專題01抽象問題有形化,破解抽象函數(shù)難題(解析版)

1、2020高考數(shù)學(xué)壓軸題命題區(qū)間探究與突破專題第一篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題01抽象問題有形化，破解抽象函數(shù)難題一.方法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些體現(xiàn)函數(shù)特征式子的一類函數(shù).由于抽象函 數(shù)表現(xiàn)形式抽象，對(duì)學(xué)生思維能力考查的起點(diǎn)較高，使得此類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一，使多數(shù)學(xué)生 感覺無從下手，望而生畏.事實(shí)上，解決此類問題時(shí)，只要準(zhǔn)確掌握函數(shù)的基本性質(zhì)，熟知我們所學(xué)的基 本初等函數(shù)，將抽象函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為具體函數(shù)問題，問題就迎刃而解了.具體的可概括為函數(shù)性質(zhì)法、賦 值法和構(gòu)造函數(shù)法.類型一函數(shù)性質(zhì)法【例1】【2020屆重慶一?！恳阎x在R上的函數(shù)f x滿足f x偶函數(shù)，若f X

2、在0,3內(nèi)單調(diào)遞減,則下面結(jié)論正確的是(A. f 4.5 f3.5 f12.5B.f 3.5 f4.5f12.5C. f 12.5 f3.5 f4.5D.f 3.5 f12.5f4.512 / 10f (x)f (12.5) =f (12+0.5) =f (0.5),4.5f 4.5f 1.5又y f x 3為偶函數(shù)，.f (x)的對(duì)稱軸為(3.5) =f (2.5),又. 0v0.5v1.5v2.5v3,且 f x 在(0, 3)內(nèi)單調(diào)遞減,.f (2.5) v f (1.5) vf (0.5),即 f (3.5) 0)f(x)若 f(x + a) = f(x + b)(a w b),則 T

3、= |a b| ;若 f(2a -x) =f(x)且 f(2b x)=f(x)(a wb),則 T=2|b a|.(5)奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性：奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反.【舉一反三】【2020屆湖北荊門一中一?！縡(x)是定義在實(shí)數(shù)集 R上的奇函數(shù)，x R,f(1 x) f(1 x),若 f (1)1,則 f (1)22f (2)32f (3)102f(10) .【答案】49【解析】Q f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足 f(1 x) f(1 x),f (1 x) f (1 x) f (x 1),且函數(shù) f(x)關(guān)于 x 1 對(duì)稱，即f(x 2) f

4、(x),即f (x 4) f(x),即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，Q f(0) 0 , f (1)1f f(0) 0, f (3) f (1 2) f (1 2) f( 1) f (1)1,f (4)f(0) 0,所以 f (1) f (5) f (9)1f (2)f (6)f(10) 0f (3)f12, 、23 f 10 f (10)0 25 1 36 0 49 ( 1)64 0 81 1 100 0 49.f (4)f(8)0,所以 f(1)22 f(2)1 409( 1)16故答案為：49.類型二賦值法【例2】【2020屆洛陽一高一模】若函數(shù)f x滿足對(duì)其定義域內(nèi)任意x1, x2

5、,都有f x1x2f x1x21成立.(1)求h 1的值;(2)求h , 201812017h 2018的值. h x1 ?x2x2又2(2)令 x1 ?x21,則有hxih乂2X1hX2h81 o271 o21-2h1 - 3hh 20181h 3 L h h 201820181 2017 2 4035.【指點(diǎn)迷津】根據(jù)對(duì)題目給出的抽象的函數(shù)性質(zhì)的理解，將條件和結(jié)論有機(jī)地結(jié)合起來，作適當(dāng)變形，我們找到一個(gè)符合題意的具體函數(shù)或給變量賦值，把抽象函數(shù)問題化為具體的數(shù)學(xué)問題，從而問題得解【舉一反三】【2020屆山西運(yùn)城一中期末】 定義在R上的函數(shù)f X滿足f 0 0,且當(dāng)x 0時(shí)，f x 1 ,對(duì)

6、任意a, b R,均有fab fa f b .(1)求證：對(duì)任意x r,恒有f x 0；(2)求證：f x是R上的增函數(shù)；(3)若f x f 2x x21,求x的取值范圍.【解析】 證明：令a=b=0,得f (0)=f2(0),又因?yàn)閒(0)韋 所以f (0)=1.1C當(dāng) x 0,所以 f (0) =f(x) f ( x) =1,即 f x 0,T x又因?yàn)閤 0時(shí)，f x 1 0,所以任意xC R,恒有f (x) 0.(2)證明：設(shè) x1 x2,則 x2 x1 0,所以 f (x2)=f (x2-x1)+x1=f (x2x1) f (x1).因?yàn)?x2 x10 ,所以 f (x2x1)1,又

