材料力學扭轉

1、第6章 圓軸的扭轉6.1 扭轉的概念 扭轉是桿件變形的一種基本形式。在工程實際中以扭轉為主要變形的桿件也是比較多的，例如圖6-1所示汽車方向盤的操縱桿，兩端分別受到駕駛員作用于方向盤上的外力偶和轉向器的反力偶的作用；圖6-2所示為水輪機與發(fā)電機的連接主軸，兩端分別受到由水作用于葉片的主動力偶和發(fā)電機的反力偶的作用；圖6-3所示為機器中的傳動軸，它也同樣受主動力偶和反力偶的作用，使軸發(fā)生扭轉變形。 圖61 圖62 圖63 這些實例的共同特點是：在桿件的兩端作用兩個大小相等、方向相反、且作用平面與桿件軸線垂直的力偶，使桿件的任意兩個截面都發(fā)生繞桿件軸線的相對轉動。這種形式的變形稱為扭轉變形（見圖6

2、-4）。以扭轉變形為主的直桿件稱為軸。若桿件的截面為圓形的軸稱為圓軸。 圖64 6.2 扭矩和扭矩圖 外力偶矩作用在軸上的外力偶矩，可以通過將外力向軸線簡化得到，但是，在多數(shù)情況下，則是通過軸所傳遞的功率和軸的轉速求得。它們的關系式為 （6-1）其中：M外力偶矩（Nm ）; 軸所傳遞的功率（KW）； 軸的轉速（rmin）。外力偶的方向可根據(jù)下列原則確定：輸入的力偶矩若為主動力矩則與軸的轉動方向相同；輸入的力偶矩若為被動力矩則與軸的轉動方向相反。 扭矩 圓軸在外力偶的作用下，其橫截面上將產(chǎn)生連續(xù)分布內(nèi)力。根據(jù)截面法，這一分布內(nèi)力應組成一作用在橫截面內(nèi)的合力偶，從而與作用在垂直于軸線平面內(nèi)的外力偶

3、相平衡。由分布內(nèi)力組成的合力偶的力偶矩，稱為扭矩，用表示。扭矩的量綱和外力偶矩的量綱相同，均為Nm或kNm。當作用在軸上的外力偶矩確定之后，應用截面法可以很方便地求得軸上的各橫截面內(nèi)的扭矩。如圖6-5（a）所示的桿，在其兩端有一對大小相等、轉向相反，其矩為的外力偶作用。為求桿任一截面m-m的扭矩，可假想地將桿沿截面m-m切開分成兩段，考察其中任一部分的平衡，例如圖6-5（b）中所示的左端。由平衡條件 可得 圖65 注意，在上面的計算中，我們是以桿的左段位脫離體。如果改以桿的右端為脫離體，則在同一橫截面上所求得的扭矩與上面求得的扭矩在數(shù)值上完全相同，但轉向卻恰恰相反。為了使從左段桿和右段桿求得的

4、扭矩不僅有相同的數(shù)值而且有相同的正負號，我們對扭矩的正負號根據(jù)桿的變形情況作如下規(guī)定：把扭矩當矢量，即用右手的四指表示扭矩的旋轉方向，則右手的大拇指所表示的方向即為扭矩的矢量方向。如果扭矩的矢量方向和截面外向法線的方向相同，則扭矩為正扭矩，否則為負扭矩。這種用右手確定扭矩正負號的方法叫做右手螺旋法則。如圖6-6所示。按照這一規(guī)定，園軸上同一截面的扭矩（左與右）便具有相同的正負號。應用截面法求扭矩時，一般都采用設正法，即先假設截面上的扭矩為正，若計算所得的符號為負號則說明扭矩轉向與假設方向相反。當一根軸同時受到三個或三個以上外力偶矩作用時，其各 圖6-6 扭矩正負號規(guī)定 段橫斷面上的扭矩須分段應

5、用截面法計算。 扭矩圖 為了形象地表達扭矩沿桿長的變化情況和找出桿上最大扭矩所在的橫截面，我們通常把扭矩隨截面位置的變化繪成圖形。此圖稱為扭矩圖。繪制扭矩圖時，先按照選定的比例尺，以受扭桿橫截面沿桿軸線的位置為橫坐標，以橫截面上的扭矩為縱坐標，建立直角坐標系。然后將各段截面上的扭矩畫在坐標系中。繪圖時一般規(guī)定將正號的扭矩畫在橫坐標軸的上側，將負號的扭矩畫在橫坐標軸的下側。 例6-1 傳遞功率的等截面圓軸轉速=120rpm，軸上各有一個功率輸入輪和輸出輪。已知該軸承受的扭矩Nm， 求：軸所傳遞的功率數(shù)。解： 因為等截面圓軸上只有兩個外力偶作用，且大小相等、方向相反（輸入和輸出功率相等），故軸所承

