數(shù)學教案－圓和圓的位置關系

1、數(shù)學教案圓和圓的位置關系1、教材分析 （1）知識結(jié)構(gòu) （2）重點、難點分析 重點：兩圓的位置關系和兩圓相交、相切的性質(zhì)它們是本節(jié)的主要內(nèi)容，是圓的重要概念性知識，也是今后研究圓與圓問題的基礎知識 難點：兩圓位置關系的判定與相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦的性質(zhì)的運用由于兩圓位置關系有5種類型，特別是相離有外離和內(nèi)含，相切有外切和內(nèi)切，學生容易遺漏；而在相交圓的性質(zhì)應用中，學生容易把“相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線”看成是真命題 2、教法建議 本節(jié)內(nèi)容需要兩個課時第一課時主要研究圓和圓的位置關系；第二課時相交兩圓的性質(zhì) （1）把課堂活動設計的重點放在如何調(diào)動學生的主體，讓學生觀察、分析

2、、歸納概括，主動獲得知識； （2）要重視圓的對稱美的教學，組織學生欣賞，在激發(fā)學生的學習興趣中，獲得知識，提高能力； （3）在教學中，以分類思想為指導，以數(shù)形結(jié)合為方法，貫串整個教學過程第一課時 圓和圓的位置關系 教學目標： 1掌握圓與圓的五種位置關系的定義、性質(zhì)及判定方法；兩圓連心線的性質(zhì)； 2通過兩圓的位置關系，培養(yǎng)學生的分類能力和數(shù)形結(jié)合能力； 3通過演示兩圓的位置關系，培養(yǎng)學生用運動變化的觀點來分析和發(fā)現(xiàn)問題的能力 教學重點： 兩圓的五種位置與兩圓的半徑、圓心距的數(shù)量之間的關系 教學難點： 兩圓位置關系及判定 （一）復習、引出問題 1復習：直線和圓有幾種位置關系?各是怎樣定義的? （教

3、師主導，學生回憶、回答）直線和圓有三種位置關系，即直線和圓相離、相切、相交各種位置關系是通過直線與圓的公共點的個數(shù)來定義的 2引出問題：平面內(nèi)兩個圓，它們作相對運動，將會產(chǎn)生什么樣的位置關系呢? （二）觀察、分類，得出概念 1、讓學生觀察、分析、比較，分別得出兩圓：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含(包括同心圓)這五種位置關系，準確給出描述性定義： (1)外離：兩個圓沒有公共點，并且每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外離(圖(1) (2)外切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切這個唯一的公共點叫做切點(圖(2)(3)相交：兩個

4、圓有兩個公共點，此時叫做這兩個圓相交(圖(3) (4)內(nèi)切：兩個圓有唯一的公共點，并且除了這個公共點以外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切這個唯一的公共點叫做切點(圖(4) (5)內(nèi)含：兩個圓沒有公共點，并且一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)含(圖(5)兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一個特例 (圖(6) 2、歸納： (1)兩圓外離與內(nèi)含時，兩圓都無公共點 (2)兩圓外切和內(nèi)切統(tǒng)稱兩圓相切，即外切和內(nèi)切的共性是公共點的個數(shù)唯一 (3)兩圓位置關系的五種情況也可歸納為三類：相離(外離和內(nèi)含)；相交；相切(外切和內(nèi)切) 教師組織學生歸納，并進一步考慮：從兩圓的公共點的個數(shù)考慮，

5、無公共點則相離；有一個公共點則相切；有兩個公共點則相交除以上關系外，還有其它關系嗎?可能不可能有三個公共點? 結(jié)論：在同一平面內(nèi)任意兩圓只存在以上五種位置關系 （三）分析、研究 1、相切兩圓的性質(zhì) 讓學生觀察連心線與切點的關系，分析、研究，得到相切兩圓的連心線的性質(zhì)： 如果兩個圓相切，那么切點一定在連心線上 這個性質(zhì)由圓的軸對稱性得到，有興趣的同學課下可以考慮如何對這一性質(zhì)進行證明 2、兩圓位置關系的數(shù)量特征 設兩圓半徑分別為R和r圓心距為d，組織學生研究兩圓的五種位置關系，r和d之間有何數(shù)量關系（圖形略） 兩圓外切 dR+r； 兩圓內(nèi)切 dR-r (Rr); 兩圓外離 dR+r； 兩圓內(nèi)含

6、dR-r(Rr); 兩圓相交 R-rdR+r 說明：注重“數(shù)形結(jié)合”思想的教學 （四）應用、練習 例1： 如圖，O的半徑為5厘米，點P是O外一點，OP=8厘米 求：(1)以P為圓心作P與O外切，小圓P的半徑是多少? (2)以P為圓心作P與O內(nèi)切，大圓P的半徑是多少? 解：（1）設P與O外切與點A，則 PA=PO-OA PA=3cm （2）設P與O內(nèi)切與點B，則 PB=PO+OB PB=1 3cm 例2：已知：如圖，ABC中，C90°，AC12，BC8，以AC為直徑作O，以B為圓心，4為半徑作 求證：O與B相外切 證明：連結(jié)BO，AC為O的直徑，AC12， O的半徑 ，且O是AC的中點

