平面向量的基本概念

1、平面向量的實(shí)際背景及基本概念1. 向量的概念：我們把既有 大小又有方向的量叫向量。2. 數(shù)量的概念：只有大小 沒有方向的量叫做數(shù)量。數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小;向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小3有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。4有向線段的三要素： 起點(diǎn)，大小，方向5. 有向線段與向量的區(qū)別；（1 ）相同點(diǎn)：都有大小和方向（2）不同點(diǎn)：有向線段有起點(diǎn)，方向和長度，只要起點(diǎn)不同就是不同的有向線段A比如：上面兩個(gè)有向線段是不同的有向線段。 向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在中的兩個(gè)有向線 段表示相同（等）的向量。 向量是用有向線段

2、來表示的，可以認(rèn)為向量是由多個(gè)有向線段連接而成6. 向量的表示方法： 用有向線段表示； 用字母a、b （黑體，印刷用）等表示； 用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：AB；7. 向量的模：向量AB的大小（長度）稱為向量的 模，記作| AB |.8. 零向量、單位向量概念：長度為零的向量稱為 零向量，記為：0。長度為1的向量稱為 單位向量。9. 平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.即：0 / a說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量a、b、c平行，記作a / b / c .10. 相等向量長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：(1)向量a與b相等，

3、記作a = b； (2)零向量與零向量相等；(3)任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).11. 共線向量與平行向量關(guān)系:平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上(與有向線段的起點(diǎn)無關(guān))說明：(1)平行向量是可以在同一直線上的。B(2)共線向量是可以相互平行的。例1.判斷下列說法是否正確，為什么?(1)平行向量是否一定方向相同?(2)不相等的向量是否一定不平行?(3)與零向量相等的向量必定是什么向量?(4)與任意向量都平行的向量是什么向量?(5)(6)兩個(gè)非零向量相等當(dāng)且僅當(dāng)什么?(7)共線向量一定在同一直線上嗎?解析：(1)不是，方

4、向可以相反，可有定義得出。若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是什么向量?(2)(3)零向量(4)零向量(5)共線向量(平行向量(6)長度相等且方向相同(7)不一定，可以平行。不是，當(dāng)兩個(gè)向量方向相同的時(shí)候，只要長度不相等就不是相等向量，但是是平行的。例2.下列命題正確的是(A. a 與 b共線，b 與 c共線，則B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)長十懺丿L辿也芥川自C.向量a與b不共線，則a與b *；.-斜二代D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根

5、本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確;向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以D不正確；對于C,其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若a 與b不都是非零向量，即a 與b至少有一個(gè)是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有 a 與 b共線，不符合已知條件，所以有 a與b都是非零向量，所以應(yīng)選 C.例3.如右圖所示，設(shè) 0是正六邊形ABCDEF勺中心，f f f分別寫出圖中與向量 OA, OB,OC相等的向量。解：按照向量相等的定義可知：TTTTTTTTTT0A = CB = DO OB = DC 二 EO OC = AB = ED 二 FO向量的加

6、法運(yùn)算及其幾何意義1. 向量的加法：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法2. 三角形法則(記憶口訣：“首尾相接，從頭指尾”)3. 三角形法則的來由如圖，已知向量a、b .在平面內(nèi)任取一點(diǎn) A，作AB = a， BC = b，則向量AC叫做a與b的和，記作a+ b ，即卩 a+b=AB BC = AC ，規(guī)定:a + 0-= 0 + a圖1a+ b字母公式:如圖1,以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量 a、b為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線 OC就是a 與b的和.我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.6. 平行四邊形法則與三角形法則的區(qū)別：(1)平行四邊形法則是將兩個(gè)向量的起

