導數(shù)的四則運算法則(1)

1、1( ),( )f xcfx、若則 基本初等函數(shù)的導數(shù)公式基本初等函數(shù)的導數(shù)公式: :2( ),( )nf xxfx、若則 3( )sin,( )f xxfx、若則 4( )cos,( )f xxfx、若則 01nn xcosxsin x5( ),( )xf xafx、若則 6( ),( )xf xefx、若則 7( )log,( )xaf xfx、若則 8( )ln,( )f xxfx、若則 lnxaaxe1lnxa1x常函數(shù)常函數(shù)冪函數(shù)冪函數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義 函數(shù)函數(shù) y=f(x)在點在點x0處的導數(shù)的幾何意義，就是曲處的導數(shù)的幾

2、何意義，就是曲線線 y=f(x)在點在點P(x0 ,f(x0)處的切線的斜率處的切線的斜率. 故曲線故曲線y=f(x)在點在點P(x0 ,f(x0)處的切線方程是處的切線方程是:)()(000 xxxfxfy)(0 xfk切線 例例1.跳水運動員距離水面的高度滿足跳水運動員距離水面的高度滿足 (1)用圖形來體現(xiàn)導數(shù)用圖形來體現(xiàn)導數(shù) ， 的幾何意義的幾何意義 (2)物理意義是什么物理意義是什么. 105 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0Ot例例2:求曲線求曲線y=f(x)=x2在點在點P(1,1)處的切線方程處的切線方程.1

3、2(1)yx 210 xy 求切線方程的一般步驟：)(3)(2,1000000 xxxfyyxfkyxP）點斜式（）斜率（）（）切點（）的切線方程在點（求雙曲線例212,13xy 044 yx的切線方程過點求拋物線例)6 ,25(42xy 09-6044yxyx或相切的直線方程）且與曲線求過點（練習31 , 1xy 014-3023yxyx或.5keykxyx的切線，求是、已知直線例ek 按定義求導數(shù)有哪幾個步驟？按定義求導數(shù)有哪幾個步驟？( )( )f xg x( )( )f xg x1 1、和、和( (差差) )的導數(shù)：的導數(shù)： 2 2、積的導數(shù)：、積的導數(shù)：( )c f x( )( )f

4、 xg x推論：推論：3 3、商的導數(shù)：、商的導數(shù)：（C C為常數(shù)）為常數(shù)）( )( )fxg x( )( )( )( )fxg xf xg x( )c fx2( ) ( )( )( )( )fx g xf x g xg x( ( )0)g x 導數(shù)的運算法則導數(shù)的運算法則時，特別當1)(xf)()()(12xgxgxg例例1求多項式函數(shù)求多項式函數(shù)f(x)= 的導數(shù)。的導數(shù)。1011nnnna xa xaxa解：解：f / /(x)=1011()nnnna xa xaxa12011(1)nnna nxa nxa例例2求求y=xsinx的導數(shù)。的導數(shù)。解：解：y/=(xsinx)/=x/sin

5、x+x(sinx)/ =sinx+xcosx.例例3求求y=tanx的導數(shù)。的導數(shù)。解：解：y/= sin()cosxx22cos cossin sin1coscosxxxxxx43(2)(2 )(2)yxx xsin(4)21xxye(3)sin cosyxx求下列函數(shù)的導數(shù)52(1)238yxxxxxfln)()5(xxexf)()6(xxxfln)()7(21)()8(xxxfxxxxfcossincos)()9(xxftan)()10(.43|2xy例例4 4：求函數(shù)求函數(shù) 在在x=2處的導數(shù)處的導數(shù). .xxy11曲線曲線y=x3x2l在點在點P(1，1)處的切線方處的切線方程為程為

6、 . y=x2 2已知拋物線已知拋物線y=x2bxc在點在點(1，2)處與直線處與直線y=x1相切，求相切，求b，c的值的值12bc 例例6求求y=sin2x的導數(shù)。的導數(shù)。解：解：y/=(2sinxcosx)/ =2(cosxcosxsinxsinx) =2cos2x.復合函數(shù)的概念復合函數(shù)的概念:對于函數(shù)對于函數(shù)y=f(u)和和u=g(x),如果通過變量如果通過變量u,y可以可以表示成表示成x的函數(shù)的函數(shù),那么稱這個函數(shù)為函數(shù)那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f (u)和和u=g(x)的的復合函數(shù)復合函數(shù).例例1已知可導函數(shù)已知可導函數(shù)y=f(u),且且u=ax+b(a,b為常為常數(shù)數(shù),a0),求求

