第四章債券價格波動性及其衡量第二部分201603

1、第四章 債券價格波動性及其衡量/債券風險的度量和度量工具 知識點 債券價格的波動性及其原因 債券價格與市場利率的基本關系 債券價格對市場利率變動的敏感性及其影響因素分析 久期 久期的計算 久期的應用 久期的性質(zhì) 凸性 凸性的計算 凸性的應用 凸性的性質(zhì)久期與凸性的進一步應用：債券利率免疫與套期保值非附權債券價格波動性（價格-收益率關系）必要報酬率Required yield價格Pr 上升，P下降瞬時變化Instantaneous change凸性convexnnttrMrCP)1 ()1 (1債券久期和凸性的進一步應用 債券久期與債券平衡點 使用久期進行債券/債券組合免疫 使用久期進行債券/債

2、券組合套期保值 使用久期，凸性和債券時間效應進行風險管理久期 從期限的角度理解 債券的久期是債券本息支付時間的加權平均 現(xiàn)金流/本息支付的平均時間 權重：每一筆現(xiàn)金流的現(xiàn)值/P（債券現(xiàn)值/價格） 以年為單位 需要慎重對待以期限含義理解久期 結(jié)構類債券產(chǎn)品久期可能大于其期滿期限現(xiàn)象ntntnnrMnrCtPDmPrMnrCnrCrCMacaulay12)1 ()1 (11)1 ()1 (.)1 (2)1 (1久期定義：久期與債券平衡點 從期限的角度 債券比率久期代表著大約在該時間點 無論市場利率如何變化 債券的價格風險與再投資風險抵消，債券價值保持基本穩(wěn)定 在持有期限等于久期時，債券價格對市場利

3、率活動反映不敏感期限風險收益/風險損失A：計劃持有期限價格風險再投資風險久期與債券平衡點 從期限的角度 - 例1問題：該債券比率久期數(shù)量是多少？從期限看比率久期，試證明無論市場利率現(xiàn)在發(fā)生怎樣的變化，該債券在比率久期代表的時間，債券價值基本不變。rc7%M100N10n10r7.0%假設某只債券：假設某只債券：久期與債券平衡點 從期限的角度 - 例1期限（年）到期收益率 貼現(xiàn)因子現(xiàn)金流量現(xiàn)值t倍現(xiàn)值17.0%0.934676.546.5427.0%0.873476.1112.2337.0%0.816375.7117.1447.0%0.762975.3421.3657.0%0.713074.99

4、24.9567.0%0.666374.6627.9977.0%0.622774.3630.5187.0%0.582074.0732.5997.0%0.543973.8134.27107.0%0.508310754.39543.93100.00751.52Dm對應的金額久期7.52dP/dr7.02Dm7.52%7.52%MD7.02%債券比率久期作為投資期限下，投資總收益對利率變動免疫85.16604. 1710)04. 1 (7)04. 1 (704. 1*7.04. 1*704. 1*74%5 . 75 . 25 . 15 . 05 . 05 . 55 . 6債券價格市場利率下降為情形一：

5、債券購買后，年時刻的價格討論債券在71.1661 .1710)1 .1 (7)1 .1 (71 .1*7.1 .1*71 .1*710%5 .75 .25 .15 .05 .05 .55 .6債券價格市場利率上升為情形二：債券購買后，年時刻的價格討論債券在利用久期進行利率風險免疫 Immunization Techniques 如何使投資價值不隨市場利率變動而變動 投資組合對于市場利率波動不敏感 利用久期進行免疫是一種消極的投資策略 無能力準確預測利率變動情況下 基金經(jīng)理人往往并不是通過利率預測去追求超額回報，而是通過組合的構建，在回避利率波動風險的條件下實現(xiàn)既定的收益率目標 方法之一 利用久

6、期對投資組合進行利率免疫債券/債券組合久期匹配的免疫策略期限風險收益/風險損失A：計劃持有期限價格風險再投資風險計劃投資期等于債券比率久期，債券價格效應等于再投資效應，債券價值對利率變動免疫計劃投資期小于比率久期，債券價格效應大于再投資效應，利率上漲是風險反之，則利率下降是風險利用久期進行利率風險免疫基本思路 在某市場利率環(huán)境下，構造 資產(chǎn)組合價值 = 負債組合價值 資產(chǎn)組合久期 = 負債組合久期 目標：市場利率變動下，組合價值變動 = 負債價值變動 任何久期不相匹配，調(diào)整組合構成 市場利率變化 組合情況變化 利用久期進行利率風險免疫 例1單一負債免疫。假定一個投資人10年后必須償還1931元

