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文檔簡介
1、模擬試卷一一、名詞解釋(本題40分,每小題5分)1波粒二象性 2、測不準原理 3、定態(tài)波函數(shù) 4、算符 5、隧道效應(yīng) 6、宇稱7、Pauli不相容原理 8、全同性原理二、問答題(本題28分,每小題7分)1、波函數(shù)有哪些性質(zhì)?2、變分法求能量的步驟有哪幾步?3、對稱波函數(shù)和反對稱波函數(shù)有何區(qū)別,舉例說明。4、以兩個相同粒子(a,b)分配給3種狀態(tài)為例,說明三種統(tǒng)計方法的不同。三、計算題(本題32分,每小題8分)1、試將笛卡爾坐標轉(zhuǎn)化為球極坐標,寫出推導(dǎo)過程。2、一粒子在一維勢場,x<0U(x)=0, 0xa,x>a中運動,求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。3、試根據(jù)熱力學(xué)公式推導(dǎo)出麥氏關(guān)系
2、。l4、根據(jù)公式P=-al證明,對于非相對論粒子: Vl2Up212 2222p=n,n,ns=()(nx+ny+nz),xyz=0,±1,±2,有3V2m2mL上述結(jié)論對玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都成立。答案:一、名詞解釋(本題40分,每小題5分)1波粒二象性 :一切微觀粒子均具有波粒二象性(2分),滿足E=h(1分),P=h(1分),其中E為能量,為頻率,P為動量,為波長(1分)。2、測不準原理 :微觀粒子的波粒二象性決定了粒子的位置與動量不能同時準確測量(2分),其可表達為:xPx /2,yPy /2,zPz /2(2分),式中 (或h)是決定何時使用量子力學(xué)處
3、理問題的判據(jù)(1分)。3、定態(tài)波函數(shù) :在量子力學(xué)中,一類基本的問題是哈密頓算符不是時間的函數(shù)(2分),此時,波函數(shù)(r,t)可寫成r函數(shù)和t函數(shù)的乘積,稱為定態(tài)波函數(shù)(3分)。4、算符使問題從一種狀態(tài)變化為另一種狀態(tài)的手段稱為操作符或算符(2分),操作符可為走步、過程、規(guī)則、數(shù)學(xué)算子、運算符號或邏輯符號等(1分),簡言之,算符是各種數(shù)學(xué)運算的集合(2分)。5、隧道效應(yīng)在勢壘一邊平動的粒子,當(dāng)動能小于勢壘高度時,按經(jīng)典力學(xué),粒子是不可能穿過勢壘的。對于微觀粒子,量子力學(xué)卻證明它仍有一定的概率穿過勢壘(3分),實際也正是如此(1分),這種現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)(1分)。6、宇稱宇稱是描述粒子在空間反演
4、下變換性質(zhì)的相乘性量子數(shù),它只有兩個值 1和1 (1分)。如果描述某一粒子的波函數(shù)在空間反演變換(rr)下改變符號,該粒子具有奇宇稱(P1 )(1分),如果波函數(shù)在空間反演下保持不變,該粒子具有偶宇稱(P1) (1分),簡言之,波函數(shù)的奇偶性即宇稱(2分)。7、Pauli不相容原理自旋為半整數(shù)的粒子(費米子)所遵從的一條原理,簡稱泡利原理(1分)。它可表述為全同費米子體系中不可能有兩個或兩個以上的粒子同時處于相同的單粒子態(tài)(1分)。泡利原理又可表述為原子內(nèi)不可能有兩個或兩個以上的電子具有完全相同的4個量子數(shù)n、l、ml、ms,該原理指出在原子中不能容納運動狀態(tài)完全相同的電子,即一個原子中不可能
5、有電子層、電子亞層、電子云伸展方向和自旋方向完全相同的兩個電子(3分)。8、全同性原理:全同粒子的不可區(qū)分性(1分)使得其組成的體系中,兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變(4分)。二、問答題(本題28分,每小題7分)1、波函數(shù)有哪些性質(zhì)?答:波函數(shù)有以下性質(zhì):(1)波函數(shù)表示粒子運動的某一狀態(tài),與該狀態(tài)對應(yīng)的能量為E(1分);(2)代表幾率密度,且dv=1(1分); 22(3)波函數(shù)的標準條件為:單值、連續(xù)、有限(3分);(4)服從態(tài)的迭加原理(1分);(5)本征波函數(shù)具有正交性(1分)。2、變分法求能量的步驟有哪幾步?答:(1)選取試探波函數(shù)=(1,2,.),1,2,.為變分參數(shù)(1分)
