導數(shù)與微分知識拓展二

1、5什么是泰勒公式？怎樣求函數(shù)的泰勒公式？對于一些較復雜的函數(shù)，為了便于研究函數(shù)的性態(tài)和函數(shù)值的近似計算，我們往往希望用一些簡單的函數(shù)來近似表達由于多項式表示的函數(shù)只要對自變量進行有限次加、減、乘三種運算，便能求出它們的函數(shù)值，因此我們經(jīng)常用多項式近似代替一般函數(shù)，那一個函數(shù)具有什么條件才能用多項式函數(shù)近似代替呢？如果一個函數(shù)能用多項式近似代替，這個多項式的系數(shù)與這個函數(shù)有什么樣的關系呢？用多項式函數(shù)近似代替這個函數(shù)誤差又怎樣呢？首先討論若p（x）是一個n次多項式由此可知，將n次多項式函數(shù)p（x）按著的冪展開，它的多項式的系數(shù)由多項式p（x）所確定，即對于任意的函數(shù)（不必是多項式函數(shù)），只要函數(shù)

2、f（x）在點存在直到n階導數(shù)，總能寫出一個相應的n次多項式多項式稱為f（x）在的n次泰勒多項式若用n次泰勒多項式近似代替f（x），所產(chǎn)生的誤差怎樣表示呢？一般地，我們有：若函數(shù)f（x）在含有點的某開區(qū)間（a，b）內有直到n1階導數(shù)，則對任意的點x（a，b），有其中稱為拉格朗日余項，記作，即上面的公式稱為泰勒（Taglor）公式，也稱為具有高階導數(shù)的中值定理，在這里令n1，即是拉格朗日中值定理在上式中，若用泰勒多項式近似代替f（x），所產(chǎn)生的誤差是特別地，若在（a，b）上有界，設M0,對，有則誤差可表示：從上面可以求出，要求f（x）的泰勒公式，只要求出泰勒多項式的系數(shù)，而因此只須求f（x）在的直

3、到n階的導數(shù)即可思路啟迪 x1可以寫成x（1），故只需求出f（x）有1點的各級導數(shù)即可這個公式稱為馬克勞林（Maclaurin）公式例2 將f（x）ln（1x）展開為x的冪式（即馬克勞林公式）思路啟迪 首先求出f（x）在0點的各階導數(shù)，然后代入公式即可規(guī)范解法 當x1時，f（x）是連續(xù)函數(shù)，并有連續(xù)的各階導數(shù)：例4 利用ln（1x）展開式的前五項計算ln1.2之值6怎樣判別曲線的凹凸性及拐點？由導數(shù)的符號，可知函數(shù)f（x）的單調性，但還不能完全反映它的變化規(guī)律，如函數(shù)與（圖317）在（0，）都是單調增加的，但增加的方式卻不同，是向上彎曲的，而是向下彎曲的因此，研究函數(shù)圖像時，考察它們的彎曲方向

4、是很有必要的由圖318（a）、圖318（b）我們可以直觀地看到，當動點P沿著曲線滑動時，曲線上的切線隨著點P而變化當每一點的切線位于曲線下方時，曲線是向上彎曲的，此時稱曲線是向下凹的；當每一點切線位于曲線的上方時，曲線是向下彎曲的，此時稱曲線是向上凸的如果一條曲線yf（x）在區(qū)間（a，b）上是向下凹或是向上凸的，我們就說曲線yf（x）在（a，b）上具有凸凹性，曲線向下凹與向上凸的分界點稱為曲線的拐點下面我們給出判斷曲線的凸凹性的一個方法設f（x）在的鄰域內存在連續(xù)的一階導數(shù)和二階導數(shù)，曲線yf（x）在點的切線為因而切線上橫坐標為x的點的縱坐標為：曲線上橫坐標為x的點的縱坐標為：AC表示點x處曲

5、線上的點與切線上的點之間的距離(如圖319)(1)當時，則在點的充分小鄰域內也大于0，因此ACO，于是C在A之上，換句話說，在M的充分小鄰域內，曲線弧落在切線之上，故曲線在M點附近是向下凹的(2)當則在點的充分小鄰域內也小于0，因此AC0，即點C在A之下，換句話說，在點M的充分小鄰域內，曲線弧落在切線之下，故曲線在M點附近是向上凸的(3)當時，可能是正數(shù)也可能是負數(shù)若x由小于變?yōu)榇笥?不變號，則曲線在點M附近仍為向下凹的或向上凸的；若x由小于變?yōu)榇笥?，變號，則在點M處曲線將從切線的一側穿過切線進入另一側，即曲線在點M附近兩側，其中一側是向下凹的，則另一側是向上凸的此時，點M是曲線向下凹與向上凸

