概率統(tǒng)計(jì)——第二章

1、隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 問(wèn)題：為什么引入隨機(jī)變量？將隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量化！將隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量化！實(shí)例 1 拋擲骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXXS=1，2，3，4，5，6樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換恒等變換eeX )(我們用e代表樣本空間的元素，將樣本空間簡(jiǎn)記成S=e。實(shí)例 2 拋一枚均勻硬幣，觀察出現(xiàn)正面 H 和反面 T 的情況。S=正面正面、反面反面 非數(shù)量非數(shù)量將將 S 數(shù)量化數(shù)量化 ?S正面正面反面反面)(eX10以 X

2、記三次投擲得到正面 H 的總數(shù)，那么注：隨機(jī)變量X=X(e)不一定是單射,具體如何定義要看隨機(jī)試驗(yàn)的目的.一次隨機(jī)試驗(yàn)中,可定義不同的隨機(jī)變量.例 2.1.2某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過(guò), 假設(shè)某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，若要考察其候車時(shí)間，定義合適的隨機(jī)變量。定定義隨機(jī)變量義隨機(jī)變量X, 表示此人的候車時(shí)間表示此人的候車時(shí)間. 顯然顯然, 0X5.離散型非離散型連續(xù)型其它隨機(jī)變量隨機(jī)變量(1)(1)離散型離散型 隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個(gè)或可列 個(gè), 叫做離散型隨機(jī)變量。(2)(2)連續(xù)型連續(xù)型 隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間，叫做連續(xù)型隨機(jī)變量。例 2.1.3

3、若隨機(jī)變量X記為 “連續(xù)射擊, 直至命中時(shí)的射擊次數(shù)”, 則X的可能值是: 例 2.1.4設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了30次,則隨機(jī)變量 X 記為“擊中目標(biāo)的次數(shù)”,則X的可能值是: 例 2.1.5隨機(jī)變量X為“燈泡的壽命”，則X的取值范圍是： 對(duì)隨機(jī)變量，不僅要知道它取什么值，還要知道它取這些值的概率！隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量的分布律常見(jiàn)的幾種離散型隨機(jī)變量的概率分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布超幾何分布幾何分布一、離散型隨機(jī)變量的分布律一、離散型隨機(jī)變量的分布律;, 2 , 1, 0)1( kpk. 1)2(1 kkp nnpppxxxX212

4、1Xkpnxxx21nppp21 離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為：離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為：例 2.2.1設(shè)汽車開(kāi)往目的地途中經(jīng)過(guò)4組信號(hào)燈，每組信號(hào)燈以p=0.5的概率禁止汽車通過(guò)。以X表示汽車首次停下時(shí)，已經(jīng)通過(guò)的信號(hào)燈組數(shù)，求X的分布律。kpX43210ppp)1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p Xkp432105 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0二、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布二、常見(jiàn)離散型隨機(jī)變量的概率分布1.1.兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布注：兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布,可用來(lái)描述任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是女

5、、明天是否下雨、某次試驗(yàn)中關(guān)心的事件A是否發(fā)生等。 Xkp0p 11p若隨機(jī)變量X只能取 0 和 1 兩個(gè)值，它的分布律為：則稱X服從以p 為參數(shù)的(0-1)(0-1)分布分布或兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布。例 2.2.2200件產(chǎn)品中,有190件合格品,10件不合格品,現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，檢驗(yàn)是否合格。 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品,取得合格品取得合格品.隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 服從服從(0 1)分布分布.Xkp01200190200102.2. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布定義定義 2.2.22.2.2（重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)）（重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)）將將試驗(yàn)試驗(yàn) E E 重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行 n n 次次，若若各次試驗(yàn)的結(jié)果

6、各次試驗(yàn)的結(jié)果互不互不影響影響 ，即即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它其它各次試驗(yàn)的各次試驗(yàn)的結(jié)果結(jié)果，則則稱這稱這 n n 次試驗(yàn)是相互次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的獨(dú)立的，或或稱為稱為 n n 次重復(fù)次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)獨(dú)立試驗(yàn)。 n重伯努利試驗(yàn)中，以 X 記事件A出現(xiàn)的次數(shù) 事件A出現(xiàn)k次的概率？ 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAA 次次1 knAAAAAqnknknnkpqpknpqnqpnkX 1110X X的分布律：的分布律：二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布1 n兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布例 2.2.3已知某一大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0.2，現(xiàn)從中抽取20件，求其中恰有 k 件一

