全等三角形及三角形全等的條件一對一輔導講義

1、課 題全等三角形及三角形全等的條件教學目的1、掌握全等三角形對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，并能進行簡單的推理計算。2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能準確找到判定定理的條件，并熟練運用。教學內(nèi)容1、 課前檢測1如圖1，ABC中，AB=AC，AD平分BAC，那么_2斜邊和一銳角對應(yīng)相等的兩直角三角形全等的根據(jù)是_，底邊和腰相等的兩個等腰三角形全等的根據(jù)是_3ABCDEF，DEF的周長為32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm那么AB=_，BC=_，AC=_ 圖1 圖2 圖34 如圖2，AC=BD，要使ABCDCB還需知道的一個條件是_5 如圖3，假設(shè)1=2，C=D，那么ADB_，理由_6

2、不能確定兩個三角形全等的條件是 A三邊對應(yīng)相等B兩邊及其夾角相等C兩角和任一邊對應(yīng)相等D三個角對應(yīng)相等7ABC和DEF中，AB=DE，A=D，假設(shè)ABCDEF還需要 AB=EBC=F CAC=DFD前三種情況都可以8 在ABC和ABC中AB=AB BC=BCAC=ACA=AB=BC=C，那么以下哪組條件不能保證ABCABC A具備B具備C具備D具備參考答案：1ADBADC2ASA或AASSSS39 cm12 cm11 cm4ACB=DBC或AB=CD5 ACBAAS 6D 7D 8A2、 知識梳理知識要點：要點1：全等三角形的概念及其性質(zhì)1全等三角形的定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角

3、形 。2全等三角形性質(zhì)：對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、周長相等、面積相等要點2：全等三角形的判定1兩邊及夾角對應(yīng)相等SAS； 2兩角及夾邊對應(yīng)相等ASA；3兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等AAS； 4三邊對就應(yīng)相等SSS。要點3：找全等三角形的對應(yīng)邊，對應(yīng)角的方法 1假設(shè)給出對應(yīng)頂點即可找出對應(yīng)邊和對應(yīng)角。2假設(shè)給出一些對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角，那么按照對應(yīng)邊所對的角是對應(yīng)角，反之，對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊就可找出其他幾組對應(yīng)邊和對應(yīng)角。3按照兩對對應(yīng)邊所夾的角是對應(yīng)角，兩對對應(yīng)角所夾的邊是對應(yīng)邊來準確找出對應(yīng)角和對應(yīng)邊。4一般情況下，在兩個全等三角形中，公共邊、公共角、對頂角等往往是對應(yīng)邊，對應(yīng)角。要點4：尋找兩

4、個三角形全等的途徑1三角形全等的判定是這個單元的重點，也是平面幾何的重點 有兩組對應(yīng)角相等時；找 有兩組對應(yīng)邊相等時；找 有一邊，一鄰角相等時；找 有一邊，一對角相等時；找任一組角相等AAS2利用兩個三角形的公共邊或公共角尋找對應(yīng)關(guān)系，推得新的等量元素如圖一中的AD，圖二中的BC都是相應(yīng)三角形的公共元素。圖三中如有BF=CE，利用公有的線段FC就可推出BC=EF。圖四中假設(shè)有DAB=EAC，就能推出DAC=BAE。三、例題講解： 例1. 如圖，四點共線，。求證：。. 思路分析：從結(jié)論入手，全等條件只有；由兩邊同時減去得到，又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以是，也可以是。由條件，可得，

5、再加上，可以證明，從而得到。解答過程：，在與中(HL)，即在與中(SAS)解題后的思考：此題的分析方法實際上是“兩頭湊的思想方法：一方面從問題或結(jié)論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再比照“所需條件和“得出結(jié)論之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：此題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€題目，得出解題思路例2. 如圖，在中，是ABC的平分線，垂足為。求證：。思路分析：直接證明比擬困難，我們可以間接證明，即找到，證明且。也可以看成將“轉(zhuǎn)移到。那么在哪里呢？角的對稱性提示我們將延長交于，那么構(gòu)造了FBD，可以通過證明

6、三角形全等來證明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。解答過程：延長交于在與中(ASA 又 。解題后的思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3. 如圖，在中，。為延長線上一點，點在上，連接和。求證：。思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個三角形。以線段為邊的繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，而線段正好是的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯伞＝獯疬^程：，為延長線上一點在與中(SAS)。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應(yīng)邊和對應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不容易找到需證明

7、的三角形。這時我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4. 如圖，是的邊上的點，且，是的中線。求證：。思路分析：要證明“，不妨構(gòu)造出一條等于的線段，然后證其等于。因此，延長至，使。解答過程：延長至點，使，連接在與中(SAS)，又，在與中(SAS)又。解題后的思考：三角形中倍長中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。4、 課堂練習一、選擇題：1. 能使兩個直角三角形全等的條件是( )A. 兩直角邊對應(yīng)相等B. 一銳角對應(yīng)相等C. 兩銳角對應(yīng)相等D. 斜邊相等2. 根據(jù)以下條件，能畫出唯一的是( )A. ，B.

