第六章 線性空間

1、第六章 線性空間1 集合映射教學目的：理解集合、映射的意義，掌握它們的性質(zhì)及其分類.教學重點：理解集合、映射的意義.教學難點：概念的應用.教學內(nèi)容：一、集合表示是集合的元素，讀為：屬于.用表示不是集合的元素，讀為：不屬于.所謂給出一個集合就是規(guī)定這個集合是由哪些元素組成的.因此給出一個集合的方式不外兩種，一種是列舉法：列舉出它全部的元素，一種是描述法：給出這個集合的元素所具有的特征性質(zhì).設是具有某些性質(zhì)的全部元素所成的集合，就可寫成.不包含任何元素的集合稱為空集，記作.如果兩個集合與含有完全相同的元素，即當且僅當，那么它們就稱為相等，記為.如果集合的元素全是集合的元素，即由可以推出，那么就稱為

2、的子集合，記為或.兩個集合和如果同時滿足和.，則和相等.設和是兩個集合，既屬于又屬于的全體元素所成的集合稱為與的交，記為.屬于集合或者屬于集合的全體元素所成的集合稱為與的并，記為.二、映射設和是兩個集合，所謂集合到集合的一個映射就是指一個法則，它使中每一個元素都有中一個確定的元素與之對應.如果映射使元素與元素對應，那么就記為,就為在映射下的像，而稱為在映射下的一個原像.到自身的映射，有時也稱為到自身的變換.關于到的映射應注意：1）與可以相同，也可以不同；2）對于中每個元素，需要有中一個唯一確定的元素與它對應；3）一般，中元素不一定都是中元素的像；4）中不相同元素的像可能相同；5）兩個集合之間可

3、以建立多個映射.集合到集合的兩個映射及，若對的每個元素都有則稱它們相等，記作.例1 是全體整數(shù)的集合，是全體偶數(shù)的集合，定義,這是到的一個映射.例2 是數(shù)域上全體級矩陣的集合，定義.這是到的一個映射.例3 是數(shù)域上全體級矩陣的集合，定義.是級單位矩陣，這是到的一個映射.例4 對于,定義這是到自身的一個映射.例5 設，是兩個非空的集合，是中一個固定的元素，定義.這是到的一個映射.例6 設是一個集合，定義.即把的每個元素都映到它自身，稱為集合的恒等映射或單位映射，記為.例7 任意一個定義在全體實數(shù)上的函數(shù)都是實數(shù)集合到自身的映射，因此函數(shù)可以認為是映射的一個特殊情形.對于映射可以定義乘法,設及分別

4、是集合到，到的映射，乘積定義為,即相繼施行和的結果，是到的一個映射.對于集合集合到的任何一個映射顯然都有.映射的乘法適合結合律.設分別是集合到，到，到的映射，映射乘法的結合律就是.設是集合到的一個映射，用代表在映射下像的全體，稱為在映射下的像集合.顯然.如果，映射稱為映上的或滿射.如果在映射下，中不同元素的像也一定不同，即由一定有,那么映射就稱為的或單射.一個映射如果既是單射又是滿射就稱對應或雙射.對于到的雙射可以自然地定義它的逆映射，記為.因為為滿射，所以中每個元素都有原像，又因為是單射，所以每個元素只有一個原像，定義.顯然，是到的一個雙射，并且.不難證明，如果分別是到，到的雙射，那么乘積就

5、是到的一個雙射.2 線性空間的定義與簡單性質(zhì)教學目的：掌握線性空間的定義與簡單性質(zhì)，會判定一個集合是否是線性空間.教學重點：線性空間的定義及簡單性質(zhì).教學難點：判定一個集合是否線性空間.教學內(nèi)容：一、線性空間的定義.例1 在解析幾何里,討論過三維空間中的向量.向量的基本屬性是可以按平行四邊形規(guī)律相加，也可以與實數(shù)作數(shù)量算法.不少幾何和力學對象的性質(zhì)是可以通過向量的這兩種運算來描述的.10 按平行四邊形法則所定義的向量的加法是V3的一個運算;20 解析幾何中規(guī)定的實數(shù)與向量的乘法是RV3到V3的一個運算.30 由知道, 空間上向量的上述兩種運算滿足八條運算規(guī)律.例2. 數(shù)域上一切矩陣所成的集合對

