黑龍江省綏化市安達高中高二上學期期中數學試卷文科

1、黑龍江省綏化市安達高中2014-2015學年高二上學期期中數學試卷（文科）一、選擇題（每小題5分，共60分）1（5分）在復平面內，復數對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，如果x1+x2=8，那么|AB|=（）A6B8C9D103（5分）設拋物線的方程為y=4x2，則其準線方程為（）ABx=1CDy=14（5分）以下四個關于圓錐曲線的命題中：A、B為兩個定點，k為非零常數，|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，P是AB中點，則動點P的軌跡為橢圓；方程2x25x

2、+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線=1與橢圓+y2=1有相同的焦點其中正確命題的個數（）A0個B1個C2個D3個5（5分）雙曲線的離心率e=2，與橢圓有相同的焦點，該雙曲線漸近線方程是（）ABCD6（5分）若拋物線y2=2px（p0）上一點到焦點和拋物線的對稱軸的距離分別為10和6，則p的值為（）A2B18C2或18D4或167（5分）直線y=1x交拋物線y2=2px（p0）于M，N兩點，且|+|=|，則p的值為（）A2B1CD8（5分）設F1，F2分別為雙曲線=1（a0，b0）的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得（|PF1|PF2|）2=b23ab，則該雙曲線的離心率為（）

3、ABC4D9（5分）設a，b是關于t的方程t2cos+tsin=0的兩個不等實根，則過A（a， a2），B（b，b2）兩點的直線與雙曲線=1的公共點的個數為（）A0B1C2D310（5分）過雙曲線（a0，b0）的右焦點F作漸近線y=的垂線與雙曲線左右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍（）A（1，2）B（1，）C（，+）D（2，+）11（5分）已知拋物線x2=2py（p0）的焦點為F，A，B，C都是拋物線上的點，滿足+=，則kAB+kBC+kAC=（）A0BC1D不能確定12（5分）在拋物線y=x2+ax5（a0）上取橫坐標為x1=4，x2=2的兩點，經過兩點引一條割線，有平行于該割線的一

4、條直線同時與拋物線和圓5x2+5y2=36相切，則拋物線頂點的坐標為（）A（2，9）B（0，5）C（2，9）D（1，6）二、填空題（每小題5分，共20分）13（5分）命題“xR，2x23ax+90”為假命題，則實數a的取值范圍為14（5分）在直角坐標系xOy中直線l過拋物線y2=4x的焦點F且與該拋物線相交于A、B兩點其中點A在x軸上方若直線l的傾斜角為60則OAF的面積為15（5分）已知F是雙曲線的左焦點，A（1，4），P是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為16（5分）已知橢圓C：+=1，點M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別為A、B，線段MN的中點在C上，則|A

5、N|+|BN|=三、解答題（本大題共6小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（10分）（）已知a是實數，i是虛數單位，是純虛數，求a的值；（）設z=，求|z|18（12分）在對哈三中2014-2015學年高二學生喜歡學的科目的一次調查中，共調查了200人，其中男同學120 人，女同學80人，男同學中有80人喜歡學數學，另外40人喜歡學語文；女同學中有30人喜歡學數學，另外50人喜歡學語文（）填表，完成22列聯(lián)表；喜歡科目性別數學語文總計女男總計（）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為性別與喜歡科目有關系？參考公式K2=P（K2k

6、）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819（12分）一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了4次試驗，收集數據如下：零件數x（個）10203040加工時間y（min）60687585（）求回歸方程；（）如果加工的零件是50個，預測所要花費的時間（參考公式：=，=）20（12分）已知橢圓C：=1 （常數m1），P是曲線C上的動點，M是曲線C上的右頂點，定點A的坐標為（2，0）（1）若M與A重合，求曲線C的焦點坐標；（2）若m=3，求|PA|的最大值與最

7、小值；（3）若|PA|的最小值為|MA|，求實數m的取值范圍21（12分）已知橢圓C：+=1（ab0）的離心率e=，左、右焦點分別為F1、F2，點P（2，），點F2在線段PF1的中垂線上（）求橢圓C的方程；（）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的斜率互為相反數，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標22（12分）已知拋物線y2=4ax（a0）的焦點為A，以B（a+4，0）為圓心，|AB|長為半徑，在x軸上方的半圓交拋物線于不同的兩點M、N，P是MN的中點（1）求實數a的取值范圍；（2）求|AM|+|AN|的值；（3）是否存在這樣的a值，使|AM|，|AP|，|AN|

