兩角差的余弦公式

1、課題：兩角差的余弦公式湖南師大附中 吳菲三維目標：知識目標：通過讓學生猜測、探索、發(fā)現(xiàn)并推導“兩角差的余弦公式；了解單角與復角的三角函數(shù)之間的內在聯(lián)系；通過變式訓練，加深對兩角差的余弦公式的理解；培養(yǎng)學生的運算能力及邏輯推理能力，提高學生的數(shù)學素質。能力目標：運用兩角差的余弦公式，會進行簡單的求值、化簡、證明；體會化歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想在數(shù)學當中的運用，使學生樹立聯(lián)系與轉化的辨證唯物主義觀點，提高學生分析問題、解決問題的能力。情感目標：本節(jié)課通過創(chuàng)設問題情景，使學生體驗科學探索的過程，感受科學探索的樂趣，鼓勵科學探索的勇氣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和良好的團隊合作意識。 重點難點：教學重點：通過探

2、究得到兩角差的余弦公式教學難點：探索過程的組織和適當引導。教學過程：一、 走入生活引入：同學們，在第一章我們學習了同角三角函數(shù)式的變換，今天我們將一起探究一種包含兩個角的三角函數(shù)式的變換：兩角差的余弦公式。先讓我們走入生活，看一個例子：F例：如下圖,一個斜坡的高為6m,斜坡的水平長度為8m,作用在物體上的力F與水平方向的夾角為60°,且大小為10N ,在力F的作用下物體沿斜坡運動了m,求力F作用在物體上的功W6mS解： W = = 30 提問：1、解決問題需要求什么?8m 2、你能找到哪些與有關的條件?3、能否利用這些條件求出？如果能，提出你的猜測 4、怎樣檢驗這些猜測是否正確？二、

3、 合作探討從特殊情況去猜測公式的結構形式 令令分析：可見，我們的公式的形式應該與均有關系？他們之間存在怎樣的代數(shù)關系呢？會不會是“、“、“、“÷？請同學們根據(jù)下表中數(shù)據(jù)，相互交流討論，提出你的猜測用具體值檢驗猜測的合理性令那么三角函數(shù)三角函數(shù)值學生再舉特例進行驗證各抒己見 利用幾何畫板，對更多的情況加以驗證。三、提出猜測：師：要讓猜測更有說服力，我們還要進行理論證明四、理論證明：y引導探究：研究三角函數(shù)問題，我們常用的一種方法就是利用單位圓，在單位圓中，角的余弦值可用余弦線來表示OBMxP11ACP1我們先來討論最簡單的情況：為銳角，且方法一：利用三角函數(shù)線證明：在單位圓O中，作，交

4、單位圓于點，作，那么過點P作PM垂直x 軸于M，過點 ，過點，那么：，且 為銳角，且方法小結：在整個證明過程中，我們通過幾何的手段，得到了一個代數(shù)公式，這運用到了在數(shù)學探究過程中一種重要的思想方法：數(shù)形結合提問：當取任意角的時候，結果又會怎樣呢？展示下一張幻燈片，大家思考一下給學生思考的時間，要求學生說出自己的思考結果假設學生說出來要給予及時的肯定，假設沒能說出那么作為課后思考作業(yè)方法二：利用向量y-1-111B Ax0啟發(fā)思考：我們來仔細觀察猜測的結構，等式的左邊是差角的余弦，我們在什么地方見到過類似結構？ 引導學生發(fā)現(xiàn)，提出證明方法學生：向量的數(shù)量積！A證明：在平面直角坐標系xOy內作單位

5、圓O，以Ox為始邊作角，它們終邊與單位圓O的交點分別為A、B，那么： =， = = 0方法小結：比照一下兩種證明方法，你認為哪種更簡單？向量在我們數(shù)學探究過程中是一種非常簡潔有效的工具，在今后的學習中我們還將繼續(xù)領悟向量在數(shù)學探究過程中的魅力！思考：1、作為兩向量的夾角，有沒有限制條件？2、如果不在，這個區(qū)間內，我們的結論還會成立嗎？怎樣給出證明？展示幻燈片，引導學生找到與夾角之間的關系推廣完善：令為、的夾角， 當時，那么 當時，那么存在無論哪種情況，都有小結：兩角差的余弦公式： 其中為任意角，簡記為思考：請同學們仔細觀察一下公式的結構，說說公式的結構有什么特點？應怎樣記憶？對學生的答復給予及

