平面向量總復(fù)習（蒼柏書屋）

1、平面向量平面向量復(fù)復(fù) 習習 課課知識網(wǎng)絡(luò)知識網(wǎng)絡(luò)單位向量及零向量平行向量和共線向量 平行與垂直的條件向量向量有關(guān)概念向量的運算基本應(yīng)用向量的定義相等向量向量的加法向量的減法實數(shù)和向量的積向量的數(shù)量積求長度求角度二、二、向量向量的表示的表示AB2、坐標表示：xyaiO(x,y)jAaxyaxiy j），（yx），（yxOA 一、向量的概念一、向量的概念向量、向量、零向量、單位向量、零向量、單位向量、共線向量共線向量（平行向量）、（平行向量）、相等向量、相反向量、向量的夾角相等向量、相反向量、向量的夾角等等. 1、字母表示：aAB或三、向量的運算三、向量的運算（一）向量的加法（一）向量的加法ABC

2、三角形法則：ABCD平行四邊形法則：ab2、坐標運算：、坐標運算：），（，），（設(shè)2211yxbyxa b ba a則），（2121yyxx1、作圖、作圖（二）向量的減法（二）向量的減法ABADDB 2、坐標運算：），（，），（設(shè)2211yxbyxa b ba a則），（2121yyxx1、作圖、作圖平行四邊形法則：abab+ab+ABBCAC ()aRa（1）長度：）長度：（2）方向：）方向： 時，當0aa與 異向，時當0aa與 同向時，當00aa（三）數(shù)乘向量（三）數(shù)乘向量a bab（）aaa （）aa 、數(shù)乘向量的運算律：3：、數(shù)乘向量的坐標運算2的大小和方向：、 a1axyxy（ ，

3、）（，）4、平面向量基本定理、平面向量基本定理12121 122eeaaee 如果， 是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量 ，有且只有一對實數(shù) ， 使1、平面向量數(shù)量積的定義：bacos|ba 2、數(shù)量積的幾何意義：|cos.aabab等于 的長度與在方向上的投影的乘積OABB1(四四) 數(shù)量積數(shù)量積abba）（1）（）（）（bababa2cbcacba ）（34、運算律:2121yyxxba3、數(shù)量積的坐標運算ea=ae=|a|cosab ab=0a，b同向同向ab=|a|b|反向時反向時ab=-|a|b| a2=aa=|a|2(aa= )cos=|ab|a|b| |

4、baba2a平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積ab的性質(zhì)的性質(zhì):四、向量垂直的判定四、向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（五、向量平行的判定五、向量平行的判定(共線向量的判定共線向量的判定)）（）（0/1aabba122111222/0bax yx yaxybxy（ ），其中（ ， ）， （ ， ） |32211AByxByxA），則，（），（）若（|a 22xy221221）（）（yyxx2axy（ ）設(shè)（ ， ），則六、向量的長度六、向量的長度21|a aa （），2|aa七、向量的夾角七、向量的夾角cos|a ba b 向量表示向量表示坐標表示坐標表示向量表示向量表示

5、坐標表示坐標表示222221212121yxyxyyxx特別注意：特別注意：00cos0為銳角或ba為鈍角或0cos0ba 由此，當需要判斷或證明兩向量夾角為銳角或鈍角時，應(yīng)排除夾角為0或 的情況，也就是要進一步說明兩向量不共線。例例1 e1、e2不共線，不共線，a=e1+e2 b=3e13e2 a與與b是否共線。是否共線。典型例題分析典型例題分析: :解：假設(shè)解：假設(shè),a與與b共線則共線則 e1+e2=(3e1-3e2)=3e1-3e2 1=3 1=-3 這樣這樣不存在。不存在。 a與與b不共線。不共線。例例2 設(shè)設(shè)a，b是兩個不共線向量。是兩個不共線向量。AB=2a+kb BC=a+b C

6、D=a-2bA、B、D共線則共線則k=_(kR)解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=- k=-1 k=-1例例3、 已知已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)，用用a、b表示表示c。解：解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b例例4、 |a|=10 b=(3,-4)且且ab求求a解：設(shè)解：設(shè)a =(x,y) 則則 x2+y2=100 -4x-3y=0 x=6 x=-6 y=-8 y=8 a=(6,-8)