7、級(jí)品的概率，其中 k=0,1,20.X：其中包含一級(jí)品的件數(shù).20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002. 010 XP時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)11,001. 0 kkXP 二項(xiàng)分布的圖形例 2.2.4（最可能成功次數(shù)）設(shè)每顆子彈打中飛機(jī)的概率為0.01，問(wèn)在500發(fā)中打中飛機(jī)的最可能次數(shù)是多少？求其相應(yīng)的概率。例 2.2.5保險(xiǎn)業(yè)是最早使用概率論的行業(yè)。保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的

8、利潤(rùn)，需要計(jì)算各種各樣的概率，下面是典型問(wèn)題之一。若一年中某類保險(xiǎn)者中每個(gè)人死亡的概率為0.005，現(xiàn)有一萬(wàn)人參加這類保險(xiǎn)，試求未來(lái)一年中在這些投保者里面，（1）有40個(gè)人死亡的概率；（2）死亡人數(shù)不超過(guò)70個(gè)人的概率。二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布)(nnp n太大，實(shí)際計(jì)算困難3.3. 泊松泊松分布分布l 泊松分布的背景及應(yīng)用泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出與分析放射性物質(zhì)放出的的 粒子粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí)個(gè)數(shù)的情況時(shí), ,他他們做了們做了2608次觀察次觀察( (每次時(shí)間為每次時(shí)間為7.5秒秒) )發(fā)現(xiàn)放

9、射發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi), , 其放射的粒子數(shù)其放射的粒子數(shù)X 服從泊松分布服從泊松分布. . 在生物學(xué)在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中公用事業(yè)的排隊(duì)等問(wèn)題中 , 泊松分布是常見(jiàn)的泊松分布是常見(jiàn)的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚話呼喚次數(shù)、交通事故次數(shù)等次數(shù)、交通事故次數(shù)等, 都服從泊松分布都服從泊松分布.單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停ESCESC鍵退出鍵退出二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布)(nnp 例 2.2.7(用泊松分布近似二項(xiàng)分布)某公

10、司生產(chǎn)一種產(chǎn)品300件。根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知該種產(chǎn)品的廢品率為0.01，問(wèn)這300件產(chǎn)品中廢品數(shù)大于5的概率是多少？4.4. 超超幾何分布幾何分布次品率次品率5.5. 幾何幾何分布分布例 2.2.8某人要開(kāi)門，他共有n把鑰匙，其中僅有一把可以開(kāi)門。他每次隨機(jī)選取一把鑰匙開(kāi)門，失敗后放回。問(wèn)此人在第s次試開(kāi)時(shí)成功的概率多大？每次開(kāi)門是一次伯努利試驗(yàn)，用 X 表示成功開(kāi)門時(shí)的試開(kāi)次數(shù)，那么21xXxP 12xXPxXP ?)(2xF)(1xF分布分布函數(shù)函數(shù) 21xXxP ).()(12xFxF 實(shí)例實(shí)例 拋擲均勻硬幣拋擲均勻硬幣, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量

11、 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù).解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;0 0)( xXPxF 0 1x,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP;21 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 0,0,1( ),01,21,1.xF xxxxoxo ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxFxo)(xF 1x 2x 1p 2p 1右連續(xù)818383813210pX0, 0,1 8, 01,( )4 8, 12,7 8, 23,1, 3.xxF xxxx xxkkpxXPxF)(分布函數(shù)分布函數(shù)分布律分布律kkxXPp 思考：思考：不同的

12、不同的隨機(jī)變量，它們隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)一定也不相同的分布函數(shù)一定也不相同嗎？嗎？ . 1, 1; 11,21; 1, 0)(xxxxF ., 1;, 1., 1;, 121出反面出反面出正面出正面出反面出反面出正面出正面XX注注: 不同的隨機(jī)變量可以服從相同的分布不同的隨機(jī)變量可以服從相同的分布; 隨機(jī)變量隨機(jī)變量的分布類型由分布函數(shù)決定的分布類型由分布函數(shù)決定.例 2.3.2（連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)）一個(gè)靶子是半徑為2m的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并且所有射擊都能中靶。若以X表示彈著點(diǎn)與圓心的距離，試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。2m?xX(x)PF注：這

