四奧 稍復(fù)雜的相遇和追及問(wèn)題

1、第十一講 稍復(fù)雜的相遇和追及問(wèn)題知識(shí)要點(diǎn)行程問(wèn)題是小升初考試和小學(xué)四大杯賽四大題型（計(jì)算、數(shù)論、幾何、行程）之一，在歷年各類(lèi)小學(xué)奧數(shù)競(jìng)賽試題中都占有很大的比重，具體題型變化多樣，形成十多種題型，都有各自相對(duì)獨(dú)特的解題方法。同時(shí)也是小學(xué)奧數(shù)專(zhuān)題中的難點(diǎn)，較復(fù)雜的行程問(wèn)題經(jīng)常作為試卷中的壓軸難題出現(xiàn)。行程問(wèn)題是“行路時(shí)所產(chǎn)生的路程、時(shí)間、速度的一類(lèi)應(yīng)用題”，所有行程問(wèn)題都是圍繞“路程=速度×時(shí)間”這一基本關(guān)系式展開(kāi)的。本講主要涉及兩大典型行程題相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題，在學(xué)習(xí)時(shí)需多注意從“簡(jiǎn)單”到“復(fù)雜”的推導(dǎo)過(guò)程，重在理解，在理解的基礎(chǔ)上形成對(duì)各類(lèi)行程問(wèn)題中所涉及到的關(guān)系式的記憶和正確應(yīng)用。

2、教學(xué)課時(shí)：兩課時(shí)教學(xué)目標(biāo)：1.使學(xué)生掌握通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖分析二次相遇問(wèn)題的整體數(shù)量關(guān)系2.使學(xué)生學(xué)會(huì)讀題，能夠透過(guò)現(xiàn)象看到條件的本質(zhì)，找到個(gè)體的對(duì)應(yīng)三個(gè)量之間的關(guān)系。3、培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)挖掘條件本質(zhì)的能力，提高解決實(shí)際問(wèn)題的信心。教學(xué)重難點(diǎn)：通過(guò)審題，能夠從整體找出所有運(yùn)動(dòng)人三量之間的關(guān)系，同時(shí)從局部找到每一個(gè)運(yùn)動(dòng)人自己三兩之間的關(guān)系。教具準(zhǔn)備：動(dòng)畫(huà)展示。本周通知：教學(xué)過(guò)程： 1、 故事導(dǎo)入師：相信“龜兔賽跑”的故事同學(xué)們都聽(tīng)過(guò)吧！最終誰(shuí)是獲勝者？生：烏龜（這里老師也可以請(qǐng)一位同學(xué)來(lái)將這個(gè)故事，作為引入）師： 據(jù)了解兔子每分鐘大約能跑400米，烏龜每分鐘大約只能跑5米。被公認(rèn)為賽跑高手的兔子怎么會(huì)輸給

3、烏龜?shù)哪?？生：因?yàn)橥米釉诒荣愡^(guò)程中睡著了O(_)O哈哈師：沒(méi)錯(cuò)根據(jù)老師的調(diào)查，途中烏龜和兔子相遇了一次，兔子正呼呼大睡，烏龜見(jiàn)了差點(diǎn)笑出聲來(lái)，不過(guò)它還是忍住了，否則，驚醒了兔子，相信結(jié)果就不會(huì)是這樣的了！最終，烏龜比兔子早2分鐘行完了2000米的全程，獲得了勝利。兔子先生特別懊惱，關(guān)在家里不停地計(jì)算自己到底睡了多長(zhǎng)時(shí)間，可是始終沒(méi)有答案。在座的各位同學(xué)，你們能不能幫幫他？生：想要幫助他，但是。我也不會(huì)計(jì)算。師：沒(méi)關(guān)系，只要大家今天和老師一起認(rèn)真的學(xué)習(xí)和探究這堂課，相信你們一定能解答兔子先生心中的疑惑（板書(shū)課題-稍復(fù)雜的相遇和追及問(wèn)題）2、 新課學(xué)習(xí)師：大家還記不記得，在我們行程問(wèn)題中，經(jīng)常遇見(jiàn)