8、成等差數列？黑龍江省綏化市安達高中2014-2015學年高二上學期期中數學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題5分，共60分）1（5分）在復平面內，復數對應的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考點：復數代數形式的乘除運算；復數的基本概念 專題：計算題分析：利用兩個復數代數形式的乘法，以及虛數單位i的冪運算性質，求得復數為，它在復平面內對應的點的坐標為（，），從而得出結論解答：解：復數=，它在復平面內對應的點的坐標為（，），故選D點評：本題主要考查兩個復數代數形式的乘法，虛數單位i的冪運算性質，復數與復平面內對應點之間的關系，屬于基礎題2（5分）過拋物線y2=4x的焦

9、點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，如果x1+x2=8，那么|AB|=（）A6B8C9D10考點：拋物線的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：由拋物線的方程可得p，再利用弦長公式|AB|=x1+x2+p即可得出解答：解：由拋物線y2=4x可得2p=4，解得p=2x1+x2=8，|AB|=x1+x2+p=8+2=10故選：D點評：本題考查了拋物線的標準方程及其弦長公式，屬于基礎題3（5分）設拋物線的方程為y=4x2，則其準線方程為（）ABx=1CDy=1考點：拋物線的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：先將拋物線方程化為標準方程，進而可求拋物線的準線

10、方程解答：解：由題意，拋物線的標準方程為x2=y，p=，開口朝上，準線方程為y=；故選C點評：本題的考點是拋物線的簡單性質，主要考查拋物線的標準方程，屬于基礎題4（5分）以下四個關于圓錐曲線的命題中：A、B為兩個定點，k為非零常數，|=k，則動點P的軌跡為雙曲線；過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，P是AB中點，則動點P的軌跡為橢圓；方程2x25x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；雙曲線=1與橢圓+y2=1有相同的焦點其中正確命題的個數（）A0個B1個C2個D3個考點：圓錐曲線的共同特征 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：由雙曲線的定義即可判斷出；利用垂經定理與圓的性質可得動點P

11、的軌跡為圓；方程2x25x+2=0的兩根分別為，2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率；由雙曲線=1可得c=，其焦點為，橢圓+y2=1的焦點為，即可判斷出解答：解：A、B為兩個定點，k為非零常數，|=k，只有當k|AB|時，則動點P的軌跡為雙曲線，因此不正確；過定圓C上一定點A作圓的動弦AB，P是AB中點，則動點P的軌跡為圓，不正確；方程2x25x+2=0的兩根分別為，2，可分別作為橢圓和雙曲線的離心率，正確；由雙曲線=1可得c=，其焦點為，橢圓+y2=1的焦點為，因此有相同的焦點，正確其中正確命題的個數是2故選：C點評：本題考查了圓錐曲線的定義及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題5（5

12、分）雙曲線的離心率e=2，與橢圓有相同的焦點，該雙曲線漸近線方程是（）ABCD考點：雙曲線的簡單性質；橢圓的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：先根據橢圓的方程求出焦點坐標，得到雙曲線的c值，再由離心率求出a的值，最后根據b=得到b的值，可得到漸近線的方程解答：解：橢圓的焦點為（4，0）（4，0），故雙曲線中的c=4，且滿足 =2，故a=2，b=2，所以雙曲線的漸近線方程為y=x=x故選C點評：本題主要考查圓錐曲線的基本元素之間的關系問題，同時雙曲線、橢圓的相應知識也進行了綜合性考查6（5分）若拋物線y2=2px（p0）上一點到焦點和拋物線的對稱軸的距離分別為10和6，則p的值為（

13、）A2B18C2或18D4或16考點：拋物線的簡單性質 專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：由拋物線上點P到的對稱軸的距離6，設P的坐標為（x0，6）根據點P坐標適合拋物線方程及點P到焦點的距離為10，聯(lián)列方程組，解之可得p與x0的值，從而得到本題的答案解答：解：拋物線y2=2px（p0）上一點到的對稱軸的距離6，設該點為P，則P的坐標為（x0，6）P到拋物線的焦點F（，0）的距離為10由拋物線的定義，得x0+=10（1）點P是拋物線上的點，2px0=36（2）（1）（2）聯(lián)解，得p=2，x0=2或p=18，x0=1故選：C點評：本題已知拋物線上一點到焦點和到對稱軸的距離，求拋物線的