7、 f (x1) 0,則f %x1) f (x1) f (刈，即f (x2) f (刈,所以f(x)是R上的增函數(shù).(3)由 f (x)f-(2x x2) 1, f (0)=1 得 f (3x x2) f (0),又由f (x)為增函數(shù)，所以3x x2 0 ? 0 x 3.故x的取值范圍是(0, 3).類型三構(gòu)造函數(shù)法【例3】【2020屆湖南株洲一高一模】已知定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x),對(duì)任意x (0,),有 f (x)sin x f(x)cosx 且 f(x) f ( x) 0 設(shè) a 2f , b V2f , c f ，則 642( )A. abcB. bcaC. a c

8、bD. cba【答案】Df (x)、 f(x)sin x f (x)cos x【斛析】 構(gòu)造函數(shù) g (x) ，則 g (x) 2，又 f (x)sin x f (x) cosx,sin xsin x故 gx)f(x)sinx 2 f(x)C0Sx 0.g(x) 位 在 x (0,)上單調(diào)遞減.sin xsin x又f(x) f( x) 0,故f(x)為奇函數(shù)，故g(x) fx)為偶函數(shù). sin x又 a 2f g( ),b2f g ,c f g .664422f(x)又偶函數(shù)g(x) 在x (0,)上單調(diào)遞減.故g(二)g() g g sin x6642故c b a,故選D【指點(diǎn)迷津】導(dǎo)數(shù)

9、、不等式、函數(shù)相結(jié)合的問題，往往考查函數(shù)的單調(diào)性、大小比較、解不等式等 ，問題的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用好已知條件中含有原函數(shù)和它的導(dǎo)函數(shù)的式子，考慮用構(gòu)造函數(shù)法，通過構(gòu)造函數(shù)，使抽象函數(shù)問題具體化.如本題從f(x) + f(x) 。)，從而可以用上已知條件來判斷函數(shù) 單調(diào)性，進(jìn)一步達(dá)到比較大小的目的.一般：(1)條件含有(2+(由,就構(gòu)造q 二爐咫,(2)若了(力-r，就構(gòu)造目三誓，4+嗎,就構(gòu)造修(力二泮心),(4)2/0。一廣就構(gòu)造 98 -空, 等便于給出導(dǎo)數(shù)時(shí)聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).【舉一反三】【2020屆福建泉州一中期末】已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f X滿足f X f 4 X ,且f 20, f x為函

10、數(shù)f x的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x2時(shí)，有fx f x 0,則不等式x f x 0的解集為()A. 0,6B.2,0C., 2D., 2 U 0,6【答案】D【解析】g(x) exf(x),(x 2),g(x) exf(x) exf (x) ex f(x) f (x)0,g(x)在(，2)單調(diào)遞增，g( 2) e2f( 2) 0,當(dāng) x (, 2)時(shí)，g(x) 0,當(dāng) x ( 2,2)時(shí)，g(x) 0,2)時(shí),f (x)又 ex0,(2,2)時(shí),f (x) 0,又f(x)滿足f xf (x)圖象關(guān)于直線x 2對(duì)稱,不等式(2,6)時(shí),f(x),2)x f x 0等價(jià)于x 0, f(x)或0,x 0, f(

11、x)(6,)時(shí)，f(x) 0,0,解得：x , 2 U 0,6 ,故選D三.強(qiáng)化訓(xùn)練1.12020屆安徽廬山陽一中期末】已知函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足f(x) f(2 x),則f (1)f (2) f (3)f(20)A.20B. 0C. 2D.20【解析】根據(jù)題意，定義域?yàn)?()的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)f(2x)f(x) f(2 x) f( x),變形可得：f(x 2) f(x),則有f (x 4) f (x 2) f(x)即函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，又由f(0) f (4) 0(3)f(1)f (1)f (4)f(0) 0 ,故 f (1) f (2) f (3)f

12、 (20) 5f (1) f(3)(4)2.12020屆重慶廣益中學(xué)校月考】已知函數(shù)f x是定義在R上的偶函數(shù),且在0,上是增函數(shù)，若對(duì)任意x1,，都有f x a2x1恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.2,0B.C.2,D.,0x為偶函數(shù)且在0,上是增函數(shù),0上是減函數(shù)對(duì)任意x1,都有f x a2x 1恒成立等價(jià)于2x2x 1a 2x 13x 1 a x 13x 1maxa x 1 min當(dāng)x 1時(shí),取得兩個(gè)最值3.12020屆廣東惠州中學(xué)模擬】已知定義在R上的偶函數(shù)f時(shí)，f0,6上函數(shù)f x的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(A. 6B. 7c.D. 9因?yàn)閒x是R上偶函數(shù)，且滿足令 x+1=t，則

