高階譜非高斯有色噪聲中的諧波恢復(fù)

1、第6章 非高斯有色噪聲中的諧波恢復(fù)問題（） 本章研究具有非對稱分布的非高斯ARMA有色噪聲中的諧波恢復(fù)問題。通過分析諧波信號和非高斯有色噪的三階累積量特性，提出了基于二階、三階累積量的混合SVD-TLS方法(Second-and Third-order Cumulant-based Hybrid SVD-TLS，我們稱作STCH-SVD-TIS)以及混合ESPRIT方法(STCH-ESPRIT)。即先由有噪觀測過程的三階累積量估計噪聲模型AR部分參數(shù)，然后由AR多項式對有噪觀測值進(jìn)行預(yù)濾波，最后利用濾波輸出過程的自相關(guān)函數(shù)并結(jié)合高分辨率譜估計方法(如SVD-TLS，ESPRIT)來估計諧波參數(shù)

2、。本章還通過標(biāo)準(zhǔn)的仿真實驗驗證了這兩種方法的有效性和高分辨率。6.1 概述 我們知道，在現(xiàn)有的有色噪聲中的諧波恢復(fù)方法中，主要有系統(tǒng)辨識方法（包括最大似然(ML)法、廣義最小二乘(GLS)法和迭代逆濾波(ITIF)法、噪聲模型假設(shè)(如MA噪聲模型假設(shè)法和AR噪聲模型假設(shè)法)以及四階累積量法。綜合考查上述各類方法，系統(tǒng)辨識方法和噪聲模型假設(shè)法必須預(yù)知噪聲的模型結(jié)構(gòu)，然而至今不存在著任何可用于建立噪聲模型的有效方法；同時，背景噪聲必須為高斯噪聲(MA噪聲模型假設(shè)法和AR噪聲模型假設(shè)法除外），因為只有在高斯假設(shè)下，上述方法的估計結(jié)果才能得到最小二乘估計。四階累積量方法盡管不需要假定噪聲模型，但它僅適

3、用于高斯背景噪聲情形，當(dāng)然這也是該類方法的最大優(yōu)點。由此可以得出這樣一個結(jié)論：現(xiàn)有的有色噪聲中的諧波恢復(fù)方法絕大多數(shù)都是在噪聲的高斯假設(shè)下進(jìn)行研究的。盡管MA噪聲模型假設(shè)法也可用于非高斯噪聲情形，但由于MA模型用于具有尖銳譜峰的噪聲模型描述時，往往需要很高的階次，況且模型的階次無法確定。因此有必要研究一般非高斯ARMA有色噪聲中的諧波恢復(fù)方法。 在實際應(yīng)用中，有色的非高斯噪聲環(huán)境在聲納系統(tǒng)和信號檢測中常常遇到，而具有非對稱分布的非高斯噪聲是一種很常見的情形，如指數(shù)分布、威布爾分布等，因此，研究具有非對稱分布的非高斯噪聲中的諧波恢復(fù)方法具有廣泛的應(yīng)用前景。本章首先分析了諧波信號和非高斯有色噪聲的

4、三階累積量特性，由于諧波信號的三階累積量恒等于零，而具有非對稱分布的非高斯ARMA有色噪聲的三階累積量不等于零。因此，利用有噪觀測值的三階累積量可以建立非高斯ARMA噪聲的模型參數(shù)。由于有噪觀測值經(jīng)噪聲模型的AR多項式濾波后得到的濾波輸出過程的自相關(guān)函數(shù)和諧波信號預(yù)測模型的AR參數(shù)正好滿足一組特殊的修正Yule-Walker(MYW)方程，因此，基于自相關(guān)的高分辨率方法都可以用來確定模型的參數(shù)?；谶@一點，本章提出了STCH-SVD-TLS方法和STCH-ESPRIT方法，前者通過求解線性方程組的解來實現(xiàn)，后者通過求解矩陣對的廣義特征值來實現(xiàn)。6.2 模型假設(shè)設(shè)零均值有噪觀測值為 (6.1)其

5、中，可以是復(fù)數(shù)諧波信號 (6.2)也可以是實數(shù)諧波信號 (6.3)這里，為諧波數(shù)目，分別為第個諧波分量的幅度、歸一化頻率和隨機初始相位，為獨立地服從同一分布的隨機變量，且在上服從均勻分布。 設(shè)附加噪聲為非高斯過程，即 (6.4)或 (6.5)其中，為后移因子，。 對于噪聲模型，假設(shè)(AS1) 噪聲模型的傳遞函數(shù)（單位沖激響應(yīng)為）是指數(shù)穩(wěn)定的，且不存在著零、極點相消；(AS2)為零均值、平穩(wěn)的獨立同分布非高斯白噪聲，且的方差和均未知；(AS3) 與相互獨立。條件(AS2)意味著為零均值且具有非對稱分布的非高斯過程。由于諧波信號為零均值，因此，有噪觀測過程也為零均值。本章的目的就是由有噪觀測值估計