4、的兩個(gè)人是誰(shuí)？生：小明，小紅，甲，乙。師：對(duì)！就是甲乙這兩個(gè)讓我們頭痛的人。 那你們還記不記得他們倆總是在哪兩個(gè)地方不知疲倦的奔走??？生：A地，B地！師：很好就是甲乙這兩個(gè)人，在這AB 之間發(fā)生非常多的故事，在這些故事中有三個(gè)量特別重要，是哪三個(gè)？生：時(shí)間，速度，路程。師：對(duì)，這三個(gè)兩也有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系，有沒(méi)有同學(xué)能上來(lái)寫(xiě)出他們之間的關(guān)系？生：舉手，板書(shū)：路程=速度×時(shí)間師：當(dāng)甲乙相遇的時(shí)候，我們又知道什么關(guān)系式？追及問(wèn)的時(shí)候呢？生：舉手，板書(shū)：相遇路程=速度和×相遇時(shí)間，追及路程=速度差×追及時(shí)間師：在一起復(fù)習(xí)完這些公式后，讓我們來(lái)看看甲乙今天又有什么新的故事

5、發(fā)生。例題精講 例1、A、B兩地相距480千米，甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地相對(duì)出發(fā)，甲車(chē)每小時(shí)行35千米，乙車(chē)每小時(shí)行45千米，一只燕子以每小時(shí)50千米的速度和甲車(chē)同時(shí)出發(fā)向乙車(chē)飛去，遇到乙車(chē)又折回向甲車(chē)返飛回去，遇到甲車(chē)又返飛向乙車(chē)，這樣一直飛下去，燕子飛了多少千米兩車(chē)才能相遇？ 分析:整體：相遇問(wèn)題，甲乙兩人與燕子行駛時(shí)間相同，甲乙兩人的行駛路程之和為一個(gè)全長(zhǎng)。 局部：甲：速度為35千米/時(shí) 乙：速度為45千米/時(shí) 燕子：速度為50千米/時(shí) 由分析可知：要求燕子的路程，首先要知道燕子的時(shí)間。燕子飛行時(shí)間與甲乙行駛時(shí)間相同。 則 燕子的行駛時(shí)間：480÷（3545）=6(小時(shí)) 燕

6、子的行駛路程：50×6=300（千米） 例2、甲、乙兩車(chē)同時(shí)從兩地相向開(kāi)出，甲車(chē)每小時(shí)行50千米，乙車(chē)每小時(shí)行60千米。兩車(chē)相遇時(shí)，甲車(chē)正好走了300千米，兩地相距多少千米?分析：題目告訴了甲乙的速度，就可以求出速度和，求路程和，還缺相遇時(shí)間，相遇時(shí)間怎么求呢，還告訴了一個(gè)條件就是兩車(chē)相依時(shí)甲車(chē)走了300千米，那么通過(guò)這個(gè)條件可以求出相遇時(shí)間就是：300÷50=6小時(shí) 所以?xún)傻氐穆烦蹋海?0+60）×6=660千米例3、兩個(gè)車(chē)站相距380千米，甲、乙兩車(chē)分別從兩站同時(shí)對(duì)開(kāi)，經(jīng)4小時(shí)相遇，甲車(chē)比乙車(chē)每小時(shí)快5千米，求甲、乙兩車(chē)每小時(shí)各行多少千米？分析：根據(jù)路程

7、47;相遇時(shí)間=速度和可以發(fā)現(xiàn)，告訴了路程和相遇時(shí)間，那么速度和為：380÷4=95千米通過(guò)和差問(wèn)題可以求出甲車(chē)速度為：（95+5）÷2=50千米 乙車(chē)的速度為：50-5=45千米例4、姐妹倆同時(shí)從家里到少年宮，路程全長(zhǎng)770米。妹妹步行每分鐘行60米，姐姐騎自行車(chē)以每分鐘160米的速度到達(dá)少年宮后立即返回，途中與妹妹相遇。這時(shí)妹妹走了多少米？分析：整體：相遇問(wèn)題，姐妹行走的總路程為兩個(gè)全長(zhǎng)（可畫(huà)線(xiàn)段圖解說(shuō)），姐妹行駛時(shí)間相同。 局部：姐姐：速度為160米/分鐘； 妹妹：速度為60米/分鐘。由分析知：相遇路程（2個(gè)全長(zhǎng)）=速度和×時(shí)間 時(shí)間=相遇路程（2個(gè)全長(zhǎng)）&

