上海市2013屆高三二模數(shù)學(xué)(理)分類匯編：數(shù)列

1、【精品文檔】如有侵權(quán)，請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學(xué)習(xí)與交流上海市2013屆高三二模數(shù)學(xué)(理)分類匯編：數(shù)列.精品文檔.上海市16區(qū)2013屆高三二模數(shù)學(xué)理試題分類匯編數(shù)列一、填空、選擇題1、（2013屆奉賢區(qū)二模）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和是，若和都是等差數(shù)列，且公差相等，則 答案：2、（2013屆奉賢區(qū)二模）數(shù)列前項(xiàng)和為，已知，且對(duì)任意正整數(shù)，都有，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（ ）（A） （B） （C） （D）4答案：A3、（2013屆虹口區(qū)二模）數(shù)列的通項(xiàng)，前項(xiàng)和為，則 答案：74、（2013屆黃浦區(qū)二模）等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為30，則_答案：125、（2013屆靜安、楊浦、青浦、寶山區(qū)二模）各項(xiàng)為正數(shù)

2、的無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若， 則其公比的取值范圍是 .答案：6、（2013屆閔行區(qū)二模）公差為，各項(xiàng)均為正整數(shù)的等差數(shù)列中，若，則的最小值等于 答案：187、（2013屆浦東新區(qū)二模）數(shù)列滿足（）存在可以生成的數(shù)列是常數(shù)數(shù)列；“數(shù)列中存在某一項(xiàng)”是“數(shù)列為有窮數(shù)列”的充要條件；若為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是；只要，其中，則一定存在；其中正確命題的序號(hào)為 .答案：二、解答題1、（2013屆長(zhǎng)寧、嘉定區(qū)二模）已知三個(gè)互不相等的正數(shù)，成等比數(shù)列，公比為在，之間和，之間共插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列（1）若，在，之間插入一個(gè)數(shù)，求的值；（2）設(shè)，問(wèn)在，之間和，之間各插入幾個(gè)數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）

3、若插入的個(gè)數(shù)中，有個(gè)位于，之間，個(gè)位于，之間，試比較與的大小（理）解：（1）因?yàn)?，是互不相等的正?shù)，所以且由已知，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，2分當(dāng)插入的一個(gè)數(shù)位于，之間， 設(shè)由個(gè)數(shù)構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，則，消去得，因?yàn)?，所?4分（2）設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，由題意，共插入個(gè)數(shù)5分若在，之間插入個(gè)數(shù)，在，之間插入個(gè)數(shù)，則，于是，解得7分若在，之間插入個(gè)數(shù)，在，之間插入個(gè)數(shù)，則，于是，解得（不合題意，舍去） 9分若，之間和，之間各插入個(gè)數(shù)，則，解得（不合題意，舍去） 11分綜上，之間插入個(gè)數(shù)，在，之間插入個(gè)數(shù) 12分（3）設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列的公差為，由題意，又，14分所以，即，因?yàn)椋?/p>

4、所以16分所以，當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，18分（文）（1）當(dāng)時(shí)，由已知，得當(dāng)時(shí)，由，兩式相減得，即，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列所以，（） 4分（2）由題意，故，即，6分因?yàn)?，所以，即，解得?分所以所以所得等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，共有項(xiàng)10分所以這個(gè)等差數(shù)列所有項(xiàng)的和 11分所以， 12分（3）由（1）知，所以14分由題意，即對(duì)任意成立，所以對(duì)任意成立16分因?yàn)樵谏鲜菃握{(diào)遞增的，所以的最小值為所以由得的取值范圍是所以，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列 18分2、（2013屆奉賢區(qū)二模）已知數(shù)列an中，a2=1，前n項(xiàng)和為Sn，且 （1）求a1，a3；（2）求證：數(shù)列an為等差數(shù)列，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；

5、（3）設(shè)，試問(wèn)是否存在正整數(shù)p，q(其中1<p<q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組(p，q)；若不存在，說(shuō)明理由解：(1)令n=1，則a1=S1=0 2分； a3=2； 3分（2）由，即， 得 ，得 5分于是， +，得，即 7分又a1=0，a2=1，a2a1=1， 所以，數(shù)列an是以0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列所以，an=n1 9分法二，得 5分于是， 7分 所以，an=n1 9分 (3)假設(shè)存在正整數(shù)數(shù)組(p，q)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列，則lgb1，lgbp，lgbq成等差數(shù)列， 10分于是， 11分所以，()易知(p，q)=(2，3)為方

6、程()的一組解 12分當(dāng)p3，且pN*時(shí)，<0，故數(shù)列(p3)為遞減數(shù)列 14分于是<0，所以此時(shí)方程()無(wú)正整數(shù)解 15分綜上，存在唯一正整數(shù)數(shù)對(duì)(p，q)=(2，3)，使b1，bp，bq成等比數(shù)列 16分3、（2013屆虹口區(qū)二模）已知復(fù)數(shù)，其中，是虛數(shù)單位，且，（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求和：；解：（1），由得，3分?jǐn)?shù)列是以1為首項(xiàng)公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列是以1為首項(xiàng)公差為2的等差數(shù)列，6分（2）由（1）知，,數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列9分當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，又也滿足上式14分4、（2013屆黃浦區(qū)二模）已知數(shù)列具有性質(zhì)：為整數(shù)；對(duì)于任意的正整數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇

