正弦定理和余弦定理地應用

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上第二節(jié)應用舉例題型一 測量距離問題ABC【母題 】如圖所示，設、兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在的同側，在所在的河岸邊選定一點，測出的距離是m,.求、兩點間的距離（精確到m）.分析 所求的邊的對角是已知的，又已知三角形的一邊，根據三角形內角和定理可計算出的對角，根據正弦定理，可以計算出邊.解答 根據正弦定理，得(m)點撥 本題是測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決。解題錦囊 本題型的解題關鍵在于明確：（1）測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定

2、理解決。（2）測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉化為應用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題。衍生題衍生1 如圖所示，客輪以速度由至再到勻速航行，貨輪從的中點出發(fā)，以速度沿直線勻速航行，將貨物送達客輪，已知，且海里。若兩船同時啟航出發(fā)，則兩船相遇之處距點 海里。（結果精確到小數點后1位）ABCDABCDE解析 兩船相遇點在上，可設為，設，則故 得 ，答案 點撥 本題考查了測量距離問題。衍生2如圖所示，兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量兩點間距離的方法。ABCDAAA分析 可以先計算出河

3、的這一岸的一點到對岸兩點的距離，再測出的大小，借助余弦定理可以計算出兩點間距離。解答 法一：測量者可以在河岸邊選定兩點、，測得并且在、兩點分別測得在和中，應用正弦定理得計算出和后，再在中，應用余弦定理計算出兩點間的距離。 法二：本題也可以在河的這一岸選定、，測出取 中點,因此要求,構造,需要求出、及所以要測出再分別在、中用余弦定理就可求出、求解過程如下：在中，在中，在中， 點撥 求解三角形中的基本元素，應由確定三角形的條件個數，選擇合適的三角形求解，如本題法一選擇的是和.衍生3 如圖，隔河看兩目標、，但不能到達，在岸邊選取相距千米的兩點，并測得ABBCD (、在同一平面內)求兩目標、之間的距離

4、。分析 要求出、之間的距離,可在(或中去找關系,但不管在哪個三角形中,、這些量都是未知的,需要在三角形中找出合適的關系,求出它們的值,剩下的只需解三角形了。解答 在中，在中，由正弦定理，可得 由余弦定理，可得（千米），即兩目標、之間的距離為千米。點撥 若首先解求出,再求,最后解,則其計算量就比上述解法要大，因此當問題有多種解決途徑時，我們應該用價值的觀念來審視每種解法，從而探索到最優(yōu)解法。在中，若已知兩角及任一邊，一般用正弦定理求解，但要注意實際問題是否為一些特殊三角形，如正三角形、直角三角形、等腰三角形等.題型二 測量高度問題【母題 】如果要測量某鐵塔的高度，但不能到達鐵塔的底部，在只能使用

5、簡單的測量工具的前提下，你能設計出哪些測量方法？并提供每種方法的計算公式。分析 要測量鐵塔的高度，只能在鐵塔底部所在的平面上選取兩點，量出兩點間的距離，再測量有關角，從而構造三角形求解。解答 測量方法1、如右圖所示，BAOAAP在地面上引一條基線,這條基線和塔底在同一水平面上，且不過點，測出的長，及對塔頂的仰角，則可求出鐵塔的高。在中， 在中，在中，由余弦定理得，測量方法2、AOBP在地面上引一條基線,這條基線和塔底在同一水平面上，并使三點在一條直線上，測出的長和對塔頂的仰角，則可求出鐵塔的高。計算方法如下：如右圖所示， 在中，由正弦定理得，在中，測量方法3、APOBAPOB在地面上引一條基線

6、,這條基線和塔底在同一水平面上，且延長后不過塔底，測出的長，用經緯儀測出角和對塔頂的仰角的大小，則可求出鐵塔的高。計算方法如下：如右圖所示，在中，由正弦定理得 在中，點撥 本題是個開放性的題目，靈活構造三角形解題是一大特點。解題錦囊 本題型的解題思路：（1）測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉化為解直角三角形的問題。（2）對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關長度和仰、俯角等構成三角形，在此三角形中利用正弦定

7、理或余弦定理求解即可。衍生題衍生1 如圖，是水平面上的兩個點，相距800m,在點測得山頂的仰角為 ，,又在點測得，其中是點在水平面上的垂足，則山高 為 .（精確到1m）ABCD2501100400解析 在中，,由正弦定理，得（m）在中,(m)山高約為480（m）.答案 480點撥 測量高度問題常利用解一個直角三角形和一個斜三角形來解決，解斜三角形一般用正弦定理。衍生2 某人在塔的正東沿著南偏西的方向前進m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為，求塔高。ABFDCE分析 依題意畫圖，某人在處，為塔高，他沿前進，米，此時，從到沿途測塔的仰角，只有到測試點的距離最短時，仰角才最大，這是因為，