6、受的扭矩大小等于外力偶矩，即 M=1450 Nm根據(jù)（6-1）式， 由此求得軸所傳遞的功率為 kN例6-2 傳動軸如圖6-7所示，已知主動輪的輸入功率 KW，三個從動輪的輸出功率 KW、 KW、 KW，軸的轉速 rpm。繪制軸的扭矩圖。 圖67解： 1）計算作用在主動輪上的外力偶矩和從動輪上的外力偶矩、。 Nm Nm Nm Nm 2) 求各段截面上的扭矩。 截面1-1上的扭矩，由平衡方程 解得 Nm 截面2-2上的扭矩，由平衡方程 得 Nm 截面3-3上的扭矩，由平衡方程 M4Mn3=0得 Nm3) 畫扭矩圖 根據(jù)所得數(shù)據(jù)，把各截面上的扭矩沿軸線的變化情況，畫在坐標系中，如圖6-7所示。從圖中

7、看出，最大扭矩發(fā)生于段和內(nèi)，且Nm。對同一根軸來說，若把主動輪安置于軸的一端，例如放在右端，則軸的扭矩圖將發(fā)生變化。這時，軸的最大扭矩變?yōu)椋?Nm?？梢?，傳動軸上主動輪和從動輪安置的位置不同，軸所承受的最大扭矩也就不同。因此主動輪和從動輪的布局要盡量合理。6.3 扭轉時的應力與強度計算 圓軸扭轉時橫截面上的應力為了說明圓軸扭轉時橫截面上的應力及其分布規(guī)律，我們可進行一次扭轉試驗。取一實心圓桿，在其表面上畫一系列與軸線平行的縱線和一系列表示圓軸橫截面的圓環(huán)線，將圓軸的表面劃分為許多的小矩形，如圖6-8所示。若在圓軸的兩端加上一對大小相等、轉向相反、其矩為的外力偶，使園軸發(fā)生扭轉變形。當扭轉變形很

8、小時，我們就可以觀察到如圖6-8(b)所示的變形情況：（1）雖然圓軸變形后，所有與軸線平行的縱向線都被扭成螺旋線，但對于整個圓軸而言，它的尺寸和形狀基本上沒有變動；（2）原來畫好的圓環(huán)線仍然保持為垂直于軸線的圓環(huán)線，各圓環(huán)線的間距也沒有改變，各圓環(huán)線所代表的橫截面都好像是“剛性圓盤”一樣，只是在自己原有的平面內(nèi)繞軸線旋轉了一個角度；（3）各縱向線都傾斜了相同的角度，原來軸上的小方格變成平行四邊形。 圖68 根據(jù)從試驗觀察到的這些現(xiàn)象，可以假設：在變形微小的情況下，軸在扭轉變形時，軸長沒有改變；每個截面都發(fā)生對其它橫截面的相對轉動，但是仍保持為平面，其大小、形狀都不改變。這個假設就是圓軸扭轉時的

9、平面假設（或稱剛性平面假設）。根據(jù)平面假設，可得如下結論：（1）因為各截面的間距均保持不變，故橫截面上沒有正應力；（2）由于各截面繞軸線相對轉過一個角度，即橫截面間發(fā)生了旋轉式的相對錯動，出現(xiàn)了剪切變形，故橫截面上有切應力存在；（3）因半徑長度不變，切應力方向必與半徑垂直；（4）圓心處變形為零，圓軸表面的變形最大。綜上所述，圓軸在扭轉時其橫截面上各點的切應變與該點至截面形心的距離成正比，由剪切胡克定律，橫截面上必有與半徑垂直并呈線性分布的切應力存在（見圖6-9）， 故有。 圖69 扭轉切應力的計算如圖69所示，在圓軸橫截面各微面積上的微剪力對圓心的力矩的總和必須與扭矩相等。因微面積上的微剪力對

10、圓心的力矩為，故整個橫截面上所有微力矩之和為，故有 （6-2）將定義為極慣性矩，則 由此得 （6-3）顯然，當時，；當時，切應力最大。 令，則式（6-3）為 （6-4）其中，抗扭截面系數(shù)。 注意： 式（6-3）及式（6-4）均以平面假設為基礎推導而得，故只能限定圓軸的不超過材料的比例極限時方可應用。 極慣性矩 和抗扭截面系數(shù)1、 實心圓軸截面設圓軸的直徑為,在截面任一半徑處，取寬度為的圓環(huán)作為微元面積。此微元面積,如圖6-10所示。 圖610 根據(jù)極慣性矩的定義 ，得到 抗扭截面系數(shù) （6-5） 2.空心圓軸截面設空心圓軸截面的內(nèi)、外經(jīng)分別為和。微元面積仍為 ，只是積分的下限由0變?yōu)?，于是得?/p>

