【高等數(shù)學基礎】形成性考核冊答案(大?？?

1、【高等數(shù)學基礎】形成性考核冊答案【高等數(shù)學基礎】形考作業(yè)1答案:第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)(一)單項選擇題L下列各函數(shù)對中，(C )中的兩個函數(shù)相等.x2 1A.f(x)(7'x)2, g(x) x B.f (x)Vx2 , g(x)C.f (x)In x3, g(x) 3ln x d.f (x)x 1, g(x)1xx分析：判斷函數(shù)相等的兩個條件(1)對應法則相同(2)定義域相同A、f (x) (Jx)2 x,定義域 x | x 0 ; g(x) x ,定義域為 R定義域不同，所以函數(shù)不相等;B f (x) 尿 x, g(x) x對應法則不同，所以函數(shù)不相等；3C f (x) ln

2、x 3ln x , te義域為 x | x 0 , g(x) 3ln x , te義域為 x | x所以兩個函數(shù)相等.,、 x2 1 _D f (x) x 1,定義域為 R； g(x) x 1 ,定義域為 x|x R,x 1x 1定義域不同，所以兩函數(shù)不等。故選C2.設函數(shù)f(x)的定義域為(，)，則函數(shù)f(x) f( x)的圖形關于(C)對稱.A. 坐標原點B.x軸C. y 軸D.y x分析：奇函數(shù)，f( x) f (x),關于原點對稱偶函數(shù)，f( x) f(x),關于y軸對稱y f x與它的反函數(shù)y f 1 x關于y x對稱,奇函數(shù)與偶函數(shù)的前提是定義域關于原點對稱設gx f x f x,

3、貝Ug x所以g x f xf x為偶函數(shù)，即圖形關于 y軸對稱故選C3.下列函數(shù)中為奇函數(shù)是(A. yC. yln(1 x2)分析：A、y x ln(1B) .B.y xcosxD.yln(1 x)x 2) In 1 x2y x ,為偶函數(shù)B、y x xcos xxcosx或者x為奇函數(shù)，cosx為偶函數(shù)，奇偶函數(shù)乘積仍為奇函數(shù)x x一a aC、y x y x ,所以為偶函數(shù)dk y x ln(1 x),非奇非偶函數(shù)故選B4.下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是(A. y x 1B._2C. y xD.1,1,分析：六種基本初等函數(shù)(1)c (常值)常值函數(shù)(2)(3)x ,為常數(shù)一一哥函數(shù)ax a

4、0,a 1指數(shù)函數(shù)(4)loga x a 0,a 1對數(shù)函數(shù)(5)sin x, y cosx, y tan x, y cot x三角函數(shù)arc sin x, 1,1 ,(6)arc cosx, 1,1 ,反三角函數(shù)arc tanx, y arc cot x分段函數(shù)不是基本初等函數(shù)，故 對照比較選C5.下列極限存計算不正確的是(D).d選項不對A.limxC.limx24 1 x2 2皿0B.D.分析:A、已知limx2xx2 2limx2x-2xx2_222x xlimxB、limln(1 x) ln(1 0) 0x 0初等函數(shù)在期定義域內是連續(xù)的C、limx則網(wǎng)1 x)lim xsin1si

5、n x 1 . lim - sin x 0x x x,1 口 一口口時，一是無窮小量，sin x是有界函數(shù), x無窮小量X有界函數(shù)仍是無窮小量lim xsin1.1sinlim px ,令 tx 11一 0, x xsin t lim t 0 t故選D6.當x 0時，變量(C)是無窮小量.B.D.ln(x 2)C. xsin1 x分析；lim f x 0,則稱f x為xa時的無窮小量A、sin xlim 1,重要極限x 0 x.1，口B、lim 一,無否大重x 0 xC、D>.1c lim xsin- 0, x 0 x limln( x 2)=ln.1，口無窮小量 xx有界函數(shù) sin仍

6、為無否小重 x0+2 ln 2故選C7.若函數(shù)f (x)在點x0滿足A.C.lim f (x)f(x0)X xlim f(x) f(x。) x /(A),則B.D.分析:f (x)在點x0連續(xù)。f (x)在點xo的某個鄰域內有定義lim f (x) lim f (x)x Xo連續(xù)的定義：極限存在且等于此點的函數(shù)值，則在此點連續(xù)即lim f x f x0x X0連續(xù)的充分必要條件lim f x f x0limX Xox Xolimx xof x f x0故選A(二)填空題X2 9L 函數(shù) f( X) 9x 3ln(1 x)的定義域是_x|x分析：求定義域一般遵循的原則(1)(2)(3)(4)偶次

