高中數(shù)學(xué)通用模型解題精編版

1、高中數(shù)學(xué)通用模型解題方法上海市華師大二附中 特級(jí)數(shù)學(xué)教師：張杰1. 對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。中元素各表示什么？ A表示函數(shù)y=lgx的定義域，B表示的是值域，而C表示的卻是函數(shù)上的點(diǎn)的軌跡2 進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘記集合本身和空集的特殊情況注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題?？占且磺屑系淖蛹?，是一切非空集合的真子集。顯然，這里很容易解出A=-1,3.而B最多只有一個(gè)元素。故B只能是-1或者3。根據(jù)條件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 這里千萬小心，還有一個(gè)B為空集的情況，也就是a=0,不要把它搞忘記了。3. 注意下列性質(zhì)：

2、要知道它的來歷：若B為A的子集，則對(duì)于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對(duì)于元素a2, a3,an,都有2種選擇，所以，總共有種選擇， 即集合A有個(gè)子集。當(dāng)然，我們也要注意到，這種情況之中，包含了這n個(gè)元素全部在何全部不在的情況，故真子集個(gè)數(shù)為，非空真子集個(gè)數(shù)為（3）德摩根定律：有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂4. 你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）的取值范圍。注意，有時(shí)候由集合本身就可以得到大量信息，做題時(shí)不要錯(cuò)過； 如告訴你函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，就應(yīng)該馬上知道函數(shù)對(duì)稱軸是x=1.或者，我說在上 ，也應(yīng)該馬上

3、可以想到m，n實(shí)際上就是方程 的2個(gè)根5、熟悉命題的幾種形式、命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。）原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。6、熟悉充要條件的性質(zhì)（高考經(jīng)?？迹M足條件，滿足條件，若；則是的充分非必要條件；若；則是的必要非充分條件；若；則是的充要條件；若；則是的既非充分又非必要條件；7. 對(duì)映射的概念了解嗎？映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射？（一對(duì)一，多對(duì)一，允許B中有元素?zé)o原象。）注意映射個(gè)數(shù)的求法。如集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則從A到B的映射個(gè)數(shù)有nm個(gè)。如：若，

4、；問：到的映射有個(gè)，到的映射有個(gè)；到的函數(shù)有個(gè)，若，則到的一一映射有個(gè)。函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為個(gè)。 8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？（定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域）相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備) 9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？函數(shù)定義域求法：l 分式中的分母不為零；l 偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；l 指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；l 對(duì)數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。l 正切函數(shù)l 余切函數(shù)l 反三角函數(shù)的定義域函數(shù)yarcsinx的定義域是 1, 1 ，值域是，函數(shù)yarccosx的定義域是 1, 1 ，值域是 0,

5、 ，函數(shù)yarctgx的定義域是 R ，值域是.，函數(shù)yarcctgx的定義域是 R ，值域是 (0, ) .當(dāng)以上幾個(gè)方面有兩個(gè)或兩個(gè)以上同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，先分別求出滿足每一個(gè)條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數(shù)的定義域。10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？義域是_。復(fù)合函數(shù)定義域的求法：已知的定義域?yàn)?，求的定義域，可由解出x的范圍，即為的定義域。例 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?。分析：由函?shù)的定義域?yàn)榭芍?；所以中有。解：依題意知： 解之，得 的定義域?yàn)?1、函數(shù)值域的求法1、直接觀察法對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 求函數(shù)y=的值域2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基

6、本的方法之一。例、求函數(shù)y=-2x+5，x-1，2的值域。3、判別式法對(duì)二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其他方法進(jìn)行化簡(jiǎn)，不必拘泥在判別式上面下面，我把這一類型的詳細(xì)寫出來，希望大家能夠看懂4、反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例 求函數(shù)y=值域。5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例 求函數(shù)y=，的值域。6、函數(shù)單調(diào)性法 通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個(gè)內(nèi)容例求函數(shù)y=（2x10）的值域7、換元法

7、通過簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例 求函數(shù)y=x+的值域。8 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。例：已知點(diǎn)P（x.y）在圓x2+y2=1上，例求函數(shù)y=+的值域。解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：y=x-2+x+8 上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），B（-8）間的距離之和。由上圖可知：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，y=x-2+x+8=AB=10當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延

