高三數(shù)學(xué)培優(yōu)專題5三角形中的最值或范圍問題

1、高三數(shù)學(xué)培優(yōu)專題5：三角形中的最值（或范圍）問題 解三角形問題，可以較好地考察三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，恒等變換，邊角轉(zhuǎn)化，正弦余弦定理等知識點，是三角，函數(shù)，解析幾何和不等式的知識的交匯點，在高考中容易出綜合題，其中，三角形中的最值問題又是一個重點。其實，這一部分的最值問題解決的方法一般有兩種：一是建立目標(biāo)函數(shù)后，利用三角函數(shù)的有界性來解決，二是也可以利用重要不等式來解決。類型一：建立目標(biāo)函數(shù)后，利用三角函數(shù)有界性來解決例1在ABC中， 分別是內(nèi)角的對邊，且2asinA =（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.(1) 求角A的大?。唬?）求的最大值.變式1：已知向量，且，其中是ABC的內(nèi)角，

2、分別是角的對邊.(1) 求角的大?。唬?）求的最大值.解：由，得a+bc=ab=2abcosC所以cosC=，從而C=60故=sin(60+A)所以當(dāng)A=30時，的最大值是變式2已知半徑為R的圓O的內(nèi)接ABC中，若有2R（sinAsinC）=（ab）sinB成立，試求ABC的面積S的最大值。解：根據(jù)題意得： 2R()=(ab)*化簡可得 c=a+bab, 由余弦定理可得：C=45, A+B=135 S=absinC=2RsinA*2RsinB*sinC=sinAsin(135A)=(sin(2A+45)+10<A<135 45<2A+45<315 當(dāng)2A+4590即A=

3、15時，S取得最大值。類型二：利用重要不等式來解決例2（13年重慶中學(xué)）在中，角A,B,C的對邊分別為且.（1）若，且<，求的值（2）求的面積的最大值。解（1）由余弦定理， ，又<，解方程組得或 (舍) （2）由余弦定理， ，又即時三角形最大面積為變式3在ABC中，角A,B,C的對邊是a,b,c, ABC的外接圓半徑R=,且（1）求B和b的值； （2）求ABC面積的最大值解：由已知，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB即sin(B+C)= 2sinAcosBA+B+C= sinA =2sinAcosBsinA0 cosB= B=60R=, b=2RsinB=2sin60=3,故角B=60,邊b=3由余弦定理得b=a+c-2accosB即9a+c-2accos 609ac= a+c2ac(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號)即ac=9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時取等號)三角形得面積s=acsinB*9*sin60=三角形得面積的最大值是變式4：ABC中，若AB=1,BC=2,則角C的取值范圍是 答案：解法1.由a=2,c=1, a=2c2sinA=4si