7、數(shù)時(shí)，.（1）若為偶數(shù)，且成等差數(shù)列，求的值；（2）設(shè)(且N)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：；（3）若為正整數(shù)，求證：當(dāng)(N)時(shí)，都有.【解析】設(shè)，則：，分兩種情況： 是奇數(shù)，則，若是偶數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，由定義可知：綜上可知：當(dāng)時(shí)，都有5、（2013屆靜安、楊浦、青浦、寶山區(qū)二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足 ()，設(shè)，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，求實(shí)數(shù)的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，給出一個(gè)新數(shù)列，其中，設(shè)這個(gè)新數(shù)列的前項(xiàng)和為，若可以寫(xiě)成 (且)的形式，則稱為“指數(shù)型和”問(wèn)中的項(xiàng)是否存在“指數(shù)型和”，若存在，求出所有“指數(shù)型和”；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：（1），當(dāng)時(shí)，=2，所以為等比數(shù)列 ， （2） 由

8、（1）可得 所以，且所以的最小值為（3）由（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以對(duì)正整數(shù)都有 由，(且)，只能是不小于3的奇數(shù)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，因?yàn)楹投际谴笥?的正整數(shù)，所以存在正整數(shù)，使得，,，所以且，相應(yīng)的，即有，為“指數(shù)型和”； 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，由于是個(gè)奇數(shù)之和，仍為奇數(shù)，又為正偶數(shù)，所以 不成立，此時(shí)沒(méi)有“指數(shù)型和”6、（2013屆閔行區(qū)二模）如圖，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作傾斜角為的直線交拋物線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線，交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)；如此下去又設(shè)線段的長(zhǎng)分別為，的面積分別為數(shù)列的前項(xiàng)的和為（1）求； （2）求，；（3）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)于

9、正整數(shù)，若，且，試比較與的大小 解 （1）如圖，由是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又在拋物線上，所以，得 2分同理在拋物線上，得 2分（2）如圖，法1：點(diǎn)的坐標(biāo)為，即點(diǎn)，所以直線的方程為或，因此，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足消去得 ， 所以又，故從而 2分由有 -得即，又，于是所以是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)， 2分， 2分法2：點(diǎn)的坐標(biāo)為，即點(diǎn)，所以直線的方程為或因此，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足消去得，又，所以，從而 2分以下各步同法1法3：點(diǎn)的坐標(biāo)為，即點(diǎn)，所以，又在拋物線上，得,即2分以下各步同法1（3）因?yàn)?，所以?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，且公比，首項(xiàng)，則， 2分=（注意） 2分而（注意） 2分因?yàn)?，所?又均為正整數(shù)，

10、所以與同號(hào)，故，所以， 2分（第（3）問(wèn)只寫(xiě)出正確結(jié)論的，給1分）7、（2013屆浦東新區(qū)二模）已知直角的三邊長(zhǎng)，滿足（1）在之間插入2011個(gè)數(shù)，使這2013個(gè)數(shù)構(gòu)成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，且它們的和為，求的最小值；（2）已知均為正整數(shù)，且成等差數(shù)列，將滿足條件的三角形的面積從小到大排成一列，且，求滿足不等式的所有的值；（3）已知成等比數(shù)列，若數(shù)列滿足，證明：數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形，且是正整數(shù).解：（1）是等差數(shù)列，即.2分所以，的最小值為；4分（2）設(shè)的公差為，則5分設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為，面積，.7分由得， 當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.9分綜上所述，滿足不等式的所有的值為2

11、、3、4.10分（3）證明：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，.由于為直角三角形的三邊長(zhǎng)，知，11分又，得，于是.12分，則有.故數(shù)列中的任意連續(xù)三項(xiàng)為邊長(zhǎng)均可以構(gòu)成直角三角形.14分因?yàn)?，15分由，同理可得，故對(duì)于任意的都有是正整數(shù).16分8、（2013屆普陀區(qū)二模）對(duì)于任意的，若數(shù)列同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”：； 存在實(shí)數(shù),使得成立.（1）數(shù)列、中，、（），判斷、是否具有“性質(zhì)”；（2）若各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，證明：數(shù)列具有“性質(zhì)”，并指出的取值范圍；（3）若數(shù)列的通項(xiàng)公式（）.對(duì)于任意的（），數(shù)列具有“性質(zhì)”，且對(duì)滿足條件的的最小值，求整數(shù)的值.解：（1）在數(shù)列中，取，則，

12、不滿足條件，所以數(shù)列不具有“性質(zhì)”；2分 在數(shù)列中，則，所以滿足條件；（）滿足條件，所以數(shù)列具有“性質(zhì)”。4分（2）因?yàn)閿?shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比，將代入得，解得或（舍去），6分所以，7分對(duì)于任意的，且8分所以數(shù)列數(shù)列具有“性質(zhì)”9分.10分（3）由于，則， 由于任意且，數(shù)列具有“性質(zhì)”，所以即，化簡(jiǎn)得，12分即對(duì)于任意且恒成立，所以14分=由于及，所以即時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且16分只需，解得17分由 得，所以滿足條件的整數(shù)的值為2和3.經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去，滿足條件的整數(shù)只有18分9、（2013屆徐匯、松江、金山區(qū)二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列. （1）

13、求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，對(duì)任意的正整數(shù)，將集合中的三個(gè)元素排成一個(gè)遞增的等差數(shù)列，其公差為，求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （3）對(duì)（2）題中的，求集合的元素個(gè)數(shù).解：(1)由條件得，即,.2分 所以，. .4分 (2) 由（1）可知所以，,，.7分由及得依次成遞增的等差數(shù)列,.8分所以，.9分滿足為常數(shù)，所以數(shù)列為等比數(shù)列. .10分 （3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.12分同樣，可得,所以，集合的元素個(gè)數(shù)為；.13分當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，同理可得集合的元素個(gè)數(shù)為. .16分10、（2013屆閘北區(qū)二模）設(shè)數(shù)列與滿足：對(duì)任意，都有，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和（1）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前項(xiàng)和解：由題意知，且兩式相減得即 （2分）（1）當(dāng)時(shí)，由知于是又，所以是