8、長(zhǎng)線上時(shí)，y=x-2+x+8AB=10故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?0，+）例求函數(shù)y=+ 的值域解：原函數(shù)可變形為：y=+上式可看成x軸上的點(diǎn)P（x，0）到兩定點(diǎn)A（3，2），B（-2，-1）的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)， y=AB=，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?）。例求函數(shù)y=-的值域解：將函數(shù)變形為：y=-上式可看成定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn)B（-2，1）到點(diǎn)P（x，0）的距離之差。即：y=AP-BP由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)P¹，則構(gòu)成ABP¹，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有 AP¹-BP

9、85;AB= 即：-y（2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有 AP-BP=AB= 。綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋海?，-）。注：求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A，B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使兩點(diǎn)A，B在x軸的同側(cè)。9 、不等式法利用基本不等式a+b2，a+b+c3（a，b，c），求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例：倒數(shù)法有時(shí)，直接看不出函數(shù)的值域時(shí)，把它倒過來之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)另一番境況例 求函數(shù)y=的值域多種方法綜合運(yùn)用總之，在具體求某個(gè)函數(shù)的值域時(shí)，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征

10、，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?，一般?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。12. 求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時(shí)， 一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當(dāng)年的錯(cuò)誤，與到手的滿分失之交臂 13. 反函數(shù)存在的條件是什么？（一一對(duì)應(yīng)函數(shù)）求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？（反解x；互換x、y；注明定義域）在更多時(shí)候，反函數(shù)的求法只是在選擇題中出現(xiàn)，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便。請(qǐng)看這個(gè)例題：(2004.全國(guó)理)函數(shù)的反函數(shù)是（ B ）Ay=x22x+2(x<1)By=x22x+2(

11、x1)Cy=x22x (x<1)Dy=x22x(x1)當(dāng)然，心情好的同學(xué)，可以自己慢慢的計(jì)算，我想， 一番心血之后，如果不出現(xiàn)計(jì)算問題的話，答案還是可以做出來的?？上В@個(gè)不合我胃口，因?yàn)槲乙幌驊猩T了，不習(xí)慣計(jì)算。下面請(qǐng)看一下我的思路：原函數(shù)定義域?yàn)?x=1，那反函數(shù)值域也為y>=1. 排除選項(xiàng)C,D.現(xiàn)在看值域。原函數(shù)至于為y>=1,則反函數(shù)定義域?yàn)閤>=1, 答案為B.我題目已經(jīng)做完了， 好像沒有動(dòng)筆（除非你拿來寫*書）。思路能不能明白呢？14. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？ 反函數(shù)性質(zhì)：1、 反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域 （可擴(kuò)展為反函數(shù)中的x對(duì)應(yīng)原函數(shù)中的y）2、 反

12、函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（可擴(kuò)展為反函數(shù)中的y對(duì)應(yīng)原函數(shù)中的x）3、 反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關(guān)于直線=x對(duì)稱（難怪點(diǎn)（x,y）和點(diǎn)（y，x）關(guān)于直線y=x對(duì)稱互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱；保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；由反函數(shù)的性質(zhì)，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04. 上海春季高考）已知函數(shù)，則方程的解_.1對(duì)于這一類題目，其實(shí)方法特別簡(jiǎn)單，呵呵。已知反函數(shù)的y,不就是原函數(shù)的x嗎？那代進(jìn)去阿，答案是不是已經(jīng)出來了呢？（也可能是告訴你反函數(shù)的x值，那方法也一樣，呵呵。 自己想想，不懂再問我15 . 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？（取值、作差、判正負(fù)）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：

13、(1)定義法：根據(jù)定義，設(shè)任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關(guān)系可以變形為求的正負(fù)號(hào)或者與1的關(guān)系(2)參照?qǐng)D象：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間具有相同的單調(diào)性； （特例：奇函數(shù)）若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。（特例：偶函數(shù)）(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)f(x)與f(x)c(c是常數(shù))是同向變化的函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當(dāng)c0時(shí)，它們是同向變化的；當(dāng)c0時(shí)，它們是反向變化的。如果函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x

14、)和它們同向變化；（函數(shù)相加）如果正值函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負(fù)值函數(shù)f1(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）函數(shù)f(x)與在f(x)的同號(hào)區(qū)間里反向變化。若函數(shù)u(x)，x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u(),()同向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yF(x)是遞增的；若函數(shù)u(x),x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u()，()反向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yF(x)是遞減的。（同增異減）若函數(shù)yf(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，則其反函數(shù)xf1(y)也是嚴(yán)格單調(diào)的，而且，它們的增減性相同。f(g)g(x)

15、fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正數(shù)增增增增增增減減/減增減/減減增減減）16. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？值是（） A. 0B. 1C. 2D. 3a的最大值為3）17. 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？（f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）注意如下結(jié)論：（1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。判斷函數(shù)奇偶性的方法一、 定義域法一個(gè)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).二、 奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的

