西安郵電大學矩陣論期末真題試題4

1、西安郵電大學研究生課程考試試題第9頁共5頁西安郵電大學研究生課程考試試題(一 學年第一學期)課程名稱矩陣論B卷專業(yè)年級考試時間(分鐘)120分鐘一、計算題1設4維線性空間V的兩組基()：e1,e2,e3, 34和()：1(2,1, 1,1), 2(0,3,1,0), 3(5,3,2,1), 4(6,6,1,3)求(1)由基()到基()的過渡矩陣C(2)元素(X1, X2, X3 ,x4)在基()下的坐標(10分)2已知R3的線性變換T(X1,X2,X3)(0, X1,X2),求T2的值域與核的基與維數(shù)(10分)1 i3 已知A i 0i 1i1，求 |A|m1,Mlm ,Mf,|A1,M2,|

2、A0（12 分）4 已知A031042,求A的QR分解.（12分）2125 應用Gerschgori n定理FB離A0 111 3 1的特征值，并根據實矩陣特征值的性質改1 1 10進所得出的結果.(12分)12 211 111 ,求 A2 112（12 分）、證明題1已知忖m是Cnn上的矩陣范數(shù),S是n階可逆矩陣，對于任意A Cnn,規(guī)定IIA |s 1AS|m,證明I?是Cnn上的一種矩陣范數(shù)。(12分)2設A,B都是正定矩陣，證明AB的特征值都大于零.（12分）3設 A Cmn,證明 A O AHA O.（8 分）西安郵電大學研究生課程考試試題標準答案及評分標準（ 一學年第一學期）課程名

3、稱矩陣論B卷專業(yè)年級考試時間（分鐘）120分鐘、計算題1 (1)1 2e1e2 e3 e4，2 3e2 備,5e13e22e3 e4, 4 6e16e2 e3 3e4(3分)于是由基（）到基（）的過渡矩陣為C2111031053216613(2分)(2分)（2）元素（X1, X2, X3,X4）在基（）下的坐標為(3分)元素（X1, X2,X3,X4）在基（）下的坐標為2 解：由 T (xi,x2,x3) T (T (x1 , x2, X3 ) T(0,Xi,X2)(0,0, Xi)(2分)可得 R(T2)(0,0,x)x RN(T2)(0,X2,X3)X2,X3 R(4分)因此，dim R(

4、T2)1, R（T2）的一個基為(0,0,1)(2分)_ 2 dim N(T2)2, N（T2）的一個基為(0,1,0),(0,0,1)(2分)3解:AAH32i2i2i212i12AAH2(1)( 2 61)(4分)Am1AmAf(4分)A14解:C10,S1,3 22(4分)(2分)(3分)T13Ac245,s2(2分)0453502545T23T13A（3分）故A QR（T13TT23T）R34450J 535 0（2分）5解：A的3個蓋爾圓為:Gi：2,G2：3 2, G3 :10 2（3分）5. 一選取 D diag（1,1,），則 B21DAD 1B的3個蓋爾圓為：Gi :5,巳:

5、2525，10（2分）而G1 ,G2,G3都是孤立蓋爾圓，因此在蓋爾圓因為A為實矩陣,在區(qū)間:1.4,1.4 ,6 解：A FGA GH（GGH ）二、證明題1 證：（1）|o|-,G3 :5若A有復特征值則必共腕出現(xiàn)，因此1.6,4.4 , 8,1210 5（3分）G3中各有A的一個特征值（1分）A的三個特征值都為實數(shù)，分別中各有A的一個特征值（3分）21 010 111（FHF） 1FHS1OS kA S1（kA）S1224774（6分）11117447（6分）時，S 1AS O 得 IIAI I S 1ASI0 （3 分）（3分） 1A B| 1s 1(A B)S| m 11s 1Asi

6、m |S 1BS(3分)(4) |AB| |S 1(AB)SSASEBS' S1ASmS1BSm(3分)A|是Cnn上的矩陣范數(shù)2證:A是正定矩陣則存在酉矩陣U使得U H AU diag （A Udiag( 1, 2, n)U HUdiag(.,.n) diag(. 1 ,. 2, , n) U HPHP這里diag( 1,. 2,(3分)同理,B Vdiag( 1, 2,n)VHVdiag( 1, . 2, . n)diag(.,.n)VHQHQ這里QH diag( 1, 2, . n) V(3分)因此AB PH PQHQ Q 1(PQH )H(PQH)Q ,表明 AB 與(PQH )H (PQ H )相似(3分)而（PQH ）H（PQH ）為正定矩陣，故AB的特征值都大于零3證：:設A:顯然(a