6、于矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法滿足上述規(guī)律.定義1 令是一個非空集合，是一個數(shù)域.在集合的元素之間定義了一種代數(shù)運算，叫做加法；這就是說給出了一個法則，.對于中任意兩個向量與,在中都有唯一的一個元素與它們對應,稱為與的和,記為.在數(shù)域與集合的元素之間還定義了一種運算，叫做數(shù)量乘法；這就是說，對于數(shù)域中任一個數(shù)與中任一個元素,在中都有唯一的一個元素與它們對應,稱為與的數(shù)量乘積,記為.如果加法與數(shù)量乘法滿足下述規(guī)則，那么稱為數(shù)域上的線性空間.加法滿足下面四條規(guī)則：:1) ；2) ；3) 在中有一個元素0,都有（具有這個性質(zhì)的元素0稱為的零元素）；4) (稱為的負元素).數(shù)量乘法滿足下面兩條規(guī)則：5)

7、 ;6) ;數(shù)量乘法與加法滿足下面兩條規(guī)則：7) ;8) 在以上規(guī)則中，等表示數(shù)域中任意數(shù)；等表示集合中任意元素. 例3 數(shù)域上一元多項式環(huán),按通常的多項式加法和數(shù)與多項式的乘法，構成一個數(shù)域上的線性空間.如果只考慮其中次數(shù)小于的多項式，再添上零多項式也構成數(shù)域上的一個線性空間，用表示.例4 元素屬于數(shù)域的矩陣，按矩陣的加法和數(shù)與矩陣的數(shù)量乘法，構成數(shù)域上的一個線性空間，用表示.例5 全體實函數(shù)，按函數(shù)加法和數(shù)與函數(shù)的數(shù)量乘法，構成一個實數(shù)域上的線性空間.例6數(shù)域按照本身的加法與乘法，即構成一個自身上的線性空間.例7 以下集合對于所指定的運算是否作成實數(shù)域上的線性空間:1) 平面上全體向量所作

8、成的集合,對于通常向量的加法和如下定義的純量乘法:.2) 上次多項式的全體所作成的集合對于多項式的加法和數(shù)與多項式的乘法.例8 設是正實數(shù)集, 為實數(shù)域.規(guī)定(即與的積),=(即的次冪),其中.則對于加法和數(shù)乘作成上的線性空間. 二 線性空間的簡單性質(zhì)代表線性空間中的元素，用小寫拉丁字母代表數(shù)域中的數(shù).1.零元素是唯一的.2.負元素是唯一的.3.4.如果,那么或者. 3 維數(shù)基與坐標教學目的：掌握向量線性相關性的有關定義及性質(zhì)，理解線性空間的維數(shù)、基于坐標的定義，會求線性空間的基、維數(shù)于坐標 .教學重點：線性空間的基、維數(shù)與坐標.教學難點：求線性空間的基、維數(shù)與坐標.教學內(nèi)容：一、向量的線性相

9、關與線性無關定義2 設是數(shù)域上的一個線性空間，是一組向量,是數(shù)域中的數(shù)，那么向量稱為向量組的一個線性組合，有時也說向量可以用向量組線性表出.定義3 設; (1) (2)是中兩個向量組，如果（1）中每個向量都可以用向量組（2）線性表出，那么稱向量（1）可以用向量組（2）線性表出.如果（1）與（2）可以互相線性表出，那么向量組（1）與（2）稱為等價的.定義4 線性空間中向量稱為線性相關，如果在數(shù)域中有個不全為零的數(shù)，使. (3)如果向量不線性相關，就稱為線性無關.換句話說，向量組稱為線性無關，如果等式（3）只有在時才成立.幾個常用的結論：1. 單個向量線性相關的充要條件是.兩個以上的向量線性相關的