11、 或寫成 其中為內(nèi)、外徑之比，即抗扭截面系數(shù) （6-6） 圓軸扭轉強度計算為了保證受扭圓軸安全可靠地工作，必須使軸橫截面上的最大切應力不超過材料的許用切應力，即 （6-7）此即圓軸扭轉時的“強度計算準則”，又稱為“扭轉強度條件”。對于等截面圓軸，切應力的最大值由下式確定： 這時最大扭矩作用的截面稱為危險面。對于階梯軸，由于各段軸的抗扭截面系數(shù)不同，最大扭矩作用面不一定是危險面。這時，需要綜合考慮扭矩與抗扭截面系數(shù)的大小，判斷可能產(chǎn)生最大切應力的危險面。所以在進行扭轉強度計算時，必須畫出扭矩圖。根據(jù)扭轉強度條件，可解決以下三類強度問題：（1）扭轉強度校核。已知軸的橫截面尺寸，軸上所受的外力偶矩（

12、或傳遞的功率和轉速），及材料的扭轉許用切應力。校核構件能否安全工作。（2）圓軸截面尺寸設計。已知軸所承受的外力偶矩（或傳遞的功率），以及材料的扭轉許用切應力。圓軸的截面尺寸應滿足 （6-8） (3) 確定圓軸的許可載荷。已知圓軸的截面尺寸和材料的扭轉許用切應力，得到軸所承受的扭矩 （6-9）再根據(jù)軸上外力偶的作用情況，確定軸上所承受的許可載荷（或傳遞功率）。例6-3 已知實心圓軸，承受的最大扭矩為KNm，軸的直徑 mm。求：1）在最大切應力相同的條件下，用空心圓軸代替實心圓軸，當空心軸外經(jīng)=90mm時的內(nèi)徑值;2）兩軸的重量之比。解: （1）求實心軸橫截面上的最大切應力實心軸橫截面上的最大切應

13、力為 =51.3MPa（2）求空心軸的內(nèi)徑因為兩軸的最大切應力相等，故 MPa而 MPa由此解得 =因此，空心軸的內(nèi)徑 mm（3）求兩軸的重量比因為兩軸的長度和材料都相同，故兩者的重量之比等于面積之比，即 可見，在保證最大切應力相同的條件下，空心軸的重量比實心軸輕得多。顯然，采用空心軸能減輕構件的重量、節(jié)省材料，因而更為合理。空心軸的這種優(yōu)點在于圓軸受扭時，橫截面上的切應力沿半徑方向線性分布的特點所決定的。由于圓軸截面中心區(qū)域切應力很小，當截面邊緣上各點的應力達到扭轉許用切應力時，中心區(qū)域各點的切應力卻遠遠小于扭轉許用切應力值。因此，這部分材料沒有得到充分利用。若把軸心附近的材料向邊緣移動，使

14、其成為空心軸，則截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)將會有較大增加，使截面上的切應力分布趨于均勻。并由此而減小最大切應力的數(shù)值，提高圓軸的承載能力。但其加工工藝較復雜，成本較高。6.3 扭轉變形工程設計中，對于承受扭轉變形的圓軸，除了要求足夠的強度外，還要求有足夠的剛度。即要求軸在彈性范圍內(nèi)的扭轉變形不能超過一定的限度。例如，車床結構中的傳動絲杠，其相對扭轉角不能太大，否則將會影響車刀進給動作的準確性，降低加工的精度。又如，發(fā)動機中控制氣門動作的凸輪軸，如果相對扭轉角過大，會影響氣門啟閉時間等等。對某些重要的軸或者傳動精度要求較高的軸，均要進行扭轉變形計算。圓軸扭轉時兩個橫截面相對轉動的角度即為圓軸的

15、扭轉變形，稱為扭轉角。由數(shù)學推導可得扭轉角的計算公式為 （6-10）其中 扭轉角（rad）； 某段軸的扭矩（Nm）； 相應兩橫界面間的距離（m）； 軸材料的切變量模量（GPa）； 橫截面間的極慣性矩（m4）； 式中的反映了材料及軸的截面形狀和尺寸對彈性扭轉變形的影響，稱為圓軸的“抗扭剛度”?？古偠?越大，相對扭轉角就越小。為了消除軸的長度對變形的影響，引入單位長度的扭轉角，并用度/米（0/m）單位表示，則上式為 /m （6-11）不同用途的傳動軸對于值的大小有不同的限制，即。稱為許用單位長度扭轉角（可查有關手冊），對其進行的計算稱為扭轉剛度計算。例6-4 圖示階梯圓軸，已知段直徑75mm,段