7、，到期收益率曲線是水平的，為10%。負債的現(xiàn)值是745元，負債的久期是10。市場上現(xiàn)有一只債券，期限20年，面值1000元，票面利率7%，一年附息一次，價格745元。如何利用這只債券對負債進行免疫？市場收益率資產(chǎn)債券價值負債債券價值資產(chǎn)債券Dm負債債券Dm10%745.00745.0010.0010.006%1114.701078.2611.7910.008%901.82894.4310.8810.0012%626.53621.739.1710.00如果與負債久期不相匹配，則需要調(diào)整資產(chǎn)規(guī)模和構成利用久期進行利率風險免疫 例2投資者負債是5年期分期付款，每年支付100元。假設現(xiàn)有一年期債券，票

8、面利率是6%，1年支付1次；4年期債券的票面利率是8%，1年支付1次。即期利率是10%。如何對負債進行免疫？債券債券Dm5年期債券2.814年期債券3.561年期債券1構建方程式：w1+w4=1w1*1+w4*3.56=2.81負債的現(xiàn)值為$379.07，所以$111.21投資于1年期債券,$267.86 投資于4年期債券利用久期進行利率風險免疫 例3 假設到期收益率曲線如下表。目前，投資人的資產(chǎn)包括305個單位的3年期零息債券，面值是11522.6元。投資人的負債包括300個單位的20年期附息債券，該附息債券面值是1萬元，票面利率是6.162%。投資人希望持有這個20年期的債券，但愿意調(diào)整3

9、年期零息債券資產(chǎn)的頭寸，投資人希望購買或者發(fā)行20年期的零息債券加入資產(chǎn)組合，該20年期零息債券的面值是34940.6元。 問如何調(diào)整資產(chǎn)結(jié)構才能夠讓這個投資人實現(xiàn)凈權益免疫?利用久期進行利率風險免疫 例3期限（年）即期利率/到期收益率 貼現(xiàn)因子1/3654.24%0.99990.54.42%0.978614.51%4.51%0.95691.54.59%0.934924.68%0.91274.76%0.890334.84%0.867944.99%0.822955.14%0.778365.28%0.734475.41%0.691485.54%0.649795.66%0.6094105.77%0.

10、5708115.87%0.5339125.97%0.4989136.05%0.4658146.13%0.4345156.21%0.4052166.27%0.3778176.33%0.3523186.38%0.3285196.42%0.3065206.46%0.2862利用久期進行利率風險免疫 例3資產(chǎn)市場價值（萬元）負債+權益市場價值（萬元）305300個單位20年期附息債券300.0權益5.0投資人資產(chǎn)負債表投資人資產(chǎn)負債表305個單位3年期零息債券利用久期進行利率風險免疫 例3 在某市場利率環(huán)境下，構造 資產(chǎn)組合價值 - 負債組合價值=權益價值 資產(chǎn)組合久期 = 負債組合久期5 .1535

11、 .1511175300200030050000100003001000010000203203203NNNNNN利用久期進行利率風險免疫 例3面值11522.634940.610000市場價格10000.09998.910000Dm對應的金額久期300.020001175dP/dr287.061913.561124Dm3.0%20.00%11.75%MD2.87%19.14%11.24%債券3年期零息債券20年期零息債券20年期附息債券利用久期進行利率風險免疫 例3資產(chǎn)組合資產(chǎn)組合成分債券數(shù)量資產(chǎn)組合成分債券價值N3151.51,514,993.14 N20153.51,534,830.21

12、 資產(chǎn)組合價值3,049,823.34 負債價值2,999,926.83 權益價值49,896.51 利用久期進行投資套期保值（hedging) 一般情況下，同類商品現(xiàn)貨市場和期貨市場價格變動方向相同在現(xiàn)貨市場上未來需要賣出，但是，擔心未來價格下跌 則在期貨市場上做賣出套期保值在現(xiàn)貨市場上未來需要買入，但是，擔心未來價格上升 則在期貨市場上做買入套期保值 一般情況下，債券市場上，債券價格變動方向相同價格與市場利率反方向變動 擔心所持有債券價格下降，則選擇其他債券做賣出套期保值利用久期進行投資套期保值（hedge) 例1怎樣通過國債1和國債2進行現(xiàn)有公司債券的套期保值？假設債券到期收益率上升1%

