條件概率絕對經(jīng)典（蒼柏書屋）

1、條件概率1聽雨D書屋探究：探究：3張獎券中只有張獎券中只有1張能中獎，現(xiàn)分別由張能中獎，現(xiàn)分別由3名同學(xué)名同學(xué)無放回地抽取，問最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率是無放回地抽取，問最后一名同學(xué)抽到中獎獎券的概率是否比其他同學(xué)?。糠癖绕渌瑢W(xué)?。?YNYNN NYN NNY 若若抽抽到到中中獎獎獎獎券券用用表表示示，沒沒有有抽抽到到用用表表示示，那那么么所所有有可可能能的的抽抽取取情情況況為為BBNNY 用用 表表示示最最后后一一名名同同學(xué)學(xué)抽抽到到中中獎獎獎獎券券的的 則則事事件件，( )1( )()3n BP Bn 由由古古典典概概型型可可知知，最最后后一一名名同同學(xué)學(xué)抽抽到到中中獎獎獎獎券券的的

2、概概率率為為：分析：分析：一般地，我們用一般地，我們用 來來表示所有基本事件的表示所有基本事件的集合，叫做集合，叫做基本事件基本事件空間空間（或樣本空間或樣本空間）一般地，一般地，n(A)表示表示事件事件A包含的基本包含的基本事件的個數(shù)事件的個數(shù)2聽雨D書屋思考：思考：如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券，如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券，那么最后一名抽到中獎獎券的概率又是多少？那么最后一名抽到中獎獎券的概率又是多少？分析：分析：不妨設(shè)不妨設(shè)“第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券第一名同學(xué)沒有抽到中獎獎券”為事件為事件A，,ANYN NNY 則則( )1(|)( )2n BP B An A最最后

3、后一一名名同同學(xué)學(xué)抽抽到到獎獎券券的的概概率率為為YN若若抽抽到到中中獎獎獎獎券券用用表表示示，沒沒有有抽抽到到用用表表示示，BBNNY 用用 表表示示最最后后一一名名同同學(xué)學(xué)抽抽到到中中獎獎獎獎券券的的事事件件， 則則 注：注：P(B|A)表示在事件表示在事件A發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率發(fā)生的概率你知道第一名同學(xué)你知道第一名同學(xué)的抽獎結(jié)果為什么的抽獎結(jié)果為什么會影響最后一名同會影響最后一名同學(xué)的抽獎結(jié)果嗎？學(xué)的抽獎結(jié)果嗎？3聽雨D書屋分析：分析：若不知道第一名同學(xué)的抽獎結(jié)果，則樣本空間為、若不知道第一名同學(xué)的抽獎結(jié)果，則樣本空間為、若知道了第一名同學(xué)的抽獎結(jié)果，則樣本空間變成若知道

4、了第一名同學(xué)的抽獎結(jié)果，則樣本空間變成但因為最后一名中獎的情況只有一種但因為最后一名中獎的情況只有一種NNY故概率會發(fā)生變化故概率會發(fā)生變化,YNN NYN NNY ,ANYN NNY 思考：思考：你知道第一名同學(xué)的抽獎結(jié)果為什么會影響你知道第一名同學(xué)的抽獎結(jié)果為什么會影響最后一名同學(xué)的抽獎結(jié)果嗎？最后一名同學(xué)的抽獎結(jié)果嗎？4聽雨D書屋P(B)以試驗下為條件以試驗下為條件,樣本空間是樣本空間是二、內(nèi)涵理解二、內(nèi)涵理解:ABP(B|A)以以A發(fā)生為條件發(fā)生為條件,樣本空間縮小為樣本空間縮小為AP(B |A)相當(dāng)于把看作相當(dāng)于把看作新的樣本空間求新的樣本空間求發(fā)生的概率發(fā)生的概率樣本空間不一樣樣本

5、空間不一樣為什么上述例中為什么上述例中P(B|A) P(B)？5聽雨D書屋分析：求分析：求P(B|A)的一般思想的一般思想 因為已經(jīng)知道事件因為已經(jīng)知道事件A必然發(fā)生，所以只需在必然發(fā)生，所以只需在A發(fā)生發(fā)生的范圍內(nèi)考慮問題，的范圍內(nèi)考慮問題，即現(xiàn)在的樣本空間為即現(xiàn)在的樣本空間為A。 因為在事件因為在事件A發(fā)生的情況下事件發(fā)生的情況下事件B發(fā)生，等價于事發(fā)生，等價于事件件A和事件和事件B同時發(fā)生，同時發(fā)生，即即AB發(fā)生發(fā)生。 故其條件概率為故其條件概率為()(|)( )n ABP B An A 為了把條件概率推廣到一般情形，不妨記原來的為了把條件概率推廣到一般情形，不妨記原來的樣本空間為樣本空