6、;dv*H的平均值,E=E(,.)(2分) (2)利用E=; E0求出H12*dv(3)對E求參數(shù)1,2,.的偏導(dǎo),并令為0,聯(lián)立求解參數(shù)1,2,., 即可求 得E取最小值時的變分參數(shù)1,2,.(2分);(4)設(shè)1,2,.為.一組近似波函數(shù),取=1121.代入E=*Hdvdv*E0即可求出E1,E2,.,其中最小的即為基態(tài)能量E0的上限(近似E0值)(2分)。3、對稱波函數(shù)和反對稱波函數(shù)有何區(qū)別,舉例說明。根據(jù)全同粒子定義和全同性原理(1分),對于波函數(shù)(q1,.,qi,.,qk,.qn),對調(diào)任意兩個坐標后有:(q1,.,qi,.,qk,.qn=(q1,.,qk,.,qi,.qn 22(q1
7、,.,qi,.,qk,.qn)=(q1,.,qk,.,qi,.qn)因此,分別稱為對稱波函數(shù)和反對(q1,.,qi,.,qk,.qn)=-(q1,.,qk,.,qi,.qn)稱波函數(shù)(2分)。自旋動量矩為整數(shù)的波色子,如光子,介子和氦原子等可用對稱波函數(shù)描述(2分),而自旋動量矩為半整數(shù)的費米子,如電子,質(zhì)子和中子等可用反對稱波函數(shù)描述(2分)。4、以兩個相同粒子(a,b)分配給3種狀態(tài)為例,說明三種統(tǒng)計方法的不同。 答:玻爾茲曼系統(tǒng):粒子可分辨,每個個體量子態(tài)能容納的粒子數(shù)不限(1分);費米系統(tǒng):粒子不可分辨,每個個體量子態(tài)最多能容納一個粒子(1分);1分)。(4分)三、計算題(本題32分,
8、每小題8分)1、試將笛卡爾坐標轉(zhuǎn)化為球極坐標,寫出推導(dǎo)過程。解:假定平面上一點可以用二維極坐標(R,)來標記,則它們與直角坐標的關(guān)系R=x2+y2x=Rcos(1分):R yy=Rsintan=x于是可得到:sincosRxRy=cos, =sin, =-, = (1分) xRyRxRyR根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,如果設(shè)=(x,y),則(1分)Rsin=+=cos- (1) xRxxRRRcos =+=sin+ (2) yRyyRR進行二次求導(dǎo),可得(2分):2sinRR=()+()=(cos-)2RxxxxRRRxxsin22sinsin+(cos-)=(2cos-+)cos2RRxRRRR22
9、sincossin+(cos-sin-)(-)=RRRR2R22sincossincossin22sin22cos-2+2+RRRRR2R22R22cosRR=()+()=(sin+)2RyyyyRRRyycos22coscos+(sin+)=(2sin+-)sin2RRyRRRR22cossincos+(sin+cos+-)() =2RRRRR22sincossincos2sincoscos22(2sin+-)+(+RRRRRRRR22cos2sincos+-)222RR22sincossincos2cos2cos22=sin+2-2+2222RRRRRRR222211 2+= + (3)2
10、222RRxyRR將上述變換再在MON平面內(nèi)重復(fù)進行一次,一個空間極坐標變化可分解為二個平面極坐標變換之綜合,即(1分)x=rsincosx=RcosR=rsiny=rsinsin y=Rsin 和 z=rcosz=rcosz=z=因此,第二次變換中的z,R,r就分別和第一次變換中的x,y,R相當(dāng),故由(3)式即得(1分):222211+= 2+ (4) rrz2R2r2r2由(2)即得(1分):cos (5) =sin+Rrr將(4)、(5)式代入(3)式,對=(x,y,z)有:(1分) 222211 2+= +xy2R22R2RR2211221cos1=(2+-)+(sin+)22222r