13、里的隨機(jī)變量注：這里的隨機(jī)變量X取值范取值范圍圍 是是0,2,屬于連續(xù)型隨機(jī)變量。屬于連續(xù)型隨機(jī)變量。F(x)圖形圖形為一連續(xù)曲線為一連續(xù)曲線X 的分布函數(shù)的分布函數(shù)為為： . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF.d)()(ttfxFx 則則 ., 0, 20,2)(其它其它若記若記tttf概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)的定義與性質(zhì)幾種常見(jiàn)的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布l概率密度的性質(zhì)：概率密度的性質(zhì)：xo)(xf1d)( xxfSxxfSxxd)(211 11S2x 1x .271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxx

14、kxxfX求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求確定常數(shù)確定常數(shù)其它其它具有概率密度具有概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量設(shè)設(shè)例 2.4.1.)3(;2)2(;,)1(:., 1,arcsin, 0)(的概率密度的概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量的值的值系數(shù)系數(shù)求求的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量XaXaPBAaxaxaaxBAaxxFX 例 2.4.2x)(xf a b注：X的分布函數(shù)是xo)(xF a b 1注：“均勻”的含義 若XU(a,b)，則X落在(a,b)子區(qū)間的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度，而與子區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。幾何概型的等可能性幾何概型的等可能性例 2.4.3設(shè)KU(0,5)，求方程有

15、實(shí)根的概率。02442KxKx35P 解： 有實(shí)根的充要條件：K-1或K2； 根據(jù)均勻分布的概率密度求PK -1和PK2。- /-01(x)0(x)dx1xffedx且注：注：分布函數(shù)1 e,0,( )0, 0.x xF xx 通常用指數(shù)分布來(lái)作為各種“壽命”分布的近似。例如無(wú)線電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)的服務(wù)時(shí)間等都常假定服從指數(shù)分布。應(yīng)用與應(yīng)用與背景背景u指數(shù)分布的無(wú)記憶性指數(shù)分布的無(wú)記憶性注：指數(shù)分布是唯一具有“無(wú)記憶性”的連續(xù)型分布。22(x-)-2-1(x)dxedx2f注：2t-2-1edt12令t=(x-)/u正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征

16、;)1(對(duì)對(duì)稱稱曲曲線線關(guān)關(guān)于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ;0)(,)3( xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);)4(處處有有拐拐點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線在在x ;,)(,)6(軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形狀不變的大小時(shí)的大小時(shí)改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xxf;)5(軸軸為為漸漸近近線線曲曲線線以以 x.,)(,)7(圖圖形形越越矮矮越越胖胖越越大大圖圖形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形狀狀在在改改變變不不變變圖圖形形的的對(duì)對(duì)稱稱軸軸的的大大小小時(shí)時(shí)改改變變當(dāng)當(dāng)固固定定xfu正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)txFxtde21)(222)( 正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重

17、要的一種正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布，例如分布，例如測(cè)量誤差，人的身高測(cè)量誤差，人的身高、體重，測(cè)量誤差，海洋波浪體重，測(cè)量誤差，海洋波浪的高度，農(nóng)作物的收獲量，工廠產(chǎn)品的尺寸：直徑的高度，農(nóng)作物的收獲量，工廠產(chǎn)品的尺寸：直徑、長(zhǎng)度、長(zhǎng)度、重量、高度重量、高度等都近似服從正態(tài)分布等都近似服從正態(tài)分布. .u正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 另外，有些另外，有些分布分布( (如二項(xiàng)分布、泊松分布如二項(xiàng)分布、泊松分布) )的的極極限限分布是分布是正態(tài)分布。正態(tài)分布。二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換二項(xiàng)分布向正態(tài)分布的轉(zhuǎn)換u正態(tài)分布下的概率計(jì)算正態(tài)分布下的概率計(jì)算txFxtde21)(222)(

18、 xXP ? 被積被積函數(shù)函數(shù)不是不是初等函數(shù)初等函數(shù)方法一方法一:利用利用MATLAB軟件包軟件包計(jì)算計(jì)算方法二方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算,de21)(,e21)(2222xtxtxxx-x-附表2標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量例 2.4.4（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下概率計(jì)算）設(shè)XN(0,1)，計(jì)算P1X2, P-1X1, PX-1.24。解：P1X2=(2)-(1)=0.9772-0.8413=0.3159;P-1X1=(1)-(-1)=2(1)-1=0.6826;PX-1.24=(-1.24)=1-(1.24)=1-0.8925=0.1075.例 2.4.5（一般正態(tài)分布下概率計(jì)算）設(shè)XN(,2)，求PaXb。解：)-a(-)-b(重要關(guān)系式重要關(guān)系式例 2.4.