6、諧波信號參數(shù)。6.3 噪聲模型的建立6.3.1有噪觀測過程的三階累積量 定理6.1 在假設(shè)（AS1）（AS3）下，式(6.1)中有噪觀測過程的三階累積量恒等于噪聲過程的三階累積量，即 (6.6) 實際上，由于與相互獨立，并考慮到與均為零均值，于是 (6.7)而由定理5.1可知，諧波信號的三階累積量恒等于零，即，于是式(6.6)成立。6.3.2 噪聲模型的建立由條件(AS2)可知，于是由式(1.38)得到，即。這樣利用4.6節(jié)基于三階累積量的SVD-TLS方法可以估計非高斯噪聲模型式(6.4)的階次和參數(shù)，考慮到本章方法僅利用噪聲模型的AR部分參數(shù)，因此只須確定AR階次及參數(shù)即可。有關(guān)算的具體步

7、驟參見4.6節(jié)，這里不加詳述。6.4 STCH-SVD-TLS方法6.4.1 預(yù)濾波處理式(6.1)兩邊同乘以并利用式(6.5)，有 (6.8)記 (6.9) (6.10) (6.11) (6.12)稱為濾波輸出過程，為濾波諧波信號。注意到為一個非高斯噪聲過程，其自相關(guān)函數(shù)為 (6.13)上式中利用了僅在內(nèi)取值這一特性，因此當(dāng)延時大于階次時的自相關(guān)函數(shù)全為零。考慮到與相互獨立，因而與、均相互獨立，由式(6.12)得到： (6.14)6.4.2 特殊的修正Yule-Walker(MYW)方程 我們知道，復(fù)數(shù)諧波信號滿足具有零輸入的特殊模型 (6.15)其中，且多項式 (6.16)的根為。模型參數(shù)

8、滿足Yule-Walker(YW)方程，對任意 (6.17)現(xiàn)在討論濾波輸出過程的自相關(guān)函數(shù)與諧波信號預(yù)測模型參數(shù)之間的關(guān)系由式(6.14)得 (6.18)對于濾波諧波信號，由式(6.10)得到 (6.19)即 (6.20) 于是 (6.21)上式第二個等式利用了式(6.17)。結(jié)合式(6.18)和(6.21)，有 (6.22)如果上式中取，則上式右端中的延時均大于過程的階次，于是由式(6. 13)和(6.22)可以直接得到 (6.23)上式就是基于濾波輸出過程自相關(guān)函數(shù)的特殊的修正Yule-Walker方程我們作如下討論：1. 對于實數(shù)諧波信號(式(6.3) )，式(6.23) 變?yōu)?(6.

9、24)2. 式(6.23)表明，濾波輸出過程可以看成一過程的輸出，其參數(shù)與諧波信號的預(yù)測模型的參數(shù)相同。而有噪觀測過程卻不是，因為 (6.25)3. 由式(5.24)可知，若為白噪聲，則的自相關(guān)函數(shù)滿足 (6.26)可以看出，上式只是式(6.23)的一個特例，因為如果為白噪聲，則, ,于是這樣式(6.23)簡化為式(6.26)。6.4.3 STCHSVDTLS方法：諧波數(shù)目及諧頻率的估計對于一般的過程，盡管我們通常事先不知道階次和，但可以選取一組較大的和，并利用修正Yule-Walker方程來辨識模型的參數(shù)。引理6.1 對于過程，選擇、和，則的自相關(guān)函數(shù)構(gòu)造的矩陣，即 (6.27)的秩為p。如

10、果采樣自相關(guān)代替，這時構(gòu)造的矩陣的有效秩為p。清楚地，引理6.1也可用于過程，只需令且即可。若選擇，則條件滿足，于是式(6.27)中若用代替，并取，則的有效秩為p。采用6.4節(jié)中介紹的SVD-TLS方法即可以確定的有效秩及低階AR參數(shù)。由于SVD-TLS方法是一種數(shù)值計算的魯棒性方法，因而它可以明顯而有效地改善AR參數(shù)估計性能。至此，我們把STCH-SVD-TLS方法歸納如下步驟：1. 利用觀測值估計三階累積量取，由4.6節(jié)方法構(gòu)造累積量矩陣，對作SVD確定有效秩，然后利用SVD-TLS方法估計非高斯ARMA噪聲過程的AR部分參數(shù).2. 利用式(6.9)對濾波，得到濾波輸出過程3. 計算濾波輸