7、點(diǎn)放在一起做岀平行四邊形，最終和向量的結(jié)果的起點(diǎn)和兩個(gè)分向量的起點(diǎn)是同一起點(diǎn)。(2)三角形法則要求第一個(gè)向量終點(diǎn)和第二個(gè)向量的起點(diǎn)連接在一起，然后連接第一個(gè)向量的起點(diǎn)和第二個(gè)向量的終點(diǎn)組成三角形，最終和向量的結(jié)果是：由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)。7. 一般結(jié)論當(dāng)a, b不共線時(shí)a+b|<| a|+| b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);當(dāng)a, b共線且方向相同時(shí),| a+b|=| a|+| b|;當(dāng)a, b共線且方向相反時(shí)a+b|=| a|-| b|(或| b|-| a|).其中當(dāng)向量a的長度大于向量b的長度 時(shí)a+b|=| a|-| b|;當(dāng)向量a的長度小于向量 b的長度時(shí)a

8、+b|=| b|-| a|.一般地,我們有 | a+b| < | a|+| b|.例題講解例1、已知正方形 ABCD勺邊長為1,AB= a, BC =b, - - = c,則| a+b+c| 等于（A. 0解：B. 3C. 2D. 22D CA作出正方形ABCD的圖形如上圖所示，那么：a+b=c,所以 a+b+c=2c,所以 |a +b+c|=|2c|=2|c|=2 . 2 ,所以選 D.例 2.化簡: BC + AB ；（2）DB + CD + BC ；（3）AB+DF + CD + BC + FA .例3.如圖所示，已知矩形ABCD中,|AD|=4.3,設(shè)AB =a, BC = b,

9、 BD =c，試求向量a+b+ c的模.解:過D作AC的平行線，交BC的延長線于E,/ DE / AC,AD / BE.四邊形ADEC為平行四邊形./ DE =AC ,CE =AD .于是 a+b+c= AB + BC + BD = DE + BD = BE = AD + AD =2 AD , /. |a+ b+c|=2| AD |=8、3 .1判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由。 向量AB與CD是共線向量，則 A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上； 單位向量都相等； 任一向量與它的相反向量不相等； 一個(gè)向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0； 共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同。2. （ 1）.

10、判斷下列式子是否正確，若不正確請指出錯(cuò)誤原因I-I- 0=0.b - b =0（2）若將所有單位向量的起點(diǎn)歸結(jié)在同一起點(diǎn)，則其終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是.（3 ）將所有共線向量移至同一起點(diǎn)，終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么圖形？3. 下列說法正確的是（）A. 平行向量是方向相同的向量B.長度相等的向量叫相等向量C.零向量的長度為0D.共線向量是在同一條直線上的向量4. 若非零向量a與b共線，則以下說法下確的是（）A. a與b必須在同一直線上B. a與b平行，且方向必須相同'C. a與b平行，且方向必須相反D. a與b平行T T T1、在四邊形ABCD中，若AC =AB AD，則四邊形ABCD的形狀一定是（）

11、（A）平行四邊形（B）菱形 （C）矩形（D）正方形2、兩列火車從同一站臺沿相反方向開去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向II量分別為a和b，那么下列命題中錯(cuò)誤的一個(gè)是（）A、a與b為平行向量B、 a與b為模相等的向量111144C、a與b為共線向量D、a與b為相等的向量3、下列命題中正確的是（)A.單位向量都相等B. 長度相等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量C. 若a，b滿足| a|>| b|且a與b同向，貝U a>bD. 對于任意向量a、b,必有| a+b| < | a|+| b|平面向量的加法運(yùn)算1、用三角形法則和平行四邊形法則分別畫出a b2、下列命題中正確的是（）A. 單位向量都相等B. 長度相等且方向相反的兩個(gè)向量不一定是共線向量C. 若a， b滿足| a|>| b|且a與b同向，貝U a>bD. 對于任意向量 a、b,必有| a+b| < | a|+| b|3、已知正方形的邊長為 1, AB =a, BC=b, AC =c,則| a+b+c|等于（）A.0B.3 C.、- 2D.22i4、 兩列火車從同一站臺沿相反方向開去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為a和 b，那么下列命題中錯(cuò)誤的一個(gè)是IIIIA a與b為平行向量b 、a與b為模相等的向量IIIIC a與b為共線向量D 、a與b為相等的向量trT5、 在四