高中數(shù)學(xué) 一道數(shù)列問題的解法探討論文_第1頁
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文檔簡介

1、一道數(shù)列問題的解法探討問題： 已知等差數(shù)列和等比數(shù)列. 其中， ， ，試判斷時(shí)，與的大小關(guān)系，并給出證明.分析一：先通過特例探索結(jié)論的大致方向，即通過，比較與的大小.設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，由，得：，即， . 即 .即.可猜想當(dāng)時(shí)，.證明如下： .即.說明：在這里，特例不僅為我們探明了結(jié)論，更為我們 探出了解決問題的思路.分析二：利用分析法證明.要證當(dāng)時(shí)，成立，只需證明成立.而，故只需證明成立.由于，即證.即證.而，故只需證明+ 由于，故當(dāng)時(shí)，.左右分別相加，即得式.所以，當(dāng)時(shí)，有.分析三：利用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)時(shí)，易證 假設(shè)當(dāng)時(shí)，即. 那么，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)椋┧?，?dāng)時(shí)，.根據(jù)，對任意正整

2、數(shù)，都有.分析四：由數(shù)形結(jié)合探明結(jié)論.在同一坐標(biāo)系中，作出過，兩點(diǎn)的直線和指數(shù)曲線，借助該圖，容易看出，當(dāng)時(shí)，.并且在區(qū)間（）上，兩點(diǎn)，連線的斜率恒大于兩點(diǎn)，連線的斜率.故得下面的解法：當(dāng)時(shí)，. .故.可得：.（）對賦值，可得： ，.左右分別相加，得：.又，.分析五：借助二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮.由，得.所以，當(dāng)時(shí)，說明：若寫成也可用二項(xiàng)式定理證明.分析六：考慮反證法. 先猜想結(jié)論：當(dāng)時(shí)，. 下用反證法證明：若不然，則存在，使得.易驗(yàn)證，不妨設(shè)是使 成立的最小正整數(shù).由于，故有： 若為奇數(shù)，則為偶數(shù).設(shè) 顯然.由于均為正數(shù)，故，由式，可得：，即.由于，這與是使 的最小正整數(shù)矛盾.若為偶數(shù)，由式，同理可推得矛盾.這說明假設(shè)不成立，故當(dāng)時(shí)，.數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考中占有重要地位.對上述題目的解答，突出反映了數(shù)列與

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