13、，該投資人結(jié)清套期保值頭寸后，結(jié)果如何？如果該投資人要賣空這兩只國債，應當各賣空多少數(shù)量？N5n 10M1,000,000rc6.90%C34500P1,000,000ry6.90%已知現(xiàn)在持有一只公司債券，希望對其進行套期保值：NnMrcPC國債1102010008%110940國債23610006.30%1008.131.5市場中可以利用進行套期保值的兩只債券，條件如下：利用久期進行投資套期保值（hedge) 例1 目標 持有債券價值變化數(shù)量 = 套期保值組合價值變化數(shù)量利用久期進行投資套期保值（hedge) 例1時間10年期國債年期國債0-1109貼現(xiàn)因子現(xiàn)值t倍現(xiàn)值1400.96853

14、8.738.72400.938037.575.03400.908536.3109.04400.879935.2140.85400.852234.1170.46400.825433.0198.17400.799432.0223.88400.774231.0247.89400.749930.0269.910400.726329.1290.511400.703428.1309.512400.681227.2327.013400.659826.4343.114400.639025.6357.915400.618924.8371.316400.599424.0383.617400.580623.2394

15、.818400.562322.5404.819400.544621.8413.92010400.5274548.510970.83.25%1109.01109.016040.9ry6.50%Dm對應的金額久期80.23.75%dP/dr77.68Dm7.23%MD7.0045%7.0045%利用久期進行投資套期保值（hedge) 例1時間3年期國債年期國債-1008.1貼現(xiàn)因子現(xiàn)值t倍現(xiàn)值131.50.97086932230.630.58231.50.9425872429.759.38331.50.91512903428.886.48431.50.88847070428.0111.95531.

16、50.8625889527.2135.8661031.50.837461148863.85183.053.00%1008.11008.15607.306.00%Dm對應的金額久期28.04rydP/dr27.22Dm2.78%MD2.70%2.70%利用久期進行投資套期保值（hedge) 例1品種修正久期價格10年期國債7.0045%11093年期國債2.70%1008.15年期公司債4.1688%1,000,000.00 債券特征利用久期進行投資套期保值（hedge) 例16 .1531%1688.4100000%7 .21 .1108N35 .535%1688.4100000%0005.7

17、1109N101033101010NNNN則，年期國債數(shù)量為賣空則，年期國債數(shù)量為賣空利用久期進行投資套期保值（hedge) 例12.問題：如果到期收益率上升問題：如果到期收益率上升1%，結(jié)果如何？，結(jié)果如何？5年期債券新價格959.34 債券價格損失(元)40,660.00 注：面值1000元，實際面值1百萬元。10年期債券新價格1,034.74 債券價格收益(元)39,852.85 3年期債券新價格981.35 債券價格收益(元)40,968.46 利用久期進行投資套期保值（hedge) 例13，如果同時賣空2只國債N10+N3=1N10*7.0045%+N3*2.7%=4.1688%N1

18、034.12%N365.88%N10價值341,200.00 N3價值658,800.00 久期與凸性在債券投資組合中的應用 其他因素都一樣，凸性被認為是有價值的。如何獲得凸性價值? 有著相同久期的債券投資組合并不一定擁有相同的凸性，所以它們對于市場利率變動的反應敏感程度也可能是不同的 常用債券投資組合策略 - Barbells 杠鈴式vs. Bullets子彈式 Bullet payment = 現(xiàn)金流一次性支付 Barbell payments = 現(xiàn)金流支付兩端分布杠鈴式債券投資組合與子彈式債券投資組合 Barbells and bullets A barbell bond portfo

19、lio 主要包含了短期債券和長期債券 從久期來看，這樣的投資組合包含了低久期債券和高久期債券，從而組合久期大約是中等水平的久期 這樣的投資組合策略結(jié)果是組合的一部分可以獲得高收益，而另一部分則可以降低風險 A bullet bond portfolio通常集中選擇的是中等期限債券，久期也是中等水平久期杠鈴式債券投資組合與子彈式債券投資組合杠鈴式債券投資組合與子彈式債券投資組合 Barbells and bullets 債券投資組合久期和凸性是成分債券久期和凸性的加權平均 資產(chǎn)組合和負債組合的久期相等匹配容易 資產(chǎn)組合和負債組合的凸性相等匹配不容易 子彈式債券投資組合的久期與杠鈴式債券投資組合的