8、為定值，最小時，仰角最大。要求出塔高必須先求，而要求BE須先求或（）.解答 在中，由正弦定理，得在中，在中， （米）.故所求的塔高為米.點撥 在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念。仰角和俯角都是在同一鉛錘面內，視線與水平線的夾角。當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角。衍生3 在某一山頂觀測山下兩村莊、，測得的俯角為，的俯角為，觀測、兩村莊的視角為，已知、在同一海平面上且相距1000米，求山的高度.(精確到1米)分析 畫出立體圖形的直觀圖，由余弦定理列出方程，解方程可求得山高.解答 設山頂為，山高 ，由題意，得 ABCD在中， ，在中， 在中，由余弦定理知故山高約為64

9、3米.點撥 把問題抽象概括為在空間解三角形問題，畫出直觀圖是解題的關鍵，設出未知量可把已知量轉移到同一個三角形中，由正、余弦定理列出方程可解決問題.ABCDE2衍生4 如圖，在某點處測得建筑物的頂端的仰角為，沿方向前進m，至點處測得頂端的仰角為，再繼續(xù)前進m至點，測得頂端的仰角為，求的大小和建筑物的高。分析 本題可以從不同角度去分析，如正弦定理、方程思想、二倍角公式等，將會得到不同的解題方法，從而使思維更開闊，也能從中最佳的解題方法，本題用正弦定理解決更簡單適用。解答 解法一：（用正弦定理求解）：由已知可得在和中，m, m,得在中（m）.答： 所求角為建筑物高度為m.解法二：（設方程來求解）：

10、設在中，在中，解得在中，答： 所求角為建筑物高度為m.解法三：（用倍角公式求解）：設建筑物高為由題意，得m,m.在中， 在中， ，得 (m).答： 所求角為建筑物高度為m.點撥 這是一道測量高度的問題，在實際生活中是常見問題，平時注意觀察和思考解決辦法，知識才能累積起來。題型三 測量角度問題【母題 】一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東的方向航行n mile后到達海島，然后從出發(fā)，沿北偏東的方向航行n mile后到達海島，如果下次航行直接從出發(fā)到達，此船應該沿怎樣的方向航行，需要航行的距離是多少？（角度精確到，距離精確到nmile）分析 根據題意畫出圖形，選準三角形，利用正、余弦定理求解。東G西北南AB解

11、答 在中，根據余弦定理，根據正弦定理，所以,.答 ：此船應該沿的方向航行，需要航行的距離是n mile.點撥 本題易出現由,得或的錯誤結果。忽視了本題的實際意義。解題錦囊 解決測量角度問題的關鍵：首先應明確方位角的含義，然后分析題意，分清已知與所求，再根據題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步，通過這一步可將實際問題轉化成可用數學方法解決的問題，解題時也要注意體會正、余弦定理“聯袂”使用的優(yōu)點。衍生題衍生1 如圖，平面內三個力，作用于同一個點且處于平衡狀態(tài)，已知的大小分別為,， 與的夾角為，求的大小及與的夾角。分析 根據物理知識并結合向量加法的三角形法則及解三角形的知識求解。CAOBD

12、F解答 設三個力作用于點,與 的合力為 ，由共點力平衡，得 ,令在， 即又由正弦定理，得的大小為 與的夾角為點撥 用正弦定理、余弦定理及向量等知識可以解決物理中的矢量合成與分解等問題，這說明數學是物理及其他自然科學的輔助工具，在學習過程中，要加強學科間的聯系，學以致用。衍生2 一海輪以海里每時的速度向正東航行，它在點測得燈塔在船北偏東，小時后到達地， 測得燈塔在船的北偏東，求（1）船在點時與燈塔的距離；(2)已知以點為圓心，海里為半徑的圓形水域內有暗礁，那么這船繼續(xù)向正東航行有無觸礁的危險？ABDP分析 根據題意，作出相應圖形，問題歸結為已知兩角和一角對邊的問題，故可考慮正弦定理求解。解答（1

13、）如圖，在中，依題意，,.（海里）由正弦定理得，解得（2）過作，為垂足，在中，故船在點時與燈塔相距海里，繼續(xù)向正東航行有觸礁的危險。點撥 測量角度問題的情境屬于“根據需要，對某些物體定位”，測量數據越準確，定位精度越高.盡可能利用直角三角形.衍生3 外國船只除特許者外，不得進入離我海岸線海里以內的區(qū)域，設和是我們的兩個觀測站，與之間的距離為海里，海岸線是經過、的直線。一外國船只在點處，測得，問：滿足什么簡單的三角函數不等式時，就應當向未經過特許的外國船只發(fā)出警告？分析 本題實質是找出滿足的三角函數式表示，再由題意列出與的不等式即可。ABDP解答 法一 如圖所示，作，垂足為，在中，,.由正弦定理

14、得由面積關系得 ,由,知當滿足時，就應向此未經特許的外國船只發(fā)出警告。法二 在中，在中，.故當，即時，就應發(fā)出警告.點撥 本題最后得到的結果是一個不等關系，但在得到這一不等式的過程中，首先要考慮如何建立以為自變量，以為因變量的函數關系式.題型四 探求三角形的面積 【母題 】一在中，已知，求的面積。分析 在解三角形時，有些較復雜的問題常常需要將三角形的有關知識與正弦定理、余弦定理結合使用，本題中根據條件利用兩定理求出邊和角。解答 方法一： 設三邊、的長分別為、，由得,.又.由正弦定理得,又由,所求三角形的面積為.方法二 : 同方法一可得.又由余弦定理,得,得由已知得,.由得,而（舍去），故.故所