8、#247;速度和=770×2÷60160=7（分鐘）例5、甲、乙兩輛汽車(chē)，同時(shí)從東西兩地相向而行，甲車(chē)每小時(shí)行56千米，乙車(chē)每小時(shí)行48千米，兩車(chē)在離中點(diǎn)32千米處相遇，求東西兩地相距多少千米？分析：整體：相遇問(wèn)題，甲乙行走時(shí)間相同； 局部：甲：速度每小時(shí)56千米，相遇時(shí)走的路程多 乙：速度每小時(shí)48千米，相遇時(shí)走的路程少 由題目可知，（可以畫(huà)線(xiàn)段圖，更清晰表示出甲乙的路程差）甲比乙多行走 32×2=64千米，而每小時(shí)甲比乙多行走5648=8千米/時(shí)則 甲乙一起行走思維時(shí)間是：64÷8=8小時(shí)所以相遇路程為：5648×8=832千米 這道題思想

9、上也可以轉(zhuǎn)換為追及問(wèn)題來(lái)解答。例6、甲、乙兩人從B城去A城，甲的速度為每小時(shí)5千米，乙速度為每小時(shí)4千米。甲出發(fā)時(shí)，乙已先走了3個(gè)小時(shí)。甲走了10千米后，決定以每小時(shí)6千米的速度前進(jìn)。問(wèn)幾小時(shí)后甲追上乙？分析：整體：追及問(wèn)題，行駛時(shí)間不同，追及路程也不知。 局部：甲：速度為5千米/時(shí) 乙：速度為4千米/時(shí)（這一題畫(huà)線(xiàn)段圖更清晰）既然是追及問(wèn)題，先找出追及路程：前3個(gè)小時(shí)：甲行0千米，乙行3×4=12（千米），甲走10千米這一段：甲行 10千米，乙行 10÷5×4=8（千米）則 甲乙的路程差：（128）010=10（千米）追及時(shí)間：10÷（64）=5（小時(shí)

10、）例7、甲乙兩人同時(shí)由A地出發(fā)到B地，甲騎車(chē)每分鐘行190米，乙步行每分鐘行90米，甲騎車(chē)到B地后立即返回A地，在離B地350米處與乙相遇，求AB兩地之間的距離是多少千米？分析：引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)示意圖，由圖可以發(fā)現(xiàn)，甲乙的路程差是：350×2=700米通過(guò)路程差÷速度差=時(shí)間可得：700÷（190-90）=7分鐘 而這個(gè)時(shí)間正好就是甲乙的相遇時(shí)間，所以全程的距離=乙的路程+350所以?xún)傻亻g的距離為：90×7+350=980米例8、甲、乙兩車(chē)同時(shí)從A、B兩地出發(fā)相向而行，兩車(chē)在離B地64千米處第一次相遇。相遇后兩車(chē)仍以原速繼續(xù)行駛，并且在到達(dá)對(duì)方出發(fā)點(diǎn)后，立即沿

11、原路返回，途中兩車(chē)在距A地48千米處第二次相遇，A、B之間的距離是多少？分析：甲乙每一起行駛一個(gè)全程，則乙車(chē)行駛64千米。 從開(kāi)始出發(fā)到第二次相遇，甲乙一起走了三個(gè)全程，那么乙走了64×3=192（千米），根據(jù)線(xiàn)段圖得，乙從開(kāi)始到第二次相遇一共走了一個(gè)行程還多48千米，則全程=19248=144（千米）。 這題一定要畫(huà)線(xiàn)段圖啊親3、 課堂小結(jié)今天我們學(xué)習(xí)了稍復(fù)雜的追及和相遇問(wèn)題，我們知道了，在故事發(fā)生過(guò)程中，首先我們要從整體把握所有運(yùn)動(dòng)人三個(gè)量之間的關(guān)系，然后再找到每個(gè)人各自對(duì)應(yīng)的三個(gè)量，從問(wèn)題出發(fā)往上尋找，從條件出發(fā)往下尋找，找到對(duì)應(yīng)關(guān)系，解決問(wèn)題。4、 作業(yè) 課堂作業(yè)：練習(xí)1、3