20、久期相匹配容易 子彈式債券投資組合的凸性一般會小于杠鈴式債券投資組合的凸性tnttmdCttPC1)1(1定義：比率凸性（值）Barbells and bullets，例1 假設一個杠鈴式投資組合甲中有兩只債券A和B，各占組合的50% ，A是一年期短期債券，久期為1；B是30年期長期債券，久期是30， 則組合的久期是15.5 (31/2 = 15.2) 但是，該組合的凸性值大約是450 (900/2 = 450)tnttmdCttPC1)1(1定義：比率凸性（值）Barbells and bullets，例1 假設使用一個子彈式投資組合乙匹配上面的杠鈴式組合甲的久期 該組合有兩只債券A和B，

21、可以全部投資于兩只16年期的債券 或者投資于一只15年期的債券和一只16年期的債券，從而得到組合的久期是15.5 這樣，兩個組合的久期匹配，但是，子彈式組合的凸性會低于杠鈴式組合的凸性 此時投資人可以買入杠鈴組合，賣空子彈組合，從而實現(xiàn)組合久期對沖，同時獲得正凸性的投資效果Bullet vs. Barbell 策略，例2國債票面利率期限到期收益率修正久期修正凸性A8.558.5419.81B9.5209.58.88124.2C9.25109.256.4355.45Bullet策略：只投資于 債券CBarbell策略：投資于A 和 B要求：兩個策略組合的修正久期相等即，A 投資 50.2% ,B

22、 投資 49.8%0.502*(4.00) +0 .498*(8.88) = 6.43Bullet vs. Barbell 策略，例2 Bullet策略：只投資于 債券C Barbell策略：投資于A 和 B 要求：兩個策略組合的修正久期相等 即，A 投資 50.2% ,B 投資 49.8% 0.502*(4.00) +0 .498*(8.88) = 6.43 組合的凸性值 0.502*19.81+0.498*124.4=71.89 大于55.45 組合的到期收益率大約 0.502*8.5%+0.498*9.5%=8.998%小于組合C的9.25%市場利率變化時， Barbell組合凸性更大，

23、更優(yōu)，但放棄了一些收益率，買的價格高階梯式債券投資組合及其策略Bond Ladder 債券到期形成有規(guī)律的間隔，例如，每一年，每兩年等 連續(xù)的規(guī)律性債券到期，組合具有規(guī)律性收益，持續(xù)的流動性 降低了組合債券贖回風險 債券到期交錯實現(xiàn)，一般不會同時被贖回現(xiàn)象收益率曲線變化與投資組合策略選擇 利用不同的債券組合策略實現(xiàn)收益率曲線變化時所產(chǎn)生的潛在利益 不同的策略有不同的久期和凸性特征 子彈策略一是應對特定時期的資金需求，二是投資人預期未來某個特定期限的利率會發(fā)生變化，利用這樣的變化尋找潛在利益 如果預期收益率曲線在短期利率和長期利率發(fā)生變動，則選擇杠鈴策略 如果預期收益率曲線整個發(fā)生變化，則可以在

24、組合策略上選擇梯式策略 梯式策略也可以看作是多個子彈策略或子彈策略的擴展非附權債券價格變化的主要原因 必要報酬率/市場利率的變化 債券發(fā)行人信用風險的變化 現(xiàn)金流的償還風險 如何在市場預測到這個變化之前能夠進行預測 可比金融工具收益率的變化 折價或溢價債券趨近到期日nnttrMrCP)1 ()1 (1債券價格隨著其生命周期而趨近于面值到期的年份債券價格路徑的時間效應溢價債券折價債券相同期限不同的票面利率即使市場利率未發(fā)生變動nnttrMrCP)1 ()1 (1P (% of Par)100零息債券價格的時間效應值 在市場利率曲線不發(fā)生變化時，零息債券價格變化的時間效應持有期無窮小時，零息債券的

25、升值水平 值相當于貼現(xiàn)函數(shù)在某一時期上的斜率，即dtdP值的近似求法 由于零息債券價值的瞬間變化難以計量，因此采用近似的辦法 如果能夠得到間隔很短的收益率曲線，那么可以計算在間隔很短的時間內(nèi)零息債券價格的時間效應，計算公式為tP為時間變化2ttPP價格風險可以量化，但時間效應的量化很難找到合適的公式值的近似求法 例1 一個零息債券將在12.5年后支付1元，利用前面的折現(xiàn)函數(shù)，求該12.5年的零息債券的值。03199.012132878.03198.0121321312ddddtt即期利率曲線與折現(xiàn)方程 即期利率曲線可以用來給風險相似的現(xiàn)金流定價 貼現(xiàn)方程是未來時間點的$1在0時點的價格 被表示