6、時肯定五、知識運用1、解決引例中的問題2、學以致用：是第三象限角，求運用公式時應根據(jù)角的范圍，正確確定兩角正、余弦值的范圍3、 公式的逆用：4、拓廣延伸：是第三象限角，求此題根據(jù)學生的接受情況，作為后備練習5、公式活用：此題根據(jù)學生的接受情況，作為后備練習六、回憶總結師：我們一起來回憶總結一下今天這節(jié)課的收獲1、公式探究的一般步驟：特殊猜測證明2、在運用兩角差的余弦公式時應注意：1根據(jù)角的范圍，確定兩角正、余弦值的正、負2適當逆用公式，可到達化簡計算的目的3靈活選取兩角的形式，活用公式七、 課后思考適當變換兩角差的余弦公式中兩角的形式，例如取，你能得到哪些結論？八、作業(yè)：必做：P104 2、3

7、、4 選做： 生活實例引入，表達數(shù)學與實際生活的聯(lián)系，增強學生的應用意識，激發(fā)學生的學習熱情，同時也讓學生體會數(shù)學知識的產(chǎn)生、開展過程鼓勵學生發(fā)揮想象力，大膽猜測，然后再去驗證其合理性，增強學生探索問題、挑戰(zhàn)困難的勇氣 依據(jù)特殊情況進行猜測往往是人們探索問題的第一步 鼓勵學生對各種可能的情況進行探索，培養(yǎng)他們的交流合作意識，在探索的過程中獲得成就感引導學生運用數(shù)形結合的思想給出證明加強新舊知識的聯(lián)系使學生從直觀角度加強對差角公式結構形式的認識讓學生經(jīng)歷用向量知識解出一個數(shù)學問題的過程，體會向量方法的作用統(tǒng)一對“恒等要求的認識運用分類討論思想要求學生對公式的形式加以分析，體會數(shù)學中的對稱美 1、

8、學生運用所學解決實際問題 2、利用變式突破學生在運用公式過程中的易錯點 3、對逆用公式解題加深認識。 4、活用公式，加深學生對公式中兩角形式變化的認識，強化整體思想課后思考為下節(jié)課做鋪墊?兩角差的余弦公式?教案說明湖南師大附中 吳菲一、 授課內容的數(shù)學本質與教學目標定位：?兩角差的余弦公式?這節(jié)課的主要內容是公式的探究及應用，它揭示了單角三角函數(shù)與復角三角函數(shù)之間的內在聯(lián)系，在學生的認知世界中，開辟了三角函數(shù)研究的新領域針對學生已有的認知結構，我對教學目標進行了如下定位：1、 知識與技能目標： 學生在前兩章的學習內容中，學習了單角三角函數(shù)以及向量的相關知識；初步掌握了一些同角三角函數(shù)關系式；對

9、三角函數(shù)的定義也由銳角三角函數(shù)擴展到任意角的三角函數(shù)；會借助單位圓分析有關三角函數(shù)的問題本節(jié)課的知識技能目標定位在掌握公式的兩種證明方法上：數(shù)形結合法和向量法；學會運用分類討論思想完善證明；學會正用、逆用、變用公式；學會運用整體思想，抓住公式的本質在新舊知識的沖撞過程中，讓學生自主地對知識進行重組、構建讓每個學生在頭腦中再生教材，形成屬于自己的知識結構體系、過程與方法目標： 開展心理學的研究成果說明，學生的思維開展呈現(xiàn)一定的階段性，高中學生在學習時有時仍要借助于具體運演思維甚至是前運演思維，具體經(jīng)驗對他們學習新的知識仍是必不可少的所以在情景引入時，以學生學習向量數(shù)量積時物理學中力做功的例子為引

10、例，創(chuàng)設問題情景，調動學生已有的認知結構，激發(fā)學生的問題意識，展開提出問題、分析問題、解決問題的學習活動，讓學生體會從“特殊到“一般的探究過程；不斷激發(fā)師生之間、生生之間的互動，讓學生在探究過程中體會化歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想在數(shù)學探究過程中的運用在公式的證明過程中，培養(yǎng)學生反思的好習慣，翻開學生多角度、多方面分析問題的視野；在公式的理解記憶過程中，讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的簡潔、對稱美；在公式的運用過程中，通過對題目的一題多解、一題多變，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣和自我糾錯能力 3、情感、態(tài)度與價值觀目標：高中數(shù)學課程標準中指出：學生的數(shù)學活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數(shù)學課程還應提倡自主探索