16、直徑 mm ；輪輸入功率 KW，輪的輸出功率 KW，軸的轉速為 rpm，軸材料的GPa，MPa，軸的 =20m。1）試求該軸的強度和剛度。2）如果強度和剛度都有富裕，試分析，在不改變 輪輸出功率的前提下，論的輸入功率可以增加到多大？ 圖611 解 1）校核軸的強度和剛度（1）計算外力偶矩 955095501671Nm1.67kNm 95509550716.2 Nm 0.72 kNm 有力偶平衡條件 1.670.7160.95 kNm（2）應用截面法計算各段的扭矩并畫扭矩圖 段 1.67kNm 段 0.72 kNm由此畫出扭矩圖，如6-11圖 所示。（3）計算應力，校核強度。 從扭矩圖看，段扭矩

17、最大；從截面尺寸看，段直徑最小。因而不能直接確定最大切應力發(fā)生在哪一段截面上。比較兩端內(nèi)的最大切應力： 段 MPa 段 MPa全軸內(nèi)橫截面上的最大切應力為： 29.2MPa60MPa。所以，軸的強度滿足要求。 （4）計算扭轉角，校核剛度。 根據(jù)軸的單位長度扭轉角，由于和段的扭矩和截面都不相同，故需分段計算，找出。 段 段 因0.840m=20m。所以軸的剛度滿足要求。2)計算輪的最大輸入功率 因為輪的輸入功率不變，即段的扭矩不變。所以，這段軸的強度和剛度都是安全的， 故只需根據(jù)段的強度和剛度條件確定這段軸所能承受的最大扭矩。而這段軸的扭矩等于作用在輪上的外力偶矩，由此即可求得輪上所能輸入的最大

18、功率。 根據(jù)強度條件 kNm根據(jù)剛度條件 kNm 考慮到既要滿足強度要求又要滿足剛度要求，故取兩者中的較小者，即 4.97 kNm。于是， 輪的輸入功率 小結本章主要介紹了圓軸扭轉的內(nèi)力扭矩的計算和圓軸在力偶作用面垂直于軸線的平衡力偶作用下產(chǎn)生的扭轉變形。（1）作用在軸上的外力偶矩，通過軸所傳遞的功率和軸的轉速求得。它們的關系式為 （2）用截面法求圓軸的內(nèi)力偶矩，利用力系的平衡條件列出方程求解。各截面的內(nèi)力偶矩的方向有右手螺旋法則來確定。然后繪出圓軸扭矩圖。 （3）圓軸扭轉時橫截面上的應力，在圓軸橫截面上任一點的切應力與該點到圓心的距離成正比，在圓心處為零。最大切應力發(fā)生在圓軸邊緣各點處。 距

19、圓心處的切應力 最大切應力 （4）圓軸扭轉時的強度條件為 對于等截面圓軸則有 利用強度條件可以完成強度校核、確定截面尺寸和許用載荷等三類強度計算問題。 （5） 等截面圓軸扭轉時的變形計算公式為 等截面圓軸扭轉時的剛度條件是 /m 復習思考題6-1、解釋外力偶矩和扭矩的區(qū)別和聯(lián)系。6-2、簡述用截面法求扭矩的一般過程。6-3、何謂剛性平面假設?它在剪應力公式推導過程中起何作用?6-4、圓桿扭轉剪應力在截面上如何分布?其最大應力發(fā)生在何處?方向如何確定?6-5、若圓軸上裝有一個主動輪和若干個被動輪，問主動輪在軸上如何布局才合理?6-6、為什么在截面面積相同條件下的空心圓軸的強度優(yōu)于實心圓軸?6-7、有兩根直徑相同的實心軸，其材料不相同，試問其極慣性矩、抗扭截面系數(shù)和剪切彈性模量是否相同?為什么?6-8 圖示一傳動軸，在輪子1、2、3、上所傳遞的功率分別為：=100KW，=40KW，=60KW，軸的轉速=100r/min。試繪制該傳動軸的扭矩圖。（答案： AC段=3.82KNm;CB段=5.73KN.m。）題6-86-9求圖示桿各段的內(nèi)力，并作桿的扭矩圖。（答案：AB段=2 KNm；BD段=10 KNm；DE段=20 KNm。） 題6-96-10