7、或(-6,8)例例5、 設(shè)設(shè)|a|=|b|=1 |3a-2b|=3則則|3a+b|=_解：解：法法1 a=(x1y1) b=(x2,y2) x12+y12=1 x22+y22=1 3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9 x1x2+y1y2= 3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2) |3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2 =9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12(3a+b)=2331法法2 9=

8、9a2+4b2-12ab ab= 又又,(3a+b)2=9a2+b2+6ab=12 |3a+b|=2313212121,60 ?2,32?.oe eaeebeeab 例6、設(shè)為兩個單位向量?且夾角為若求 與 的夾角解：解： 22222121211222244aeeeeee ee 222112144cos604 14 1 1172eeee 7a同理可得同理可得 7b22121211227232622a beeeeee ee 712cos277a bab =1207123 21323abkkababkabab 例 、已知（， ）， （， ），當為何值時，（）與垂直？（ ）與平行？平行時它們是 同向

9、還是反向？（1）k=19（2） , 反向31k8. 0,(cos ,sin ),aabcabc例若向量則 與 一定滿足( )以上都不對以上都不對 D. )()( C.0 B. A.cbcbcbab 8. 0,(cos ,sin ),aabcabc例若向量則 與 一定滿足( ).()(0)(1sincos, 12222cbcbcbcbcbcb 解解 答案答案 C 9. , _.ABCOA OBOB OCOC OAOABC 例已知在中則 是的心 解解 ()0, 0,.OA OBOB OCOBOAOCOB CAOBCAOCAB OABCOABC 由得：即同理故 是的垂心考點歸納考點歸納 1、向量的概

10、念、向量的概念 2、實數(shù)與向量的積、實數(shù)與向量的積 3、平面向量的坐標運算、平面向量的坐標運算 4、線段的定比分點、線段的定比分點 5、平面向量的數(shù)量積、平面向量的數(shù)量積練習練習一、選擇題：一、選擇題：1、如圖所示，如圖所示，G為為ABC的重心，則的重心，則GA+GB-GC等于（等于（ ） A. 0 B. GE C. 4GDD. 4GF2、若若a=(,2)，b=(-3,5)，且，且a與與b的的夾角為鈍角，則夾角為鈍角，則的取值范圍是的取值范圍是( ) A. B. C. D.3、已知已知|a|=18,|b|=1,ab=-9，則，則a和和b的夾角的夾角是（是（ ） A.120。 B.150。 C.

11、60。 D.30。310310310310ABDCGFEDAA4、已知已知|a|=|b|=1,a與與b的夾角為的夾角為90。，c=2a+3b,d=ka-4b,cd,k=（ ） A. -6B. 6C. 3D. -35、已知已知|a|=3,|b|=4,(a+b)(a+3b)=33，則則a與與b的夾角為（的夾角為（ ） A. 30。 B. 60。 C. 120。 D. 150。6.若若|a-b|= ,|a|=4,|b|=5,則則ab=( ) A.10 B.-10 C.10 D.1033232041BCA二、解答題：二、解答題：7、已知已知e1與與e2是夾角為是夾角為60。的單位向的單位向量，且量，且

12、a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求求ab及及a與與b的夾角的夾角。解解：e1,e2是單位向量，且夾角為是單位向量，且夾角為60。 e1.e2=|e1|e2|cos60。= ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2) =-6|e12|+e1e2+2e22=-3而而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-2e1e2+4e22=7|a|= |b|= cos= =120。21217721|baba 8、（、（1）已知已知a,b都是非零向量，且都是非零向量，且a+3b與與7a-5b垂直垂直,a-4b與與7a-2b垂直，

13、垂直，求求a與與b的夾角；的夾角；(2)已知已知|a|= ,|b|= ，且且a與與b的夾角為的夾角為 ，試求，試求a+2b與與a-b的夾角的夾角的余弦值。的余弦值。解解：（：（1）(a+3b)(7a-5b)=0 (a-4b)(7a-2b)=0 7a+16ab-15b=0 7a2-30ab+8b2=0 a2=b2 2ab=b2 cos= =60。32621|baba（2）a2=3 b2=4 |a|b|=2 ab=|a|b|cos= cos30。=33331312|2|)(2(222222cos12)(|3144)2(|2|babababababababababababa 9、已知已知ABC中，中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為邊上的高為AD。（1）求證：）求證：ABAC；（2）求點）求點D和向量和向量AD的坐標；的坐標；（3）求證：）求證：AD2=BDDC解：（解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 ABAC（2）D(x,y) AD=(x-2,y-