數(shù)列的前n項和的幾種方法

1、數(shù)列的前n項和的求法福田中學(xué)雷鳴一、知識回顧1. 公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。；（；） 2.裂項相消法: 這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用.裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終達(dá)到求和的目的.通項分解(裂項)，其基本方法是（1） （2）（3）若 an 分別是等差數(shù)列，公差是d，則：（4）例1：求和解答 數(shù)列an的前n項和： 遷移1：求數(shù)列的前n項和.解：設(shè)，則 =2：步步高72頁例題33.錯位相減法: 這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項和，其中

2、an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例2：求當(dāng)時，求和：解：由題可知 該數(shù)列的通項為是等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè)： （設(shè)制錯位） 得 （錯位相減）再利用等比數(shù)列的求和公式得：又 遷移2：求數(shù)列前n項的和.解：由題可知，的通項是等差數(shù)列的通項與等比數(shù)列的通項之積設(shè)： （設(shè)制錯位）得 （錯位相減） 4.倒序相加法: 類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法. 就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加,就可以得到n個a1+an. 【特點：一個常數(shù)或定值】例3：求證：證明： 設(shè). 把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得 （反序）又由可得 . +得 （反序相加） 遷移3：求的值解：設(shè). 將式右邊反序

3、得. （反序） 又因為 +得 （反序相加）89 44.55.分組求和法: 有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例4：求數(shù)列的前n項和：，解：設(shè)將其每一項拆開再重新組合得（分組）當(dāng)a1時，（分組求和）當(dāng)時，遷移4：求數(shù)列前項和6，合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這些項放在一起先求和，然后再求.例5：求 解：觀察數(shù)列可知，數(shù)列每相鄰兩項的和為一個定值，或 （找特殊性質(zhì)項）當(dāng)為奇數(shù)時，數(shù)列共有奇數(shù)項 （合并求和）當(dāng)為偶數(shù)時，數(shù)列共有偶數(shù)項 （合

4、并求和） =n遷移5：求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：設(shè) cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179° （找特殊性質(zhì)項） （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···+（cos89&

5、#176;+ cos91°）+ cos90°（合并求和） 0（二）.常用結(jié)論1） 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 二、基本訓(xùn)練1.等比數(shù)列的前項和S2，則_.2.設(shè)，則_.3.求和： .4. 數(shù)列1×4，2×5，3×6，n×(n+3)，則它的前n項和= .5. 數(shù)列的通項公式 ，前n項和 .三、例1 、求下列各數(shù)列前n項的和 例2、在數(shù)列中，求S10和S99例、已知數(shù)列中，試求前2n項的和例、 已知函數(shù)（），（1）求的反函數(shù)；（2）若，求；（3）若，求數(shù)列前n項和。四、作業(yè) 1、

6、等比數(shù)列an中，已知對任意自然數(shù)n，a1a2a3an=2n1，則a12a22a32+an2等于(A) (B) (C) (D) 2、等差數(shù)列an的前m項和為30，前2m項和為100，則它的前3m項和為 (A)130 (B)170 (C)210 (D)2603、求和： .4、數(shù)列的前n項和是 .5、 數(shù)列，3q，5q2，7q3的前n項和是 _.6、 數(shù)列滿足，則通項公式 ，前n項和 .7、 _.8、在數(shù)列中，已知_.9，設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項和公式的方法，求10、已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，（1）求數(shù)列的通項公式； （2）令()，求數(shù)列前n項和的公式.11、等比數(shù)列的首項為，公比為，Sn為其前項和，求和：S1+S2+S3+S12、已知數(shù)列的通項公式，