6、間為 ，則有，則有()/ ()()(|)( )/ ()( )n ABnP ABP B An AnP A 6聽雨D書屋一般地，設(shè)一般地，設(shè)A，B為兩個事件，且為兩個事件，且P(A)0，則，則()()( )P ABP B AP A 稱為在事件稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的發(fā)生的條件概率條件概率。一般把一般把P(B|A)讀作讀作A發(fā)生的條件下發(fā)生的條件下B的概率。的概率。注意：注意：（1）條件概率的取值在）條件概率的取值在0和和1之間，即之間，即0P(B|A) 1（2）如果）如果B和和C是是互斥事件互斥事件，則，則 P(BC |A)= P(B|A)+ P(C|A)（3）要注

7、意）要注意P(B|A)與與P(AB)的區(qū)別，這是分清條件概率的區(qū)別，這是分清條件概率 與一般概率問題的關(guān)鍵。與一般概率問題的關(guān)鍵。條件概率的定義：條件概率的定義：在原樣本空間在原樣本空間的概率的概率7聽雨D書屋概率概率 P(B|A)與與P(AB)的區(qū)別與聯(lián)系的區(qū)別與聯(lián)系聯(lián)系聯(lián)系：事件事件A，B都發(fā)生了都發(fā)生了 區(qū)別：區(qū)別： 樣本空間不同：樣本空間不同：在在P(B|A)中，事件中，事件A成為樣本空間；成為樣本空間；在在P(AB)中，樣本空間仍為中，樣本空間仍為 。8聽雨D書屋例例1、在、在5道題中有道題中有3道理科題和道理科題和2道文科題，如果不放回道文科題，如果不放回地依次抽取地依次抽取2道題

8、，求：道題，求：（1）第一次抽取到理科題的概率；）第一次抽取到理科題的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科題的概率；）第一次和第二次都抽取到理科題的概率；解：設(shè)第解：設(shè)第1次抽到理科題為事件次抽到理科題為事件A，第第2次抽到理科題次抽到理科題為事件為事件B，則第，則第1次和第次和第2次都抽到理科題為事件次都抽到理科題為事件AB.（1）從）從5道題中不放回地依次抽取道題中不放回地依次抽取2道的事件數(shù)為道的事件數(shù)為25()20nA 1134( )12n AAA根根據(jù)據(jù)分分步步乘乘法法計計數(shù)數(shù)原原理理，( )123( )()205n AP An 9聽雨D書屋例例1、在、在5道題中有道題中有3道理科

9、題和道理科題和2道文科題，如果不放回道文科題，如果不放回地依次抽取地依次抽取2道題，求：道題，求：（1）第一次抽取到理科題的概率；）第一次抽取到理科題的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科題的概率；）第一次和第二次都抽取到理科題的概率；232()6n ABA（ ）()63()()2010n ABP ABn 解：設(shè)第解：設(shè)第1次抽到理科題為事件次抽到理科題為事件A，第第2次抽到理科題次抽到理科題為事件為事件B，則第，則第1次和第次和第2次都抽到理科題為事件次都抽到理科題為事件AB.10聽雨D書屋例例1、在、在5道題中有道題中有3道理科題和道理科題和2道文科題，如果不放回道文科題，如果不放回地依

10、次抽取地依次抽取2道題，求：道題，求：（1）第一次抽取到理科題的概率；）第一次抽取到理科題的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科題的概率；）第一次和第二次都抽取到理科題的概率；（3）在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題）在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題 的概率。的概率。（3）解法一：由（）解法一：由（1）（）（2）可得，在第一次抽到理科題）可得，在第一次抽到理科題 的條件下，第二次抽到理科題的概率為的條件下，第二次抽到理科題的概率為2153103)()()(APABPABP11聽雨D書屋例例1、在、在5道題中有道題中有3道理科題和道理科題和2道文科題，如果不放回道文科題，

11、如果不放回地依次抽取地依次抽取2道題，求：道題，求：（1）第一次抽取到理科題的概率；）第一次抽取到理科題的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科題的概率；）第一次和第二次都抽取到理科題的概率；（3）在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題）在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題 的概率。的概率。解法二：因為解法二：因為n(AB)=6，n(A)=12，所以，所以21126)()()(AnABnABP解法三：第一次抽到理科題，則還剩下兩道理科、解法三：第一次抽到理科題，則還剩下兩道理科、 兩道文科題兩道文科題 故第二次抽到理科題的概率為故第二次抽到理科題的概率為1/212聽雨D書屋練習(xí)：