11、、動手實踐、合作交流、閱讀交流等學習數(shù)學的方式這些方式有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造過程因此，將情感、態(tài)度與價值觀目標定位如下：體驗科學探索的過程，鼓勵學生大膽質疑、大膽猜測，培養(yǎng)學生的“問題意識，使學生感受科學探索的樂趣，鼓勵學生科學探索的勇氣，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和良好的團隊合作意識 通過對猜測的驗證，對公式證明的完善，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度和科學精神，感受運用新知解決實際問題的成就感二、 學習內容的根底及今后作用：?兩角差的余弦公式?是新課標人教版數(shù)學必修四第三章第一課時的教學內容，是本模塊第一章?銳角三角函數(shù)?和第二章?平面向量?相關知識的延續(xù)

12、和拓展，也是本章節(jié)中推導兩角和、差，倍角、半角等三角恒等變換公式的根底，可以說是起著承上啟下，串聯(lián)全書的作用在教學內容的設計上，與物理功的定義、哲學透過外表尋求本質等相關學科相聯(lián)系，擴大學生對知識的理解角度和運用范圍三、 教學診斷分析：學生最大的困惑在于如何得到公式在之前的學習過程中, 課堂上已根本形成了對知識大膽質疑,合作探討的學習氣氛在本節(jié)課的教學中學生希望通過自己的努力收獲成功!教學重點：兩角差的余弦公式的探究和應用教學難點：兩角差的余弦公式的由來及證明,引導學生通過主動參與,獨立探索,自己得到結果.四、 教法特點及預期效果分析：教法特點：從知識的認知程序上看，老師看問題從整體到局部，而

13、學生卻是從局部到整體。本節(jié)課嘗試將“帶著知識走向學生的接受式教學模式轉變?yōu)椤皫е鴮W生走向知識的探究式教學模式，充分尊重學生的主體地位設置了從生活走入知識，從特殊到一般，從猜測到理論證明的探究過程，在學生自主構建知識體系的過程中，設置了多條成功路徑，將學習主體由學生群體轉移到學生個體上，讓學生在頭腦中主動地對知識進行自主構建，再生課堂，到達提高認識，舉一反三的作用鼓勵學生多角度、多方面思考問題，為突破知識難點，在課件中設置多個鏈接，將學生可能出現(xiàn)的解答思路直觀地呈現(xiàn)在學生面前，用多種方法的比照呈現(xiàn)，激發(fā)學生互相評價的動機，實現(xiàn)預設與生成的和諧統(tǒng)一本節(jié)課的教法采用了“一個主題兩種教學的設計模式一個

14、主題：公式探究與應用，兩種教學：顯形教學知識能力教學、隱性教學情商培養(yǎng)，利用學生已有知識提出新問題，巧借學生對未知領域的好奇和自我展現(xiàn)的欲望，集思廣益，多角度分析問題，強化團隊合作意識，完善知識體系，剖析局部學生出現(xiàn)的錯誤，培養(yǎng)學生嚴密的思維習慣，突破易錯點，嘗試自我提高的喜悅，實踐兩種教學相互促進的人性化教學理念 開放課堂，在課堂上營造民主、開放、平等的教學氣氛，注重教學評價的多元性，將單一的教師評價轉換為學生自主評價和同伴合作評價；將簡單的結果評價上升為對過程的評價；將一味的知識評價拓展為能力評價，突出學生的主體性，表達學生的主體意識，實現(xiàn)顯形教學與隱性教學的雙重評價，為全面開展學生打下根

15、底利用思維的多元性，引發(fā)師生、生生之間的討論，實踐證明用學生自己的語言、自己的理解、自己的表述方式更能引發(fā)學生之間的共鳴，更能到達對已有知識進行重組、自主構建新知識的教學目的。作為老師，要以更高的視角從學生的眼中看問題，和學生一起征服尚未被他們所知甚至是尚未被老師所知的領域，享受在征服過程中隨時可能得到的意外驚喜。不需要害怕學生犯錯，因為謬誤本身也有它的認識價值，也是一種很好的課堂教學資源，主要是看老師怎樣正確的引導和評價。設計探究報告，幫助學生整理、構建知識體系在重、難點突破，作業(yè)布置、課后思考等環(huán)節(jié)，都給學生留出空間，既可以實現(xiàn)課堂知識的再生，又可以為下節(jié)課做預習準備；既符合學生探索思維的連續(xù)性，又培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和實踐探索能力 現(xiàn)代信息技術在數(shù)學的教學過程中運用越來越廣泛，能夠利用計算機進行一些簡單的數(shù)學實驗也將成為將來數(shù)學教學的一個開展趨勢，本節(jié)課利用幾何畫板，通過計算機技術，給學生提供一種驗證猜測合理性的途徑預期效果:基于上述分析，我們希望通過這節(jié)課