14、焦參數p，著重考查了拋物線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題7（5分）直線y=1x交拋物線y2=2px（p0）于M，N兩點，且|+|=|，則p的值為（）A2B1CD考點：拋物線的簡單性質 專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：由|+|=|，可得，故x1x2+y1y2=0，直線y=1x代入拋物線y2=2px（p0），利用韋達定理，即可求出p的值解答：解：由題意，直線y=1x代入拋物線y2=2px（p0），可得x2（2+2p）x+1=0，設M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=2+2p，x1x2=1，|+|=|，x1x2+y1y2=0，1+（1x1）（1x2）=0，3（

15、2+2p）=0，p=，故選：D點評：本題以拋物線為載體，考查拋物線的性質，考查向量知識，考查韋達定理的運用，屬于中檔題8（5分）設F1，F2分別為雙曲線=1（a0，b0）的左、右焦點，雙曲線上存在一點P使得（|PF1|PF2|）2=b23ab，則該雙曲線的離心率為（）ABC4D考點：雙曲線的簡單性質 專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：根據（|PF1|PF2|）2=b23ab，由雙曲線的定義可得（2a）2=b23ab，求得a=，c=b，即可求出雙曲線的離心率解答：解：（|PF1|PF2|）2=b23ab，由雙曲線的定義可得（2a）2=b23ab，4a2+3abb2=0，a=，c=b，

16、e=故選：D點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質，考查學生的計算能力，屬于基礎題9（5分）設a，b是關于t的方程t2cos+tsin=0的兩個不等實根，則過A（a，a2），B（b，b2）兩點的直線與雙曲線=1的公共點的個數為（）A0B1C2D3考點：雙曲線的簡單性質 專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：求出過A（a，a2），B（b，b2）兩點的直線為y=x，結合雙曲線的漸近線方程，可得結論解答：解：a，b是關于t的方程t2cos+tsin=0的兩個不等實根，a+b=，ab=0，過A（a，a2），B（b，b2）兩點的直線為ya2=（xa），即y=（b+a）xab，即y=x，雙曲線=1的

17、一條漸近線方程為y=x，過A（a，a2），B（b，b2）兩點的直線與雙曲線=1的公共點的個數為0故選：A點評：本題考查雙曲線的方程與性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題10（5分）過雙曲線（a0，b0）的右焦點F作漸近線y=的垂線與雙曲線左右兩支都相交，則雙曲線的離心率e的取值范圍（）A（1，2）B（1，）C（，+）D（2，+）考點：雙曲線的簡單性質 專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質與方程分析：設過雙曲線的右焦點F與漸近線y=垂直的直線為AF，根據題意得AF的斜率要小于雙曲線另一條漸近線的斜率，由此建立關于a、b的不等式，解之可得b2a2，從而可得雙曲線的離心率e

18、的取值范圍解答：解：過雙曲線的右焦點F作漸近線y=的垂線，設垂足為A，直線AF與雙曲線左右兩支都相交，直線AF與漸近線y=必定有交點B因此，直線y=的斜率要小于直線AF的斜率漸近線y=的斜率為直線AF的斜率k=，可得，即，b2a2，可得c22a2，兩邊都除以a2，得e22，解得e故選：C點評：本題給出過雙曲線焦點與一條漸近線垂直的直線，交雙曲線與左右兩點各一個交點，求雙曲線離心率取值范圍著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題11（5分）已知拋物線x2=2py（p0）的焦點為F，A，B，C都是拋物線上的點，滿足+=，則kAB+kBC+kAC=（）A0BC1D不能確定考點：拋物

19、線的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），依題意，知F為三角形ABC的重心，于是有=0，利用“點差法”可求得kAB=，kBC=，kAC=，從而可得答案解答：解：拋物線x2=2py（p0）的焦點F（0，），設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），因向量+=，則F為三角形ABC的重心故=0，=，又=2py1，=2py2，兩式相減，得：（x1+x2）（x1x2）=2p（y1y2），所以，kAB=；同理可得，kBC=，kAC=，所以，kAB+kBC+kAC=0，故選：A點評：本題考查拋物線的標準方程與簡單幾何性質，考查“

20、點差法”與三角形的“重心”的坐標表示，求得kAB=是關鍵，是好題12（5分）在拋物線y=x2+ax5（a0）上取橫坐標為x1=4，x2=2的兩點，經過兩點引一條割線，有平行于該割線的一條直線同時與拋物線和圓5x2+5y2=36相切，則拋物線頂點的坐標為（）A（2，9）B（0，5）C（2，9）D（1，6）考點：拋物線的應用；拋物線的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：求出兩個點的坐標，利用兩點連線的斜率公式求出割線的斜率；利用導數在切點處的值為切線的斜率求出切點坐標；利用直線方程的點斜式求出直線方程；利用直線與圓相切的條件求出a，求出拋物線的頂點坐標解答：解：兩點坐標為（4，114a