13、 x t 1. ft f t 2 ； f x是最小正周期為2的周期函數(shù),2時(shí)，f x3一一 _ x x 0解得x0或x 1 ,0在區(qū)間0,6上解的個(gè)數(shù)為6,又因?yàn)閒6 f 00,故f x 0在區(qū)間0,6上解的個(gè)數(shù)為7,即函數(shù)yf x的圖象在區(qū)間 0,6上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7,故選B.4.12020屆浙江高三專練】已知函數(shù)yf x是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且x在0,上單調(diào)遞增,則不等式f 2x 1f x 2的解集為A.1,1B.1,C.1,D.0,1【解析】Q函數(shù)y為偶函數(shù)，則由 f 2x 1得 f 2x 1Q函數(shù)y f0,上單調(diào)遞增,2x2,-2即2x 1化簡得x2 1因此，不等式f 2x 12

14、的解集為1,故選B.5.12020屆河北高三月考】定義在R上的偶函數(shù)f (x)滿足f (x 3) f(x)x ,x20,3且 xX2,都有f (Xi) f (x2)XiX2A. f(49)f(64)f(81)B.f(49)f(81)f(64)C. f(64)f(49)f(81)D.f(64)f(81)f(49)【解析】因?yàn)閒(x 3) f(x)所以f(x 6)f(x3) f x ,及f x是周期為6的函數(shù)，結(jié)合f(x)是偶函數(shù)可得，f(49) f 1 , f (64) f 2 f 2 , f (81) f 3 f 3 ,由 Xi,X2 0,3且 入f(Xl) f(X2)X2 ,Xi X20得f

15、(x)在0,3上遞增,因此 f(1) f(2)f(3),即 f(49)f(64)f(81),故選 a.6.12020屆江西撫州二中期末】已知對(duì)任意實(shí)數(shù)X 都有 f X3eXf X , f 0f x a x 2 (其中a 1)的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則 a的取值范圍是(A.4 1 , 3e 2B.3e74C. 2 , 一4e 3eD.7 12 , 一4e 2由 f (x)3ex f(x),f(0)1 得 f (x) (3x1)eX根據(jù)圖像，欲使解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則比較點(diǎn)2,0與四個(gè)點(diǎn)(1,2e),(0,1),(1,-) e2,741線的斜率，由2e2一一可得a4e3e24e23e,一),故選C.

16、7.12020江西南臨川二中一?！恳阎猣(x)是定義域?yàn)?)的奇函數(shù),滿足f(1x)f(1x)f (1)2,則 f (1) f (3)f (2020)(A. 50B. 2C. 0D. 50【解析】根據(jù)題意,f (x)是定義域?yàn)?的奇函數(shù),f( x)f(x),且 f(0)0；又由f(1x) f(1x)即有 f(x 2)f(x),則 f(x 2)進(jìn)而彳#到f (x 4)f (x 2) f (x) , f(x)為周期為4的函數(shù),若 f (1)2,可得 f (3)f( 1) f (1)2 ,f f(0) 0, f (4)則 f (1) f (2)f (3)f(0) 0 ,f (4)20200,則 f

17、(1) f (2)f (3)f (2020) 505 f (1) f (2)f (3) f (4) 0;8.12020屆甘肅甘南一中期末】定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的偶函數(shù)f(x)滿足xf(x 2) (x 2) f (x),則 ff(2019) .【考點(diǎn)】0【解析】由 xf(x 2) (x 2)f(x),得 f(x 2) fX,設(shè) g(x) f(，則 g(x 2) g(x),即 g(x)是周期 x 2 xx為2的周期函數(shù)，Q f (x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，則當(dāng)x 1時(shí)，g( 1 2) g(1),即g (1) g (1),得 g (1) 0.又 g(0) 0,則 g( 1) 0,貝 Ug

18、(2019) g(2018 1) g (1) 0 ,即 f (2019) 0,得 f(2019) 0, 2019貝U f f (2019) f (0),當(dāng) x 0 時(shí)，0 f (2) 2f (0) 0 ,即 ff (2019) f (0) 0 .9.12020屆江蘇鹽城一中期末】)已知定義在(0,)上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且xf(x) f(x) 0,則(x 1)f(x D f (3)的解集為3【答案】x|1 x 4【解析】令 g(x) xf(x)(x 0),則 g (x) xf (x) f (x) 0 ,所以函數(shù)g(x) xf(x)在(0,)上單調(diào)遞減，因?yàn)?(x 1)f(x 1)f(3), (x 1)f(x 1) 3f(3),即 g(x 1) g(3),3x 1 0所以，解得1 x 4.x 1 310.【山西大學(xué)附屬中學(xué)2019屆9月診斷】已知函數(shù)f(x)在(一1, 1)上有定義，當(dāng)且僅當(dāng) 0Vx1時(shí)f(x)0,且對(duì)任意x、yC( 1,1)都有f(x)+f(y)=f(表;)，試證明： (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x) 在(一1, 1)上單調(diào)遞減.【解析】證明：(1)由 f(x)+f(y)=f(或言)可令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y= x,得