6、的分界點，即是拐點從上面(3)中的可以看出，若是使得的點，則可能是拐點根據(jù)以上的討論，我們可以給出判別曲線yf(x)凸凹性的步驟：(1)求出yf(x)的定義域D(2)求出，并求出方程的根等(3)用等點將D分成若干個區(qū)域，在每個區(qū)間上判別的符號若，則在此區(qū)間上的曲線是向下凹的；若，則在此小區(qū)間上是向上凸的(此步驟通常列表完成)x（，0）000f（x）向下凹1向上凸向下凹拐點（0，1）由上表可知，曲線在（，0）與是向下凹的，在是向上凸的，拐點是（0，1）和，如圖3217怎樣求曲線的漸近線？我們知道雙曲線的漸近線有兩條：在作雙曲線的圖象時，如果能先把兩條漸近線作出來，再畫曲線的圖象，就較準確地畫出它

7、的圖象因此如果一條曲線存在漸近線，先把它的漸近線求出來，對于準確描繪函數(shù)yf（x）的圖象是非常必要的一般地，當曲線yf（x）上的動點P沿著曲線yf（x）無限地運離原點時，若動點P到某一定直線的距離無限地趨于0（如圖322），則稱直線的曲線yf（x）的漸近線下面我們將分三種情況討論曲線的漸近線（1）垂直漸近線若或則直線是曲線yf（x）的垂直漸近線（垂直于x軸）思路啟迪 求曲線的垂直線漸近線，首先找出使分母為零的點，然后檢查函數(shù)在這些點兩側附近函數(shù)的變化趨勢，若當無限接近該點時，函數(shù)趨于，則即為垂直漸近線故直線x3與x4都是曲線的垂直漸近線（2）水平漸近線則直線yb為曲線yf（x）的漸近線，稱為水

8、平漸近線思路啟迪 曲線yf（x）是否存在水平漸近線，就是看當x（或x）時，f（x）是否有有限極限b，若有有限極限b，則yb即為該曲線的水平漸近線否則，就不存在水平漸近線所以y0是曲線的水平漸近線點評 由以上的幾個例題可以看到，對于有理分式函數(shù)R（x）來說，當分子的最高指數(shù)不超過分母的最高指數(shù)時，曲線yR（x）有水平漸近線，當分子的最高指數(shù)大于分母的最高指數(shù)時，曲線yR（x）不存在水平漸近線（3）斜漸近線如圖322，設曲線yf（x）的漸近線方程是ykxb，下面我們來確定常數(shù)k和b設曲線yf（x）上任意點P（x，f（x）到直線ykxb的距離是|PM|，則由點到直線的距離公式有：直線ykxb是曲線y

9、f（x）的漸近線，當且僅當當且僅當當且僅當若k知道，則b可由上式求出，怎樣求k？于是，直線ykxb是曲線yf（x）的漸近線當且僅當因此，若上面兩個極限都存在，則曲線yf（x）有斜漸近線ykxb；若上面兩個極限至少有一個不存在，則曲線yf（x）不存在斜漸近線思路啟迪 檢驗一條曲線yf（x）是否存在斜漸近線，首先應檢驗是否為有限數(shù)值，若為有限值k，則再檢驗是否為有限值b，若b為有限值，則曲線yf（x）存在斜漸近線ykxb所以，x1是曲線的垂直漸近線即x-4y-5=0是曲線的斜漸近線例5 求曲線yarctanx的漸近線則x0（即y軸）是曲線的垂直漸近線所以y2x1是曲線的斜漸近線8怎樣作函數(shù)的圖象？

10、在中學數(shù)學中，我們利用描點法描繪了一些簡單函數(shù)的圖象但是，描點法有缺陷，因為描點法中我們所選的點不可能很多，而一些關鍵性的點，如極值點、拐點等可能漏掉；而曲線的重要性態(tài)如單調性，凸凹性也沒有掌握因此，描點法所描繪的函數(shù)圖象往往與真實的圖象相差甚遠現(xiàn)在，我們已經(jīng)掌握了借助于導數(shù)的符號，可以確定函數(shù)圖象在哪個區(qū)間上升，在哪個區(qū)間下降，什么地方是極值點；借助于二階導數(shù)的符號，可以確定函數(shù)圖象在哪個區(qū)間向下凹，在那個區(qū)間向上凸，在什么地方是拐點而我們知道了函數(shù)圖象的升降、凸凹以及極值點和拐點后，由此也可以掌握函數(shù)的性態(tài)，并由此可以把函數(shù)的圖象畫得比較準確一般地，利用導數(shù)描點繪函數(shù)的圖象可按照下列的步驟來進行？（1）確定函數(shù)的定義域（2）觀察函數(shù)yf（x）是否具有某些特性（如奇偶性、周期性）（3）求出函數(shù)yf（x）的漸近線（如果有的話）（4）求出函數(shù)（5）求出方程及的全部實根，并用這些根把函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間（列表）（6）判別曲線在第5步所分成區(qū)間內的單調性、凸凹性，并確定極值點與拐點（列表）（7）確定一些特殊點，如與坐標軸的交點及某些易算出的點（x，f（x）等（8）畫出漸近線，并根據(jù)以上所討論的函數(shù)的性態(tài)描繪出曲線的圖象規(guī)范解法 （1）定義域：（，0）（0，）（2）漸近線