性知道，當觀測次數(shù)無限增多時，X趨近于零，即趨近于零，即也就是說，也就是說，n趨近無窮大時，算術平均值趨近無窮大時，算術平均值x即為真值。即為真值。 nLxX nxx

16、xX0limxn nnLXv1、等精度獨立觀測量的最可靠值、等精度獨立觀測量的最可靠值在等精度觀測條件下對某一量進行多次觀測在等精度觀測條件下對某一量進行多次觀測通常取算術平均值作為最后結果通常取算術平均值作為最后結果 算術平均值是未知量的最可靠值或最算術平均值是未知量的最可靠值或最或然值或然值。v2. 白塞爾公式白塞爾公式在實際工作中常用觀測值的改正數(shù)求中誤差在實際工作中常用觀測值的改正數(shù)求中誤差算術平均值和觀測值之差，稱為算術平均值和觀測值之差，稱為觀測值的改正數(shù)觀測值的改正數(shù)，通常以通常以 v 表示。表示。兩端取和，得：兩端取和，得：nnllvllvllv 22110ll nv將改正數(shù)和

17、真誤差相加得：將改正數(shù)和真誤差相加得：即：即：將上式相乘，然后取和，得：將上式相乘，然后取和，得：iiiiivllvlLiiiiiivllvlli真誤差nnvvv 2211 vvvn22上式兩端除上式兩端除n，得：，得： 2nvvn nnlllnlll )(2 )22(13121223121222212222nnnnn由于由于1，2，n 都是偶然誤差，故都是偶然誤差，故1 2 ， 1 3 也具有偶然誤差的性質(zhì)。也具有偶然誤差的性質(zhì)。根據(jù)偶然誤差的第四個特性，當根據(jù)偶然誤差的第四個特性，當 n 趨于無窮大時，其趨于無窮大時，其總和應趨近于零，總和應趨近于零，即即 趨近于零趨近于零當當n為較大的有限值時，為較大的有限值時， 的值也遠小的值也遠小于于，故可忽略不記。，故可忽略不記。于是上式得：于是上式得：31213121 2nnvvn根據(jù)中誤差的定義得：根據(jù)中誤差的定義得：即：即：這就是利用觀測值改正數(shù)這就是利用觀測值改正數(shù) Vi 計算觀測中誤差的公計算觀測中誤差的公式式白塞爾公式白塞爾公式 nmnvvm2