21、）；（2，2a1），兩點連線的斜率k=，對于y=x2+ax5，y=2x+a，2x+a=a2解得x=1，在拋物線上的切點為（1，a4），切線方程為（a2）xy6=0，該切線與圓相切，圓心（0，0）到直線的距離=圓半徑，解得a=4或0（0舍去），拋物線方程為y=x2+4x5頂點坐標為（2，9）故選A點評：本題考查兩點連線的斜率公式、考查導數在切點處的值為切線的斜率、考查直線與圓相切的充要條件是圓心到直線的距離等于半徑二、填空題（每小題5分，共20分）13（5分）命題“xR，2x23ax+90”為假命題，則實數a的取值范圍為2，2考點：命題的真假判斷與應用；函數恒成立問題 分析：根據題意，原命題的否

22、定“xR，2x23ax+90”為真命題，也就是常見的“恒成立”問題，只需0解答：解：原命題的否定為“xR，2x23ax+90”，且為真命題，則開口向上的二次函數值要想大于等于0恒成立，只需=9a24290，解得：2a2故答案為：2，2點評：存在性問題在解決問題時一般不好掌握，若考慮不周全、或稍有不慎就會出錯所以，可以采用數學上正難則反的思想，去從它的反面即否命題去判定注意“恒成立”條件的使用14（5分）在直角坐標系xOy中直線l過拋物線y2=4x的焦點F且與該拋物線相交于A、B兩點其中點A在x軸上方若直線l的傾斜角為60則OAF的面積為考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；直線的傾斜角；拋物線的簡單

23、性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：確定直線l的方程，代入拋物線方程，確定A的坐標，從而可求OAF的面積解答：解：拋物線y2=4x的焦點F的坐標為（1，0）直線l過F，傾斜角為60直線l的方程為：，即代入拋物線方程，化簡可得y=2，或y=A在x軸上方OAF的面積為=故答案為：點評：本題考查拋物線的性質，考查直線與拋物線的位置關系，確定A的坐標是解題的關鍵15（5分）已知F是雙曲線的左焦點，A（1，4），P是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為9考點：雙曲線的定義；雙曲線的簡單性質；雙曲線的應用 專題：計算題；壓軸題分析：根據A點在雙曲線的兩支之間，根據雙曲線的定義求得a，

24、進而根據PA|+|PF|AF|=5兩式相加求得答案解答：解：A點在雙曲線的兩支之間，且雙曲線右焦點為F（4，0），由雙曲線性質|PF|PF|=2a=4而|PA|+|PF|AF|=5兩式相加得|PF|+|PA|9，當且僅當A、P、F三點共線時等號成立故答案為9點評：本題主要考查了雙曲線的定義，考查了學生對雙曲線定義的靈活運用16（5分）已知橢圓C：+=1，點M與C的焦點不重合，若M關于C的焦點的對稱點分別為A、B，線段MN的中點在C上，則|AN|+|BN|=12考點：橢圓的簡單性質 專題：圓錐曲線的定義、性質與方程分析：畫出圖形，利用中點坐標以及橢圓的定義，即可求出|AN|+|BN|的值解答：解

25、：如圖：MN的中點為Q，易得，Q在橢圓C上，|QF1|+|QF2|=2a=6，|AN|+|BN|=12故答案為：12點評：本題考查橢圓的定義，橢圓的基本性質的應用，是對基本知識的考查三、解答題（本大題共6小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17（10分）（）已知a是實數，i是虛數單位，是純虛數，求a的值；（）設z=，求|z|考點：復數求模；復數的基本概念；復數代數形式的乘除運算 專題：計算題；數系的擴充和復數分析：（）先化簡，由純虛數的定義可求a值；（）先化簡z，然后可求模；解答：解：（）=（a+1）+（1a）i，是純虛數，（a+1）=0

26、，1a0，即a=1；（）z=1i，|z|=點評：該題考查復數代數形式的乘除運算、復數的基本概念，屬基礎題18（12分）在對哈三中2014-2015學年高二學生喜歡學的科目的一次調查中，共調查了200人，其中男同學120 人，女同學80人，男同學中有80人喜歡學數學，另外40人喜歡學語文；女同學中有30人喜歡學數學，另外50人喜歡學語文（）填表，完成22列聯(lián)表；喜歡科目性別數學語文總計女男總計（）能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為性別與喜歡科目有關系？參考公式K2=P（K2k）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k1.3232.0722.7063.8