7、根號下的量0分母的值不等于0對數(shù)符號下量(真值)為正反三角中反正弦、反余弦符號內的量，絕對值小于等于(5) 正切符號內的量不能取 k k 0,1,2L2然后求滿足上述條件的集合的交集，即為定義域. X2 9.f (x) ln(1 x)要求x 3x2 9 0 x 臧 x3x 30得 x3求交集 J 3_曰£31 X0 X1定義域為x|x 3222 .已知函數(shù) f (X 1) X2 X,貝Uf(x) x -X.分析：法一，令t x 1得x t 12則 f (t) t 1 t 1 t2 t 則 f XX2 X法二，f(x 1) x(x 1) X 1 1 X 1 所以 f(t) t 1 tc

8、1 X3 . lim (1 )x .x 2x1分析：重要極限limxe,等價式limx 011x： e推廣limx a則 lim(1x a)fxxlim0則則11x )flim(1x12x)xlim(1x2x)2x121e24 .若函數(shù)f(x) (1x0處連續(xù)，則k e分析：分段函數(shù)在分段點%處連續(xù)limPmximx。klim f x f x0 x /所以limx 0limx 05 .函數(shù)yx 1 ,sin x,0的間斷點是0分析：間斷點即定義域不存在的點或不連續(xù)的點 初等函數(shù)在其定義域范圍內都是連續(xù)的分段函數(shù)主要考慮分段點的連續(xù)性ximmxim x 1(利用連續(xù)的充分必要條件)1不等，所以x

9、 0為其間斷點limx 06 .若 lim f (x)x x0分析：lim( f (x)x %所以f(x)(三)計算題L設函數(shù)lim sinxx 0A,則當xxo時,f (x) A稱為 _x x0時的無窮小量A) lim f(x) lim A A AxX xx0時的無窮小量f(x)012求：f(解：f2), f(0),2,f(1). f 00,2.求函數(shù)1-的定義域.,2x lg 一x解：y2x 1lg有意義，要求解得則定義域為 x|x 0或xAE ,OA2則上底=2AE一 h故 S -g2ROE2 R22, R2 h22 . R2 h2h2h R R2h23 .在半徑為 R的半圓內內接一梯形

10、，梯形的一個底邊與半圓的直徑重合，另一底邊的兩個端點在半圓上，試將 梯形的面積表示成其高的函數(shù).解：CD= 2R設梯形ABCD為題中要求的才!形，設高為h,即OE=h下底直角三角形AOE中，利用勾股定理得3sin3x4 .求 limx 0 sin2x解:sin3x lim x 0sin2xsin3x 小 3x lim 3x0 sin 2x2x2xsin3x3xsin2x2x5.求limx 1解:sin(x 1)x2 1lim x 1 sin(x1)xim1(x1)(x1)sin(x 1)6.求 limx 0tan3xxtan3xlimosin3x 1sin3x lim x 0 3x1cos3x

11、7.求 lim x 0,.1解：limx 02xsin xx2 1sin xlim (1x 0x2 1)( 1 x21)lim x 0:(.1 x(v1 x2x1)sin x0lim - x 0(12x2x1)sin x1)Sinxx- x 1 v解：lim()x x 31 lim(- x1x)x 3)(1 -)x limxx3 x(1 -)x x(1 lim x(11) xx。)33 x，1 e3 e9.求呵6x 85x 4解:x 6x 8 lim x 4 x 5x 4x 4 x 2 limx 4 x 4 x 1io.設函數(shù)(x 2)2 , x 1f (x) x ,1 x 1x 1 , x

12、1討論f(x)的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間.解：分別對分段點 x 1,x 1處討論連續(xù)性(1)lim f x lim x 1 x 1x 1limf xlimx 11 1 0x 1x 11處不連續(xù)所以lim fxlim fx ,即f x 在 xx 1x 1(2)_ 2_ 2lim f x lim x 21 21x 1x 1lim fxlimx 1x 1x 1所以lim f xx 1f 1即f x在x 1處連續(xù)由(1) ( 2)得f x在除點x1外均連續(xù)故f x的連續(xù)區(qū)間為，1 U 1,2答案:【高等數(shù)學基礎】形考作業(yè)第3章導數(shù)與微分(一)單項選擇題L設f(0) 0且極限lim2)存在，則lim f

13、(兇(C ) .x 0 xx 0 xA. f (0)B.f (0)C. f (x)D.0 cvx2.設 f(x)在 x0 可導，則 lim f(x0 2h)一3°)(D )h 0 2hA.2f (x。)B.f (x0)C. 2 f (xo)D.f (x0)3.設 f(x) ex,f (1 則lim-fx 0xA. eB.2eC. 1eD.1-e244.設 f (x) x(x1)(x 2)(x 99),則 f (0)(D )A. 99B.99C. 99!D.99!5.下列結論中正確的是(C ).A.若f (X)在點Xo有極限，則在點Xo可導.B.若f(X)在點Xo連續(xù)，則在點Xo可導.