10、充要條件是其中有一個向量是其余向量的線性組合.2. 如果向量組線性無關，而且可以被線性表出，那么.由此推出，兩個等價的線性無關的向量組，必含有相同個數(shù)的向量.3. 如果向量組線性無關，但線性相關，那么可以由被線性表出，而且表示法是唯一的.在一個線性空間中究竟最多能有幾個線性無關的向量，顯然是線性空間的一個重要屬性.定義5 如果在線性空間中有個線性無關的向量，但是沒有更多數(shù)目的線性無關的向量，那么就稱為維的；如果在中可以找到任意多個線性無關的向量，那么就稱為無限維的.定義6 在維線性空間中，個線性無關的向量稱為的一組基.設是中任一向量，于是線性相關，因此可以被基線性表出：.其中系數(shù)是被向量和基唯

11、一確定的，這組數(shù)就稱為在基下的坐標，記為.由以上定義看來，在給出空間的一組基之前，必須先確定的維數(shù).定理1 如果在線性空間中有個線性無關的向量，且中任一向量都可以用它們線性表出，那么是維的，而就是的一組基.例1 在線性空間中，是個線性無關的向量，而且每一個次數(shù)小于的數(shù)域上的多項式都可以被它們線性表出，所以是維的，而就是它的一組基.例2 在維的空間中，顯然是一組基.對于每一個向量,都有.所以就是向量在這組基下的坐標.例3 如果把復數(shù)域看作是自身上的線性空間，那么它是一維的，數(shù)1就是一組作是實數(shù)域上的線性空間，那么就是二維的，數(shù)1與就是一組基.這個例子告訴我們，維數(shù)是和所考慮的數(shù)域有關的.4 基變

12、換與坐標變換教學目的：了解過渡矩陣的定義與性質(zhì)，掌握向量在不同基下的坐標變換公式.教學重點：過渡矩陣的性質(zhì)及坐標變換公式.教學難點：上述理論的應用 .教學內(nèi)容：在維線性空間中，任意個線性無關的向量都可以取作空間的基.對于不同的基，同一個向量的坐標一般是不同的.隨著基的改變，向量的坐標是怎樣變化的.設與是維線性空間中兩組基，它們的關系是 (1)設向量在這兩組基下的坐標分別是與，即 (2)現(xiàn)在的問題就是找出與的關系.首先指出，(1)中各式的系數(shù)實際上就是第二組基向量在第一組基下的坐標.向量的線性無關性就保證了(1)中系數(shù)矩陣的行列式不為零.換句話說，這個矩陣是可逆的.為了寫起來方便，引入一種形式的

13、寫法.把向量寫成, (3)也就是把基寫成一個矩陣，把向量的坐標寫成一個矩陣，而把向量看作是這兩個矩陣的乘積.所以說這種寫法是”形式的”，在于這里是以向量作為矩陣的元素，一般說來沒有意義.不過在這個特殊的情況下，這種約定的用法是不會出毛病的.相仿地，(1)可以寫成. (4)矩陣稱為由基到的過渡矩陣，它是可逆的.在利用形式寫法來作計算之前，首先指出這種寫法所具有的一些運算規(guī)律.設和是中兩個向量組，是兩個矩陣，那么現(xiàn)在回到本節(jié)所要解決的問題上來.由(2)有.用(4)代入，得.與(3)比較，由基向量的線性無關性，得, (5)或者. (6)(5)與(6)給出了在基變換(4)下，向量的坐標變換公式.例1