27、415.0246.6357.87910.828考點：獨立性檢驗 專題：閱讀型；概率與統(tǒng)計分析：（I）關鍵列聯(lián)表中各數據的含義填空；（II）利用相關指數K2的計算公式求出觀測值，比較與臨界值10.828的大小，可得答案解答：解：（I）22列聯(lián)表為：數學語文總計女305080男8040120總計11090200（II）K2=16.510.828，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為性別與喜歡科目有關點評：本題考查了獨立性檢驗思想方法，考查了學生的運算能力，準確計算相關指數K2的觀測值是解題的關鍵19（12分）一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了4次試驗，收集數據如

28、下：零件數x（個）10203040加工時間y（min）60687585（）求回歸方程；（）如果加工的零件是50個，預測所要花費的時間（參考公式：=，=）考點：線性回歸方程 專題：計算題；概率與統(tǒng)計分析：（）求出出橫標和縱標的平均數，得到樣本中心點，求出對應的橫標和縱標的積的和，求出橫標的平方和，做出系數和a的值，寫出線性回歸方程（）將x=50代入回歸直線方程，可得結論解答：解：（1）=（10+20+30+40）=25，=（60+68+75+85）=72，=3000，xiyi=7210，b=0.82a=720.8225=51.5，所求線性回歸方程為：=0.82x+51.5；（3）當x=50代入回

29、歸直線方程，得=0.8250+51.5=92.5（小時）加工50個零件大約需要92.5個小時點評：本題考查線性回歸方程的求法和應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題20（12分）已知橢圓C：=1 （常數m1），P是曲線C上的動點，M是曲線C上的右頂點，定點A的坐標為（2，0）（1）若M與A重合，求曲線C的焦點坐標；（2）若m=3，求|PA|的最大值與最小值；（3）若|PA|的最小值為|MA|，求實數m的取值范圍考點：橢圓的簡單性質 專題：綜合題；壓軸題；轉化思想分析：（1）根據題意，若M與A重合，即橢圓的右頂點的坐標，可得參數a的值，已知b=1，進而可得答案；（2）根據題意，可得橢圓的方程，變形

30、可得y2=1；而|PA|2=（x2）2+y2，將y2=1代入可得，|PA|2=4x+5，根據二次函數的性質，又由x的范圍，分析可得，|PA|2的最大與最小值；進而可得答案；（3）設動點P（x，y），類似與（2）的方法，化簡可得|PA|2=（x）2+5，且mxm；根據題意，|PA|的最小值為|MA|，即當x=m時，|PA|取得最小值，根據二次函數的性質，分析可得，m，且m1；解可得答案解答：解：（1）根據題意，若M與A重合，即橢圓的右頂點的坐標為（2，0）；則a=2；橢圓的焦點在x軸上；則c=；則橢圓焦點的坐標為（，0），（，0）；（2）若m=3，則橢圓的方程為+y2=1；變形可得y2=1，|P

31、A|2=（x2）2+y2=x24x+4+y2=4x+5；又由3x3，根據二次函數的性質，分析可得，x=3時，|PA|2=4x+5取得最大值，且最大值為25；x=時，|PA|2=4x+5取得最小值，且最小值為；則|PA|的最大值為5，|PA|的最小值為；（3）設動點P（x，y），則|PA|2=（x2）2+y2=x24x+4+y2=（x）2+5，且mxm；當x=m時，|PA|取得最小值，且0，則m，且m1；解得1m1+點評：本題考查橢圓的基本性質，解題時要結合二次函數的性質進行分析，注意換元法的運用即可21（12分）已知橢圓C：+=1（ab0）的離心率e=，左、右焦點分別為F1、F2，點P（2，），點F2在線段PF1的中垂線上（）求橢圓C的方程；（）設直線l：y=kx+m與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的斜率互為相反數，求證：直線l過定點，并求該定點的坐標考點：直線與圓錐曲線的綜合問題 專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：（）由已知推導出，（2c）2=（）2+（2c）2，由此能求出橢圓C的方程（）設直線MN方程為y=kx+m，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出直線MN的方程為y=k（x2），從而能證明直線MN過定點（2，0）解答：（）解：由橢圓C的離心率e=，得，其中c=，橢圓C的左、右焦點分別為F1（c，0）