14、C.若f (X)在點Xo可導，則在點Xo有極限.D.若f (X)在點Xo有極限，則在點Xo連續(xù).(二)填空題L設函數(shù)f(X)2 cn 1x sin -,x0,2.設 f(eX)2x e2 1nx3.曲線f(X)4.曲線f(X)dXJX 1在(1,2)處的切線斜率是5.設y6.設ysin x在(一，1)處的切線萬程是4x2x,則 y2x2X(111n x)2, 2- 2 匕 、-x (1 )224(三)計算題1.求下列函數(shù)的導數(shù)3)ex3(X23)ex3 -2 xx2e2cot x2Xln xy2xln x2csc Xx 2x ln x(4)ln xcosx3 X2Xln2 xx( sin x2

15、xln2) 3(cosx 2X). J2、ln xx2sin x(- 2x) (ln x x )cosx xsin xsin2 x(6) y x4 sin xln x3 sin xy 4x cosxln x2sin xx_2 x3 (cosx 2x) (sin x x )3 In 332x_ _ n 1 nsin xcosx cosnxnsin n xsin( nx)x ,e tan x inex tan xxe2-cos x2.求下列函數(shù)的導數(shù)1 x2 y e 1 xx. 1 x2in cosx33x22 x 33x tan x一 3 sin x3- cosx y x . x x77y x8

16、 y -x8 8 y 3 x x1 1 1 y -(x x2)3(1 -x2)32 y cos2 ex y ex sin(2ex)x2(6)y cose22y2xex sinex y sinn xcosnx一、2 sinx52xln 5cosx 2xsin y y5s1nx2入sin xe一二2sin xsin2xe2yx2sin y(10)y(x2xln x)22xexan yx ex e xe (_xex In x)3.在下列方程中,y(x)是由方程確定的函數(shù)，求2yy cos x e2e2yycosx y sin xy sin xc 2ycosx 2ecos y In xsin y.y

17、In xi cos y. 一 xcosyx(1 sin y In x)2xcosy.y 2siny2yx x2yy(2xcosy2xr)y2 y2xy 2ysin y2xy2cosy(4)Iny_yyy 1In xeyeyy2yy1 x(27ey)(6)y2一 x 一一e sin2yy X sin y.exe cosy.y_ x _ .e sin y3y2ey eyyx ex exeey3y3y2y52y e cosy2y5xln5 y 2y ln25x ln51 2 y ln2 4.求下列函數(shù)的微分 dy ： y cotx cscx1 cosx dy (- i-)dx cos x sin x

18、ydyln xsin x1sinx In xcosx2dxsin xarcsin1 xdy1(1 x) (1 x)dx1(1 X)2(1 x)1 x1 x21.x (1 x)2dxln(1 x) 1 ,、兩邊對數(shù)得：In y - ln(1 x) 3y 111()y 3 1 x 1 x1 3 1 x 11y cl(；)3 - 1 x 1 x 1 x y sin2 ex3dy 2sinexex exdx sin(2ex)exdx3 y tan ex.2 x3 22 x32 .dy sec e 3x dx 3x e sec xdx5.求下列函數(shù)的二階導數(shù):(1) y x ln xy 1 In x1y

19、 一 x y xsin x y xcosx sin x y xsin x 2cosx y arctan x1_1 x22x22(1 x ),x2y 3x222y2x3x ln3 y4x2 3x ln2 3 2ln3 3x(四)證明題設f(x)是可導的奇函數(shù)，試證 f (x)是偶函數(shù).證：因為f(x)是奇函數(shù) 所以f( x) f(x)兩邊導數(shù)得：f ( x)( 1) f (x) f ( x) f (x)所以f (x)是偶函數(shù)?！靖叩葦?shù)學基礎】形考作業(yè)3答案:第4章導數(shù)的應用(一)單項選擇題L若函數(shù)f(x)滿足條件(D),則存在(a, b),使得f (f(b) f(a)B.在(a,b)內可導D.

20、在a, b內連續(xù)，在(a,b)內可導A.單調減少且是凸的C.單調增加且是凸的B.單調減少且是凹的D.單調增加且是凹的2.函數(shù)f (x)2x 4x 1的單調增加區(qū)間是(D )A. (,2)C. (2,)B.( 1,1)D.( 2,)3.函數(shù)y x24x 5在區(qū)間(6, 6)內滿足(A )A.在(a, b)內連續(xù)C.在(a, b)內連續(xù)且可導A.先單調下降再單調上升B.C.先單調上升再單調下降D.4.函數(shù)f(x)滿足f (x) 0的點,單調下降單調上升定是“xMqlCA.間斷點B.極值點C.駐點D.拐點5 .設f(x)在(a, b)內有連續(xù)的二階導數(shù)，x0(a,b),若f(x)滿足(C ),則f