11、出過程的自相關(guān)函數(shù)，并在式(6.27)中用代替構(gòu)造采樣自相關(guān)矩陣。對進(jìn)行SVD分解，確定其有效秩（設(shè)為P），然后利用SVD-TLS方法估計AR參數(shù)。4. 尋找AR多項式(6.16)的根，并計算諧波頻率 (6.28)由于該方法同時利用了二階和三階累積量，故稱之為基于二階和三階累積量的混合SVD-TLS方法（STCH-SVD-TLS）。6.4.4 諧波幅度的估計1. 復(fù)數(shù)諧波信號情形結(jié)合式(6.14)和(6.20)，并考慮到為實數(shù)，有 (6.29) (6.30)這里，記 (6.31) FS=r (6.32)其中于是得到關(guān)于的估計 (6.33)2. 實數(shù)諧波信號情形對于實數(shù)諧波信號 (6.34)其中

12、 (6.35) 類似地，令式(6.34)中得到矩陣方程 (6.36)其中 于是得到關(guān)于的估計 (6.37)6.5 STCH-ESPRIT本節(jié)研究利用濾波輸出過程的自相關(guān)函數(shù)確定諧波頻率和幅度的STCH-ESPRIT方法。我們知道，經(jīng)典的自相關(guān)ESPRIT方法包括兩大步驟：矩陣對的構(gòu)造和矩陣對廣義特征值的求解。因此，STCH-ESPRIT方法同樣也包括這兩步。6.5.1 矩陣對的構(gòu)造設(shè)，并取，構(gòu)造下列維向量 (6.38) (6.39) (6.40)并記 (6.41) (6.42)則由式(6.12)可得 (6.43) (6.44) (6.45)下面考查復(fù)數(shù)濾波信號向量。設(shè)諧波信號向量為 (6.46

13、)則可以表示為 (6.47)其中(6.48) (6.49)而向量 (6.50)可以表示成 (6.51)其中，旋轉(zhuǎn)因子矩陣，表示矩陣的次連乘。由式(6.10)可知 (6.52)類似地，有 (6.53)若記 則上面兩式可簡化為 (6.54) (6.55)這樣，式(6.43)至式(6.45) 即為 (6.56) (6.57) (6.58)由于與相互獨立且均為零均值，所以與的互相關(guān)矩陣為 (6.59)考慮到 (6.60)且 (6.61)上式利用了和式(6.13)。于是 (6.62)類似地，與的互相關(guān)矩陣為 (6.63)若記 (6.64)則 (6.65) (6.66)而實際上 (6.67) (6.68)

14、其中，。至此，基于濾波輸出過程的自相關(guān)函數(shù)矩陣對已經(jīng)構(gòu)造完成。6.5.2 STCH-ESPRIT方法1. 諧波數(shù)目和諧波頻率的估計定理6.2 設(shè)為矩陣的廣義特征矩陣，為非奇異矩陣，則旋轉(zhuǎn)因子矩陣與有如下關(guān)系（只須的對角線元素作適當(dāng)調(diào)整） (6.69) 證明：由于，且，所以。考慮到噪聲模型是指數(shù)穩(wěn)定的，于是不存在單位圓上的極點，即當(dāng)時，故是維非奇異對角陣，又由于和均為維非奇異對角陣，所以也是維非奇異對角陣，于是的秩為。 考查下列矩陣束 (6.70)由于與的行空間相同，所以，通常情況下，的秩為。如果，則的第列為零，這樣 (6.71)即矩陣束的秩降為，由廣義特征值的定義可知，實際上就是矩陣對的廣義特

15、征值。又由于矩陣對中的兩個矩陣描述的是同一個空間，它們的共同零空間對應(yīng)的廣義特征值必為零，因此，矩陣對的個廣義特征位于單位圓上，并與旋轉(zhuǎn)因子矩陣的對角線元素相等，而其余個廣義特征值位于原點。2. 諧波幅度的估計 重新考查矩陣，由于 (6.72) (6.73) (6.74) (6.75)式(6.74)中考慮了為實數(shù)這一事實。所以若令 (6.76)則 (6.77) 設(shè)是矩陣對對應(yīng)于廣義特征值的廣義特征向量，則 (6.78) 由于矩陣束的行空間與由中列向量,描述的子空間相同，因此向量與所有向量(除外)都正交，即 (6.79) (6.80) 由式(6.78)得 (6.81) 由于 (6.82)上式中利用了。于是結(jié)合式(6.81)和(6.82)，有 (6.83) STCH-ESPRIT方法的步驟 STCH-ESPRIT方法可歸納為如下的步驟： 1. 由給定的觀測值計算三階累積量的估計,選取正整數(shù)和，由4.6節(jié)方法構(gòu)造累積量矩陣； 2. 對進(jìn)行奇異值分解(SVD)得到有效秩，并利用SVD-TLS方法估計非高斯噪聲過程的AR部分參數(shù)； 3. 利用估計的參數(shù)由式(6.