26、為 通常 t 用年來表示 (例如， 3個月為 0.25, 10 天為 10/365 = 0.0274). 貼現(xiàn)因子與年有效收益率的關系為tdtttyd)1 (1即期利率曲線與值值越精確時間變化越小，值的時點根據(jù)即期利率曲線，求03047.02.04958.05019.09.111.1203456.08.04866.05134.06.114.12121.129.11124.126.1112dddd期限期限(年年)到期收益率 到期收益率 貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)因子值值115.8705%0.533911.65.9002%0.514311.95.9645%0.5019125.9659%0.498912.15.9

27、700%0.495812.45.9805%0.4866136.5370%0.46582ttPP即期利率曲線與值期限期限 到期收益率 到期收益率貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)因子值值1/3658.24%0.99980.080.58.42%0.96040.078418.51%0.92160.07671.58.59%0.88370.074928.68%0.84670.0732.58.76%0.81070.071138.84%0.77560.069148.99%0.70860.06559.14%0.64580.060769.28%0.58710.056579.41%0.53270.052389.54%0.48240.0

28、48299.66%0.43620.0443109.77%0.39380.0405119.87%0.35510.037129.97%0.31980.03361310.05%0.28780.03041410.13%0.25890.02751510.21%0.23270.0248即期利率曲線與值期限期限到期收益率 到期收益率 貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)因子值值1610.27%0.20920.02231710.33%0.18810.021810.38%0.16910.0181910.42%0.15210.01612010.46%0.13690.01442110.48%0.12330.01282210.50%0.11

29、110.01142310.51%0.10030.01022410.52%0.09070.00912510.51%0.08220.00812610.50%0.07450.00722710.48%0.06780.00642810.46%0.06180.00572910.42%0.05640.0053010.38%0.05170.0045值幾何圖形值0.00000.02000.04000.06000.08000.1000期限12.55811141720232629值債券價格的時間效應與到期期限密切相關。到期期限越短，時間效應越強，反之則弱。時間與零息債券價格變化及其值期限從長到短至0單位零息債券價格

30、dtdPnrMP)1 ( 零息債券1債券投資組合的時間效應值的計算 組合的時間效應就是其所含零息債券時間效應的加權總和，權數(shù)是單個零息債券的數(shù)量。即：iipC即期利率曲線與值期限期限 到期收益率 到期收益率貼現(xiàn)因子貼現(xiàn)因子值值1/3654.2387%0.99990.54.4181%0.97860.0431214.5056%0.95690.043741.54.5914%0.93490.0442224.6753%0.91270.044582.54.7574%0.89030.0448134.8377%0.86790.0448744.9927%0.82290.0447755.1404%0.77830.

31、0442965.2807%0.73440.0434675.4136%0.69140.0423485.5391%0.64970.0409995.6570%0.60940.03944105.7675%0.57080.03775115.8705%0.53390.03595125.9659%0.49890.03408136.0537%0.46580.03217146.1340%0.43450.03026156.2067%0.40520.02835206.4557%0.28620.01957296.4212%0.16450.00853債券投資組合的時間效應值的計算，例1假設一個債券投資組合由下列零息債券

32、構成 10個單位的2年期零息債券，5個單位的9年期零息債券，3個單位的30年期零息債券 單一種類的負債，7個單位的20年期零息債券 利率期限結(jié)構如前所示則，該組合的權益價值為100.9127+50.6049+30.1645-70.2862 =10.6641資產(chǎn)的值為100.04456+5X0.03944+30.00853=0.66895負債是值為70.01957=0.13699權益的值為資產(chǎn)的值減去負債的值， 即0.66895-0.13699=0.53196凸性在固定收益證券投資中的應用 普通債券具有正凸性，即給定的市場利率大幅波動，債券價格上升的幅度大于價格下降的幅度 正凸性是有價值的，改善了債券價格的風險狀況 債券投資存在努力實現(xiàn)組合凸性最大化的動機 負凸性是指對于給定的市場利率的大幅波動，債券價格上升的幅度小于價格下降的幅度 附嵌入式期權的債券，例如可