11、rzrrRrrR2222211+= +x2y2z2R22R2RR221121cos1 =(2+)+(sin+)22222rrrrrsinrrrsin21121cos21=(2+)+(22+)+rrrrr2sinrr2r2sin22221cos21=(2+)+(22+)+rrr2sinrr2r2sin212112=2(r)+2(sin)+22rrrrsinrsin2所以,222=2+2+2xyz2=1211(r)+(sin)+rr2sinr2rr2sin2222、一粒子在一維勢場,x<0U(x)=0, 0xa,x>a中運動,求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。解:U(x)與t無關(guān),是定態(tài)問題
12、。其定態(tài)S方程(2分) 2d2(x)+U(x)(x)=E(x) -22mdx在各區(qū)域的具體形式為(1分)2d2:x<0 -1(x)+U(x)1(x)=E1(x) 2mdx22d2: 0xa -2(x)=E2(x) 22mdx根據(jù)波函數(shù)的標準條件確定系數(shù)A,B,由連續(xù)性條件,得(2分)2(0)=1(0) 2(a)=3(a) B=0 Asinka=0 A0sinka=0ka=n (n=1, 2, 3, )nx a 2(x)=Asin由歸一化條件(2分)得 Aa2(x)dx=1 2asin20nxdx=1 a由 bsinmnax*sinxdx=mn aa22a2nsinxaaA= 2(x)=k
13、2=2mE 2En=2 22ma2n2 (n=1,2,3, )可見E是量子化的。(1分)對應(yīng)于En的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為 i2n- Entsinxe, 0xa n(x,t)=a a 0, x<a, x>a3、試根據(jù)熱力學(xué)公式推導(dǎo)出麥氏關(guān)系。解:對一個體系而言,有熱力學(xué)公式:(2分)U=Q-W, H=U+PV, F=U-TS, G=H-TS對上式進行微分可得:(2分)dU=Q-W =TdS-PdV (1)dH=dU+PdV+VdP (2)dF=dU-TdS-SdT (3)dG=dH-TdS-SdT (4)將(1)式代入(2)、(3)和(4)式中,得:(2分)dH=TdS+VdP (5
14、)dF=-PdV-SdT (6)dG=VdP-SdT (7)根據(jù)狀態(tài)函數(shù)的性質(zhì),對(1)、(5)、(6)和(7)有麥氏關(guān)系:(2分)TP)S=-()V (8)VSTV()S=()P (9)PS PS()V=()T (10)TVVS()P=-()T (11)TP(4、根據(jù)公式P=-alll證明,對于非相對論粒子: V2Up212 2222s=()(nx+ny+nz),nx,ny,nz=0,±1,±2,有p=3V2m2mL上述結(jié)論對玻耳茲曼分布、玻色分布和費米分布都成立。 解:P=-alllV=-all12 2222()(n+n+nxyz) V2mLL(2 )2222=-al
15、(n+n+nxyz)3V2mLl其中 u=all;VL3(2分) V21(2 )222p=-al(nx+ny+nz)(2分) 2V2ml3V(對同一l,nx+ny+nz)(2分) -122222=-al(2 )(nx+ny+nz)V3(-) 2m3l5222225-21(2 )(nx+ny+nz)33=-alVV(-)=22m3Ll2222U(2分) 3V一、回答下列問題(每題5分,共30分)1 十九世紀末期人們發(fā)現(xiàn)了哪些不能被經(jīng)典物理學(xué)所解釋的新的物理現(xiàn)象? 2 什么是束縛態(tài)?什么是定態(tài)? 3 試述電子具有自旋的實驗證據(jù)。4 寫出量子力學(xué)五個基本假設(shè)中的任意三個。5 表示力學(xué)量的厄米算符有哪些特性?6一維空間兩粒子體系的歸一化波函數(shù)為),(21xx ,寫出下列概率: 發(fā)現(xiàn)粒子1的位置介于x和dxx之間(不對粒子2進行觀測)1 黑體輻射,光電效應(yīng),邁克爾遜-莫雷實驗,原子的光譜線系,固體的低溫比熱等 2 當(dāng)粒子被勢場約束于特定的空間區(qū)域內(nèi),即在無窮遠處波函數(shù)等于零的態(tài)叫束縛態(tài)。 定態(tài)是概率密度和概率流密度不隨時間變化的狀態(tài)。若勢場恒定,0 t V,則體系處于定態(tài)。3 電子具有自旋的實驗證據(jù):1) 斯特恩-蓋拉赫實驗 2) 光譜精細結(jié)構(gòu) 3) 反常塞曼效應(yīng) 4 五個基本假
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