12、、4、5、8 家庭作業(yè)：練習(xí)2、6、7、9、105、 板書(shū)設(shè)計(jì)稍復(fù)雜的相遇和追及問(wèn)題 解題步驟： 例題： 練習(xí)鞏固1、甲、乙兩人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，距離是100千米。甲每小時(shí)行6千米，乙每小時(shí)行4千米，甲帶著一條狗，狗每小時(shí)行10千米。這只狗同甲一道出發(fā)，碰到乙的時(shí)候，它就掉頭朝著甲這邊跑，碰到甲的時(shí)候，它又掉頭朝著乙這邊跑。直到兩人相遇時(shí)，這只狗一共跑了多少千米？100÷（64）×10=100（千米） 2、甲、乙兩艘輪船同時(shí)從兩地相向開(kāi)出，甲船每小時(shí)行40千米，乙船每小時(shí)行60千米。兩船相遇時(shí)，甲船正好走了200千米，兩地相距多少千米? 200÷40

13、15;（60+40）=500（千米）3、兩城市相距150千米，甲乙兩人騎自行車(chē)同時(shí)從兩城市出發(fā)，相向而行，經(jīng)3小時(shí)兩人相遇，已知甲的速度比乙車(chē)慢4千米/時(shí)。求甲、乙兩人的速度分別是多少？150÷3=50（千米/時(shí)）乙：（50+4）÷2=27（千米/時(shí)）甲：27-4=23（千米/時(shí)）4、兄妹二人同時(shí)從家里出發(fā)到學(xué)校去，家與學(xué)校相距2400米。哥哥騎自行車(chē)每分鐘行220米，妹妹每分鐘走80米。哥哥剛到學(xué)校就立即返回來(lái)在途中與妹妹相遇。從出發(fā)到相遇，妹妹走了多少米？2400×2÷（22080）=16（分鐘）16×80=1280（米） 5、甲、乙兩人同

14、時(shí)從東西兩村相向而行，甲每小時(shí)行8千米，乙每小時(shí)行9千米，兩人在距中點(diǎn)1千米處相遇，東西兩村相距多少千米？9-8=1（千米/時(shí)）1×2÷1=2（時(shí)）2×（8+9）=34（千米）6、姐弟兩人同時(shí)從學(xué)校出發(fā)步行回家，姐姐每分鐘行80米，弟弟每分鐘行75米，姐姐到家后立即沿原路返回，在離家100米處遇到弟弟。學(xué)校離家有多少米？80-75=5(米/分)100×2÷5=40（分）40×80-100=3100（米）7、A、B兩車(chē)同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開(kāi)出，兩車(chē)第一次在距甲站50千米處相遇，相遇后繼續(xù)前進(jìn)，各自到達(dá)乙站、甲站后立即返回，第二次在距乙站30千米處相遇。甲、乙兩站相距多少千米？3×50-30=120（千米）9、小平和小紅同時(shí)從學(xué)校出發(fā)步行去小平家，小平每分鐘比小紅多走20米。30分鐘后小平到家，到家后立即沿原路返回，在離家350米處遇到小紅。小紅每分鐘走多少米？ 350÷350×2÷203020=50（千米/時(shí)） 10、甲、乙二人上午7時(shí)同時(shí)從A地去B地，甲每小時(shí)比乙快8千米。上午11時(shí)到達(dá)B地后立即返回，在距離B地24千米處相遇。求A、B兩地相距多少千米？24×2÷8（117）=2（小