16、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，計(jì)算，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、 復(fù)合函數(shù)奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？函數(shù)，T是一個(gè)周期。）我們?cè)谧鲱}的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應(yīng)過來，這時(shí)說這個(gè)函數(shù)周期2t. 推導(dǎo)：，同時(shí)可能也會(huì)遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實(shí)這都是說同樣一個(gè)意思：函數(shù)f(x)關(guān)于直線對(duì)稱， 對(duì)稱軸可以由括號(hào)內(nèi)的2個(gè)數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a

17、-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對(duì)稱。如： 19. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(x,-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(y,x) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,0)（這是書上的方法，雖然我從來不用， 但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對(duì)于這種題目，其實(shí)根本不用這么麻煩。你要判斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點(diǎn)的坐標(biāo)。 看點(diǎn)和原點(diǎn)的關(guān)系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。）注意如下“翻折”變

18、換：19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？(k為斜率，b為直線與y軸的交點(diǎn))的雙曲線。應(yīng)用：“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程求閉區(qū)間m，n上的最值。求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。一元二次方程根的分布問題。由圖象記性質(zhì)?。ㄗ⒁獾讛?shù)的限定?。├盟膯握{(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？（均值不等式一定要注意等號(hào)成立的條件）20. 你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎？21. 如何解抽象函數(shù)問題？（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）（對(duì)于這種抽象函數(shù)的題目，其實(shí)簡(jiǎn)單得都可以直接用死記了1、 代y=x，2、 令x=0或1來求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令y=x

19、；求單調(diào)性：令x+y=x1幾類常見的抽象函數(shù) 1. 正比例函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）kx（k0）-f（x±y）f（x）±f（y）2. 冪函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）xa-f（xy） f（x）f（y）；f（）3. 指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）ax-f（xy）f（x）f（y）；f（xy）4. 對(duì)數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）logax（a>0且a1）-f（x·y）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）5. 三角函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）tgx-f（xy）f（x）cotx-f（xy）例1已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f

20、(x)>0，f(1) 2求f(x)在區(qū)間2,1上的值域.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）<3的解.分析：先證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)（仿例1）；再求出f（1）3；最后脫去函數(shù)符號(hào).例3已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f（xy）f（x）f（y），且f（1）1，f（27）9，當(dāng)0x1時(shí)，f（x）0，1.（1） 判斷f（x）的奇偶性；（2） 判斷

21、f（x）在0，上的單調(diào)性，并給出證明；（3） 若a0且f（a1），求a的取值范圍.分析：（1）令y1； （2）利用f（x1）f（·x2）f（）f（x2）； （3）0a2.例4設(shè)函數(shù)f（x）的定義域是（，），滿足條件：存在x1x2，使得f（x1）f（x2）；對(duì)任何x和y，f（xy）f（x）f（y）成立.求：（1） f（0）；（2） 對(duì)任意值x，判斷f（x）值的符號(hào).分析：（1）令x= y0；（2）令yx0.例5是否存在函數(shù)f（x），使下列三個(gè)條件：f（x）>0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分

22、析：先猜出f（x）2x；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.例6設(shè)f（x）是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（x·y）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍.分析：（1）利用31×3；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y f（x）的反函數(shù)是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）·g（b）是否正確，試說明理由.分析：設(shè)f（a）m，f（b）n，則g（m）a，g（n）b，進(jìn)而mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）.例8已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三個(gè)

23、條件： x1、x2是定義域中的數(shù)時(shí)，有f（x1x2）； f（a） 1（a0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)）； 當(dāng)0x2a時(shí)，f（x）0. 試問：（1） f（x）的奇偶性如何？說明理由；（2） 在（0，4a）上，f（x）的單調(diào)性如何？說明理由. 分析：（1）利用f （x1x2） f （x1x2），判定f（x）是奇函數(shù)；（3） 先證明f（x）在（0，2a）上是增函數(shù)，再證明其在（2a，4a）上也是增函數(shù). 對(duì)于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問題，對(duì)應(yīng)的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對(duì)不同的函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問題.例9已知函數(shù)f（x）（x0）滿足f（xy）f（x）f（y），（1） 求證：f（1）f（1）0；（2） 求證：f（x）為偶函數(shù)；（3） 若f（x）在（0，）上是增函數(shù)，解不等式f（x）f（x）0.分析：函數(shù)模型為：f（x）loga|x|（a0）（1）