8、 ，C. ，D. ，3. 如圖，增加以下條件：；。其中能使的條件有( )A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個 第3題 第4題 第5題 第6題4. 如圖，那么等于( )A. B. C. D. 無法確定二、填空題：5. 如圖，在中，的平分線交于點，且，那么點到的距離等于_；6. 將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，那么的大小為_；三、解答題：7. 如圖，為等邊三角形，點分別在上，且，與交于點。求的度數(shù)。8. 如圖，為上一點，交延長線于點。求證：。9. 如圖，AEAD，AFAB，AF=AB，AE=AD=BC，AD/BC.求證：1AC=EF，2ACEF10. ：如圖，在RtABC中，AB=A

9、C，BAC=90，1=2，CEBD的延長線于E.求證：BD=2CE.參考答案一、選擇題：1. A2. C3. B4. C二、填空題：5. 46. 三、解答題：7. 解：為等邊三角形，在與中(SAS)。8. 證明：，在與中(AAS)。9. 證明：1AD/BC，BDAB=180又DAB4EAF3=360，3=4=90DABEAF=180B=EAF在ABC和FAE中 ABCFAESAS AC=EF2ABCFAE1=F 又13=2F2=3 又3=90 2=90 AGEF，即ACEF10. 證明：延長BA、CE交于點F. 3=90，5F=90又BECE，4=90，7=90 1F=90，6=18090=9

10、01=5在ABD和ACF中 ABDACFASABD=FC在BEF和BEC中 BEFBECASAEF=EC FC=2EC BD=2EC5、 課堂小結(jié)(1) 全等三角形的概念及其性質(zhì)(2) 全等三角形的判定(3) 找全等三角形的對應(yīng)邊，對應(yīng)角的方法(4) 尋找兩個三角形全等的途徑六、課后作業(yè) 一、填空題1如圖1，C=E，1=2，AC=AE，那么ABD按邊分是_ 三角形2如圖2，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，交BD于P，那么PD_PE填“或“=3如圖3，ABC中，AB=AC，現(xiàn)想利用證三角形全等證明B=C，假設(shè)證三角形全等所用的公理是SSS公理，那么圖中所添加的輔助線應(yīng)是_圖1 圖2圖3

11、圖44 一個三角形的三邊為2、5、x，另一個三角形的三邊為y、2、6，假設(shè)這兩個三角形全等，那么x+y=_5 如圖4，AD=AE，假設(shè)AECADB，那么需增加的條件是_至少三個2、 選擇題6如圖8，圖中有兩個三角形全等，且A=D，AB與DF是對應(yīng)邊，那么以下書寫最標準的是 AABCDEFBABCDFECBACDEFDACBDEF7如圖9，AC=AB，AD平分CAB，E在AD上，那么圖中能全等的三角形有_對A1B2C3D4圖8 圖9圖10圖118如圖10，ABC中，D、E是BC邊上兩點，AD=AE，BE=CD，1=2=110，BAE=60，那么CAD等于 A70 B60 C50D1109如圖11

12、，ABCD，且AB=CD，那么ABECDE的根據(jù)是 A只能用ASAB只能用SASC只能用AASD用ASA或AAS10如圖12，ABCAEF，AB和AE，AC和AF是對應(yīng)邊，那么EAC等于 AACBBBAFCFDCAF11如圖13，ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E且AB=6 cm，那么DEB的周長為 A40 cmB6 cmC8 cmD10 cm 圖12圖13圖1412如圖14，1=2，C=D，AC，BD相交于點E，下面結(jié)論不正確的選項是 ADAE=CBEBDEA與CEB不全等CCE=CDDAEB是等腰三角形三、解答題13EF是AB上的兩點，AE=BF，ACB

13、D，且AC=DB，求證：CF=DE 圖1514一塊三角形玻璃損壞后，只剩下如圖16所示的殘片，你對圖中作哪些數(shù)據(jù)測量后就可到建材部門割取符合規(guī)格的三角形玻璃并說明理由圖1615如圖17，在ABC中，AM是中線，AD是高線圖171假設(shè)AB比AC長5 cm，那么ABM的周長比ACM的周長多_ cm2假設(shè)AMC的面積為10 cm2，那么ABC的面積為_cm 2A10 B20 C30D403假設(shè)AD又是AMC的角平分線，AMB=130，求ACB的度數(shù)16如圖18，B是CE的中點，AD=BC，AB=DCDE交AB于F點求證：1ADBC 2AF=BF圖18參考答案一、1等腰2=3AD為ABC的中線4115AEC=ADB或C=B或AC=AB或BE=CD多寫一個加一分二、6B7C8B9D 10B11B12B三、13證明：ACFBDESAS