14、在3例2 中有就是過渡矩陣.不難得出.因此也就是.與3所得出的結果是一致的.例2 取的兩個彼此正交的單位向量它們作成的一個基.令分別是由旋轉角所得的向量，則也是的一個基，有所以到的過渡矩陣是.設的一個向量關于基和的坐標分別為與().于是由(5)得即這正是平面解析幾何里，旋轉坐標軸的坐標變換公式.5 線性子空間教學目的：理解線性子空間及生成子空間的定義，會求線性空間的子空間及生成子空間.教學重點：子空間及生成子空間.教學難點：判定線性空間的子集合是否子空間.教學內(nèi)容：一、線性子空間的概念定義7 數(shù)域上的線性空間的一個非空子集合稱為的一個線性子空間（或簡稱子空間），如果對于的兩種運算也構成數(shù)域上的

15、線性空間. 定理2 如果線性空間的一個非空集合對于兩種運算是封閉的，也就是滿足上面的條件1，2，那么就是一個子空間.例1 在線性空間中，由單個的零向量所組成的子集合是一個線性子空間，它叫做零子空間.例2 線性空間本身也是的一個子空間.在線性空間中，零子空間和線性空間本身這兩個子空間有時叫做的平凡子空間，而其它的線性子空間叫做非平凡子空間.例3 在全體實函數(shù)組成的空間中，所有的實系數(shù)多項式組成一個子空間.例4 是線性空間的子空間.例5 在線性空間中，齊次線性方程組的全部解向量組成一個子空間，這個子空間叫做齊次線性方程組的解空間.解空間的基就是方程組的基礎解系，它的維數(shù)等于，其中為系數(shù)矩陣的秩.二

16、、生成子空間設是線性空間中一組向量，這組向量所有可能的線性組合所成的集合是非空的，而且對兩種運算封閉，因而是的一個子空間，這個子空間叫做由生成的子空間，記為.由子空間的定義可知，如果的一個子空間包含向量，那么就一定包含它們所有的線性組合，也就是說，一定包含作為子空間.在有限維線性空間中，任何一個子空間都可以這樣得到.事實上，設是的一個子空間，當然也是有限維的.設是的一組基，就有.定理3 1)兩個向量組生成相同子空間的充要條件是這兩個向量組等價.2）的維數(shù)等于向量組的秩.定理4 設是數(shù)域上維線性空間的一個維子空間，是的一組基，那么這組向量必可擴充為整個空間的基.也就是說，在中必定可以找到個向量使

17、得是的一組基. 結論 數(shù)域上線性空間的一個非空子集是的一個子空間.6子空間的交與和教學目的：理解子空間的交與和的意義，掌握交與和子空間的性質(zhì)，掌握維數(shù)公式 .教學重點：子空間的交與和，維數(shù)公式.教學難點：維數(shù)公式的應用.教學內(nèi)容：定理5 如果,是線性空間的兩個子空間，那么它們的交也是的子空間.由集合的交的定義有，子空間的交適合下列運算規(guī)律：(交換律)，（結合律）.由結合律，可以定義多個子空間的交：,它也是子空間.定義8 設,是線性空間的子空間，所謂與的和，是指由所有能表示成,而的向量組成的子集合，記作.定理6 如果,是線性空間的子空間，那么它們的和也是的子空間.由定義有，子空間的和適合下列運算

18、規(guī)律：(交換律)，（結合律）.由結合律，可以定義多個子空間的和.它是由所有表示成的向量組成的子空間.關于子空間的交與和有以下結論：1. 設都是子空間，那么由與可推出；而由與可推出.2. 對于子空間與，以下三個論斷是等價的：1）2) ;3).例1 在三維幾何中用表示一條通過原點的直線，表示一張通過原點而且與垂直的平面，那么，與的交是，而與的和是整個空間.例2 在線性空間中，用與分別表示齊次方程組與的解空間，那么就是齊次方程組的解空間.例3 在一個線性空間中，有 .關于兩個子空間的交與和的維數(shù)，有以下定理.定理7（維數(shù)公式）如果，是線性空間的兩個子空間，那么維（）+維（）=維（）+維（）.從維數(shù)公