7、 ，C=90°且BC=8， ， O的半徑 ，B的半徑 ， BO=，O與B相外切 練習(P138) （五）小結(jié) 知識：兩圓的五種位置關系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含； 以及這五種位置關系下圓心距和兩圓半徑的數(shù)量關系； 兩圓相切時切點在連心線上的性質(zhì) 能力：觀察、分析、分類、數(shù)形結(jié)合等能力 思想方法：分類思想、數(shù)形結(jié)合思想 （六）作業(yè) 教材P151中習題A組2，3，4題第二課時 相交兩圓的性質(zhì) 教學目標 1、掌握相交兩圓的性質(zhì)定理； 2、掌握相交兩圓問題中常添的輔助線的作法； 3、通過例題的分析，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力； 4、結(jié)合相交兩圓連心線性質(zhì)教學向?qū)W生滲透幾何圖形的對稱

8、美 教學重點 相交兩圓的性質(zhì)及應用 教學難點 應用軸對稱來證明相交兩圓連心線的性質(zhì)和準確添加輔助線 教學活動設計 （一）圖形的對稱美 相切兩圓是以連心線為對稱軸的對稱圖形相交兩圓具有什么性質(zhì)呢? （二）觀察、猜想、證明 1、觀察：同樣相交兩圓，也構(gòu)成對稱圖形，它是以連心線為對稱軸的軸對稱圖形 2、猜想：“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦” 3、證明： 對A層學生讓學生寫出已知、求證、證明，教師組織；對B、C層在教師引導下完成 已知：O1和O2相交于A，B 求證：Q1O2是AB的垂直平分線 分析：要證明O1O2是AB的垂直平分線，只要證明O1O2上的點和線段AB兩個端點的距離相等，于是想到連結(jié)O1

9、A、O2A、O1B、O2B 證明：連結(jié)O1A、O1B、 O2A、O2B，O1A=O1B， O1點在AB的垂直平分線上 又O2AO2B，點O2在AB的垂直平分線上 因此O1O2是AB的垂直平分線 也可考慮利用圓的軸對稱性加以證明： Ol和O2，是軸對稱圖形，直線O1O2是Ol和O2的對稱軸 Ol和O2的公共點A關于直線O1O2的對稱點即在Ol上又在O2上 A點關于直線O1O2的對稱點只能是B點， 連心線O1O2是AB的垂直平分線 定理：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦 注意：相交兩圓連心線垂直平分兩圓的公共弦，而不是相交兩圓的公共弦垂直平分兩圓的連心線 （三）應用、反思 例1、已知兩個等圓Ol和O

10、2相交于A，B兩點，Ol經(jīng)O2。 求OlAB的度數(shù) 分析：由所學定理可知，O1O2是AB的垂直平分線， 又O1與O2是兩個等圓，因此連結(jié)O1O2和AO2，AO1，O1AO2構(gòu)成等邊三角形，同時可以推證O l和O2構(gòu)成的圖形不僅是以O1O2為對稱軸的軸對稱圖形，同時還是以AB為對稱軸的軸對稱圖形從而可由 OlAO260°，推得OlAB30° 解：O1經(jīng)過O2，O1與O2是兩個等圓 OlA=O1O2=AO2 O1A O2=60°， 又ABO1O2 OlAB =30° 例2、已知，如圖，A是O l、O2的一個交點，點P是O1O2的中點。過點A的直線MN垂直于P

11、A，交O l、O2于M、N。 求證：AM=AN 證明：過點Ol、O2分別作OlCMN、O2DMN，垂足為C、D，則OlCPAO2D，且AC= AM，AD= AN OlP=O2P ，AD=AM，AM=AN 例3、已知：如圖，Ol與O2相交于A、B兩點，C為Ol上一點，AC交O2于D，過B作直線EF交Ol、O2于E、F 求證：ECDF 證明：連結(jié)AB 在O2中F=CAB， 在Ol中CAB=E， F=E，ECDF 反思：在解有關相交兩圓的問題時，常作出連心線、公共弦，或連結(jié)交點與圓心，從而把兩圓半徑，公共弦長的一半，圓心距集中到一個三角形中，運用三角形有關知識來解，或者結(jié)合相交弦定理，圓周角定理綜合

12、分析求解 （四）小結(jié) 知識：相交兩圓的性質(zhì)：相交兩圓的連心線垂直平分公共弦該定理可以作為證明兩線垂直或證明線段相等的依據(jù) 能力與方法：在解決兩圓相交的問題中常常需要作出兩圓的公共弦作為輔助線，使兩圓中的角或線段建立聯(lián)系，為證題創(chuàng)造條件，起到了“橋梁”作用；圓的對稱性的應用 （五）作業(yè) 教材P152習題A組7、8、9題；B組1題探究活動 問題1：已知AB是O的直徑，點O1、O2、On在線段AB上，分別以O1、O2、On為圓心作圓，使O1與O內(nèi)切，O2與O1外切，O3與O2外切，On與On-1外切且與O內(nèi)切設O的周長等于C，O1、O2、On的周長分別為C1、C2、Cn (1)當n=2時，判斷Cl+C2與C的大小關系； (2)當n=3時，判斷Cl+C2+ C3與C的大小關系； (3)當n取大于3的任一自然數(shù)時，Cl十C2十十Cn與C的大小關系怎樣?證明你的結(jié)論 提示：假設O、O1、O2、On的半徑分別為r、rl、r2、rn，通過周長計算，比較可得（1）Cl+C2=C；（2）Cl+C2+ C3=C；（3）Cl十C2十十Cn=C 問題2：有八個同等大小的圓形，其中七個有陰影的圓形都固定不動，第八個圓形，緊