12、甲乙兩地都位于長江下游，根據(jù)一百多年的氣象練習(xí)：甲乙兩地都位于長江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄，知道甲乙兩地一年中雨天所占的比例分別為記錄，知道甲乙兩地一年中雨天所占的比例分別為20和和18，兩地同時下雨的比例為，兩地同時下雨的比例為12，問：，問：（1）乙地為雨天時甲地也為雨天的概率是多少？）乙地為雨天時甲地也為雨天的概率是多少？（2）甲地為雨天時乙地也為雨天的概率是多少？）甲地為雨天時乙地也為雨天的概率是多少？解：設(shè)解：設(shè)A=甲地為雨天甲地為雨天， B=乙地為雨天乙地為雨天， 則則P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，1()12%2 ()( )18%3P ABP A BP

13、 B（ ）乙乙地地為為雨雨天天時時甲甲地地也也為為雨雨天天的的概概率率是是2()12%3 ()()20%5P ABP B AP A （ ）甲甲地地為為雨雨天天時時乙乙地地也也為為雨雨天天的的概概率率是是13聽雨D書屋練習(xí)：甲乙兩地都位于長江下游，根據(jù)一百多年的氣象練習(xí)：甲乙兩地都位于長江下游，根據(jù)一百多年的氣象記錄，知道甲乙兩地一年中雨天所占的比例分別為記錄，知道甲乙兩地一年中雨天所占的比例分別為20和和18，兩地同時下雨的比例為，兩地同時下雨的比例為12，問：，問：（3）甲乙兩市至少一市下雨的概率是多少？）甲乙兩市至少一市下雨的概率是多少？ 甲乙兩市至少一市下雨甲乙兩市至少一市下雨=AB而而

14、P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =20%+18%-12% =26%甲乙兩市至少一市下雨的概率為甲乙兩市至少一市下雨的概率為26%解：設(shè)解：設(shè)A=甲地為雨天甲地為雨天， B=乙地為雨天乙地為雨天， 則則P(A)=20%，P(B)=18%，P(AB)=12%，14聽雨D書屋例例3、一張儲蓄卡的密碼共有、一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可位數(shù)字，每位數(shù)字都可從從09中任選一個，某人在銀行自動提款機上取錢時，中任選一個，某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求（1）任意按最后一位數(shù)字，不超過）任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；

15、次就按對的概率；（2）如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過）如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次次 就按對的概率。就按對的概率。112(1 2) ()2iiA iAAA A 解解：設(shè)設(shè)第第 次次按按對對密密碼碼為為事事件件，則則表表示示不不超超過過 次次就就按按對對密密碼碼。12iAA A（1 1）因因為為事事件件與與事事件件互互斥斥，由由概概率率的的加加法法公公式式得得112( )()()P AP AP A A 19 111010 95 15聽雨D書屋例例3、一張儲蓄卡的密碼共有、一張儲蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可位數(shù)字，每位數(shù)字都可從從09中任選一個，某人在銀行自動提款機上

16、取錢時，中任選一個，某人在銀行自動提款機上取錢時，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求（1）任意按最后一位數(shù)字，不超過）任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；次就按對的概率；（2）如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過）如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次次 就按對的概率。就按對的概率。B（2 2）用用 表表示示最最后后一一位位按按偶偶數(shù)數(shù)的的事事件件，則則112()()()P A BP A BP A A B 14 1255 45 112(1 2) ()2iiA iAAA A 解解：設(shè)設(shè)第第 次次按按對對密密碼碼為為事事件件，則則表表示示不不超超過過 次次就就按按對對密密碼碼。16聽雨D書屋練習(xí)練習(xí)1：廠別廠別甲廠甲廠乙廠乙廠合計合計數(shù)量數(shù)量等級等級合格品合格品次次 品品合合 計計47564411912556815007002001 一批同型號產(chǎn)品由甲、乙兩廠生產(chǎn)，產(chǎn)品一批同型號產(chǎn)品由甲、乙兩廠生產(chǎn)，產(chǎn)品 結(jié)構(gòu)如下表：結(jié)構(gòu)如下表：（1）從這批產(chǎn)品中隨意地取一件，則這件產(chǎn)品恰好是）從這批產(chǎn)品中隨意地取一件，則這件產(chǎn)品