19、式可以看到，和的維數(shù)往往要比維數(shù)的和來得小.推論 如果維線性空間中兩個子空間，的維數(shù)之和大于，那么，必含有非零的公共向量.7 子空間的直和教學目的：理解子空間直和的意義，掌握直和的性質(zhì).教學重點：子空間直和的意義及性質(zhì).教學難點：對直和概念的理解及應用 .教學內(nèi)容：定義9 設是線性空間的子空間，如果和中每個向量的分解式是唯一的，這個和就稱為直和，記為.定理8 和是直和的充要條件是等式只有在全為零時才成立.推論 和是直和.定理9 設是線性空間的子空間，令，則維()=維()+維().定理10 設是線性空間的一個子空間，那么一定存在一個子空間使.子空間的直和的概念可以推廣到多個子空間的情形.定義10

20、 設都是線性空間的子空間，如果和中每個向量的分解式是唯一的，這個和就稱為直和，記為.定理11 是線性空間的一些子空間，下面這些條件是等價的：1）是直和；2）零向量的表法唯一；3）;4）維()=.8 線性空間的同構教學目的：掌握線性空間同構的意義及性質(zhì).教學重點：線性空間同構的意義及性質(zhì).教學難點：同構的應用.教學內(nèi)容：設是線性空間的一組基，在這組基下，中每個向量都有確定的坐標，而向量的坐標可以看成元素，因此向量與它的坐標之間的對應實質(zhì)上就是到的一個映射.顯然這個映射是單射與滿射，換句話說，坐標給出了線性空間與,而向量的坐標分別是,，那么;.于是向量的坐標分別是,.以上的式子說明在向量用坐標表示

21、之后，它們的運算就可以歸結為它們坐標的運算.因而線性空間的討論也就可以歸結為的討論.定義11 數(shù)域上兩個線性空間與稱為同構的，如果由到有一個雙射，具有以下性質(zhì)：1）;2) 其中是中任意向量，是中任意數(shù).這樣的映射稱為同構映射.前面的討論說明在維線性空間中取定一組基后，向量與它的坐標之間的對應就是到的一個同構映射.因而，數(shù)域上任一個維線性空間都與同構.由定義可以看出，同構映射具有下列性質(zhì)：1. .2. .3. 中向量組線性相關它們的象線性相關.因為維數(shù)就是空間中線性無關向量的最大個數(shù)，所以由同構映射的性質(zhì)可以推知，同構的線性空間有相同的維數(shù).4. 如果是的一個線性子空間，那么，在下的象集合是的子

22、空間，并且與維數(shù)相同.5. 同構映射的逆映射以及兩個同構映射的乘積還是同構映射.同構作為線性空間之間的一種關系，具有反身性、對稱性與傳遞性.既然數(shù)域上任意一個維線性空間都與同構，由同構的對稱性與傳遞性即得，數(shù)域上任意兩個維線性空間都同構.定理12 數(shù)域上兩個有限維線性空間同構的充要條件是它們有相同的維數(shù).由線性空間的抽象討論中，并沒有考慮線性空間的元素是什么，也沒有考慮其中運算是怎樣定義的，而只涉及線性空間在所定義的運算下的代數(shù)性質(zhì).從這個觀點看來，同構的線性空間是可以不加區(qū)別的.因之，定理12說明了，維數(shù)是有限維線性空間的唯一的本質(zhì)特征.第六章、線性空間(小結)線性空間是線性代數(shù)的中心內(nèi)容，是幾何空間的抽象和推廣，線性空間的概念具體展示了代數(shù)理論的抽象性和應用的廣泛性.一、線性空間1. 線性空間的概念2. 線性間的性質(zhì)(1) 線性空間的零元，每個元素的負元都是唯一的；(2) ;.二、基、維數(shù)和坐標1基本概念：線性表示（組合）；向量組等價；線性相關（無關）；基、維數(shù)和坐標；過渡矩陣.2基