15、求面積.點撥 本題主要考察正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的基礎知識，同時考察三角公式恒等變形的技能和運算能力。解題錦囊 求三角形面積是解三角形過程中的一種常見的重要題型， 本題型常用的解題方法主要有：（1）；（2）另外還有用向量表示的公式：|，其中向量（，），（，）分別是三角形兩邊所表示向量的坐標。由于三角形的面積公式有多種形式，在解題的過程中應根據題目所給條件選擇恰當的面積公式，這要求對每一個公式的使用條件非常熟悉，并會變形應用公式。衍生題衍生1 已知三角形的三個頂點為、，求的面積.分析 的三個頂點的坐標已知，用向量面積公式解此題較簡捷。解答 、，由|，可得.點撥 簡潔明了是新教材引入向

16、量之后由繁變簡的一個典范，在學習過程中應注意應用。衍生2 已知圓內接四邊形的邊長分別是，求四邊形的面積.分析 先將所求面積轉化為用某個角的三角函數表示，再利用對角互補及余弦定理求出該角即可.解答 如圖，連結，則四邊形的面積ABCD2464,.在中,由余弦定理得,在中, 由余弦定理得,.又,.點撥 在有公共邊的兩個三角形中分別應用余弦定理，也是解三角形常用到的方法，同時要注意“圓內接四邊形對角互補”這一條件.衍生3 在中，角、對邊的邊長分別是、，已知.(1)若的面積等于，求,;（2）若，求的面積.分析 由三角形面積公式和余弦定理得關于、的方程組求解（1）；將變形，左邊可變?yōu)?，再展開整理，右邊用二

17、倍角 公式來求解（2）.解答 （1）由余弦定理，得又的面積等于，,得.聯立方程組 ，解得（2）,由已知得即當時，. 當時，得，由正弦定理得，聯立方程組，解得的面積點撥 本題（1）主要用了邊關系待定系數法；（2）用到了角關系的待定系數和邊關系待定系數法，注意兩個小題條件獨立，解（2）時不能用（1）的結論。衍生4 已知、是中的對邊，是的面積.若，則= 解析 法一 而,于是或又當時，當時，故的長度為或法二 或或答案 或點撥 可利用及，其中兩種面積公式求解.衍生5 在中，角、的對邊分別為、，的外接圓半徑，且滿足.(1) 求角和邊的大??；（2）求的面積的最大值.分析 根據三角函數式即可求（1），利用面積

18、公式和基本不等式求（2）解答（1）有已知，整理得,即 ,.又,.,. （2）由余弦定理，得,即 ，（當且僅當時取等號），即 （當且僅當時取等號）.的面積的最大值為.點撥 在求面積最值時利用了基本不等式，注意基本不等式的使用條件。題型五 正、余弦定理的實際應用【母題 】某觀測站在城的南偏西的方向，由城出發(fā)的一條公路，走向是南偏東，在處測得公路上處有一人，距為千米，正沿公路向城走去，走了千米后到達處，此時間的距離為千米，問：這人還要走多少千米才能到達城？分析 本題為解斜三角形的應用問題，要求這人走多少路可到達城，也就是要求的長.在中,已知千米,只需再求出一個量即可.解答 如圖，令在中,ABCD北東

19、213120A由余弦定理得,.而,在中 , ,（千米 ）.這個人再走千米就可到達城.點撥 正確畫出圖形，綜合運用正弦定理與余弦定理解題.解題錦囊 本題型的一般解題思路：（1）讀懂題意，理解問題的實際背景，并根據題意正確畫出示意圖；（2）明確已知和所求，理清量與量之間的關系，將實際問題抽象成數學模型；（3）選擇正、余弦定理求數學模型的解；（4）將數學模型的解還原為實際問題，注意實際問題中的單位、近似計算要求.衍生題衍生1 臺風中心從地以每小時km的速度向東北方向移動，離臺風中心km內的地區(qū)為危險區(qū)，城市在正東km處，求城市從進入危險區(qū)到脫離危險區(qū)持續(xù)的時間.分析 分別求出進入、脫離危險區(qū)的時間，相減后即得所求，也可求出臺風中心距離城市小于或等于千米的路徑的長度，再除以臺風中心移動速度.解答 方法一 設h后，臺風中心距離城市km，則,即，解得或，即臺風影響城市的持續(xù)時間為h.方法二 如圖所示，過作于 則,又,.故臺風影響城市的持續(xù)時間為h.點撥 解決本題的關鍵是抓住“離臺風中心km內的地區(qū)為危險區(qū)”這一條件.衍生2 如圖，某住宅小區(qū)的平面呈扇形，小區(qū)的兩個出入口設置在點及點處，小區(qū)里有兩條筆直的小路，且拐彎處的轉角為.已知某人從沿走到用了10分