21、(x)在x0取到極小值.A.f(xo)0, f(xo)0B.f(xo)0, f(xo)0C.f(x0)0, f(x0)0D.f(x0)0, f(x0)06 .設f(x)在(a, b)內有連續(xù)的二階導數(shù)，且 f (x) 0, f (x) 0,則f (x)在此區(qū)間內是(A ).(二)填空題L設 f (x)在(a, b)內可導，x0 (a, b),且當 x x0 時 f (x) 0 ,當 x x0 時 f (x) 0 ,則 x0是 f (x)的極小值 點.2 .若函數(shù)f (x)在點Xo可導，且Xo是f(x)的極值點，則f (Xo) 03 .函數(shù)y ln(1 X2)的單調減少區(qū)間是(，0).24 .函

22、數(shù)f(x) ex的單調增加區(qū)間是(0,)5 .若函數(shù)f (x)在a,b內恒有f (x) 0,則f(x)在a,b上的最大值是f(a).6 .函數(shù)f(x) 2 5x 3x3的拐點是 x=0.(三)計算題L求函數(shù)y (X 1) (X 5)2的單調區(qū)間和極值.令 y (x 1)2(x 5)2駐點x 2,x 5列表：2(x 5)(x 2)極大值：f(2) 27X(,2)2(2,5)5(5,)y+極大-極小+y上升27下降0上升極小值：f(5) 02.求函數(shù)y x2 2X令：y 2x 2 03在區(qū)間0, 3內的極值點，并求最大值和最小值.x 1(駐點)f (0) 3 f (3) 6f(1) 2最大值f (

23、3)6最小值f (1)27 .試確定函數(shù)y ax3 bx2 cx d中的a, b, c, d ,使函數(shù)圖形過點(2, 44)和點(1, 10),且x 是駐點，x 1是拐點.44 8b 4b 2x da 110 a b c db 30 12a 4b cc 16240 6a 2b8 .求曲線y2 2x上的點，使其到點 A(2, 0)的距離最短.解：設p(x,y)是y2 2x上的點，d為p到A點的距離，貝U： d . (x 2)2 y2,(x 2)2 2x人, 2(x 2) 2x 1 八令d 22012«x 2)2 2x (x 2)2 2xy22x上點(1,2)到點A(2,0)的距離最短。

24、9 .圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L,問當?shù)装霃脚c高分別為多少時，圓柱體的體積最大?設園柱體半徑為 R,高為h,則體積VR2h(L2 h2)h令：V h( 2h) LA. ln x B. 4 C. 1 D. h2L2 3h2 0L 局 h 3 LR J2L當h 1,R J2L時其體積最大。:33310 一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最??？設園柱體半徑為 R,高為h,則體積_ 2_2_ V_2V R2hS表面積2 Rh 2R22R2R2令：S 2VR 2 4 R 0VR3R23x11 欲做一個底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最省?解：設底連

25、長為x,高為ho則：62.5 x2h側面積為：S x24xh62.5250令 S 2x 250 0xxx 125 x 5x答：當?shù)走B長為5米，高為2.5米時用料最省。(四)證明題L當x 0時，證明不等式x ln(1 x).0)證：由中值定理得：n1-x) ln(1 x) ln11(x (1 x) 11ln(1 x) 1x ln(1 x)(當 x 0時)x2.當x 0時，證明不等式 ex x 1 .設f (x) ex (x 1)f (x) ex 1 0(當 x 0時)當 x 0Btf(x)單調上升且 f (0) 0f (x) 0,即ex (x 1)證畢【高等數(shù)學基礎】形考作業(yè)4答案：不定積分定積

26、分及其應用第5章 第6章 (一)單項選擇題1L若f(x)的一個原函數(shù)是 一，則f (x)(D ).x2.下列等式成立的是(D )A f (x)dx f(x)B. df (x) f (x) C. df(x)dx f(x) D. f(x)dx dxf (x)3.若 f (x) cosx ,則 f (x)dx (B ).A. sinx c B.4. x2 f (x3)dx dxcosx cC. sin xc D.cosx cA. f (x3) B.2 一 3x2 f (x3) C.5.若 f (x)dxF(x) c,則1 .-f(x) D.31.f (、 x)dx x3 f(x3)(B ) .A. F ( . x) cB. 2F(.、x)C.F(2、,x) c D.-F(Vx) c 、xi.2.3.4.5.6.6.由區(qū)間a,b上的兩條光滑曲線 面積是(c).bA. f (x) g(x)dxabC.af (x) g(x)dx(二)填空題L函數(shù)f(x)的不定積分是B.D.f (x)dx.f(x7Dy g(x)以及兩條直線 x a和x2 .若函數(shù)F(x)與G(x)是同一函數(shù)的原函數(shù)，則X2X23 . d e dx e4. (tan x