7、 .dydx解：設解：設x有一改變量有一改變量x，則對應于，則對應于u，y分別有分別有改變量改變量u，y， 由由 yyuxux得得000limlimlimxuxyyuxux 而而 0lim( )xuu xax 所以所以 ( ) udya f udx再將再將u=ax+b代入上式便得到代入上式便得到 dydx叫做微商亦叫導數(shù)自變量的無窮小量叫做自變量的微分，函數(shù)值的無窮小量叫做函數(shù)值的微分dxdydxdy)()(20.051(1)(23)(2)(3)sin()xyxyeyx 例例2、求下列函數(shù)的導數(shù)、求下列函數(shù)的導數(shù)注：求復合函數(shù)的導數(shù)，關鍵在于分析清楚函數(shù)注：求復合函數(shù)的導數(shù)，關鍵在于分析清楚函

8、數(shù)的復合關系，選好中間變量，在熟練以后，就不的復合關系，選好中間變量，在熟練以后，就不必再寫中間步驟。必再寫中間步驟。由外到內，逐層求導，再相乘。由外到內，逐層求導，再相乘。2(1),23yuux 2 ,2uxyuu xuxyyu812224xuxyu (2),0.051uy eux () ( 0.051)uxuxyyuex 0.0510.00.055uxee (3)cos()yx xylne (4)3 32 2xxey(e) (4)3 32 2例例3:設設f(x)可導可導,求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù): (1)f(x2); (2)f( );21 x 解解: );(2)()() 1 (22

9、2xf xxxfy);1(1122)1()2(2222xfxxxxxfy 說明說明: :對于抽象函數(shù)的求導對于抽象函數(shù)的求導,一方面要從其形式是把握其一方面要從其形式是把握其 結構特征結構特征,另一方面要充分運用復合關系的求導法則另一方面要充分運用復合關系的求導法則. 2228811fxRfx = fxxx,y fxf A.yx B.y xC.yx D.yx已知函數(shù)在 上滿足則曲線 =在點 ，處的切線方程為=2 -1=3 -2=練習-2、+3A2求證：可導的奇函數(shù)求證：可導的奇函數(shù)f(x)的導函數(shù)的導函數(shù)f /(x)是是偶函數(shù)偶函數(shù)證明：證明： f(x)是奇函數(shù)，是奇函數(shù)， 對對 f(x)定義

10、域定義域 D內任一個內任一個x，有，有xD,且有且有f(x)=f(x) 分別對上式左、右兩邊求導：分別對上式左、右兩邊求導： f(x)/=f /(x)(x)/=f /(x)， f(x)/=f /(x)， f /(x)=f (x)， 即即f /(x)=f /(x)， f (x)是偶函數(shù)是偶函數(shù)3若若f(x)與與g(x)是定義在是定義在R上的兩個可導函數(shù)，上的兩個可導函數(shù)，且且f(x)，g(x)滿足滿足f /(x)=g/(x)，則，則f(x)與與g(x)滿足滿足（ ） （A）f(x)g(x) （B）f(x)g(x)為常數(shù)函數(shù)為常數(shù)函數(shù) （C）f(x)=g(x)=0 （D）f(x)+g(x)為常數(shù)函

11、數(shù)為常數(shù)函數(shù)B練習求下列復合函數(shù)的導數(shù)求下列復合函數(shù)的導數(shù)ysin xx )()1 11 1xylne )3 32 22 2)233 ylog cos x 求下列復合函數(shù)的導數(shù)求下列復合函數(shù)的導數(shù)解解:練習ysin xx )()1 11 12211)sin ,1cos ,111(1)cos()uxxuxxyu uxxyu uxyyuyxxx解解:求下列復合函數(shù)的導數(shù)求下列復合函數(shù)的導數(shù)練習xylne )3 32 22 2 3323232)n ,211,31123 (2)3(2)xxuvxxuvxxxxxxxylu uv veyuveuvyyuvyeeeee 22221( sin) ()osln

12、32tanln3yxxcxxx 求下列復合函數(shù)的導數(shù)求下列復合函數(shù)的導數(shù)練習解解:)233 ylog cos x 練習:求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù)342211).(2)12).123).1yxxxyxyxx 2222).(12) 12xyxx 3322111).4(2) (61)yxxxxx xyx22(12)3).1 2(1).2sin(4)3yx 2(1).sin (2)3yx sin2(2)(1)(3)(4)ln|xxxxxyeeeyeeyx sinsin(2)2(1)cosxxyeex 2224(3)(1)xxeye 1(4)yx 練習:求下列函數(shù)的導數(shù)求下列函數(shù)的導數(shù).25例例

13、6如圖，設有圓如圖，設有圓C和定點和定點O，當當l 從從l0 開始在平面上繞開始在平面上繞O點勻速點勻速旋轉旋轉(旋轉角度不超過旋轉角度不超過90)時，時，它掃過的圓內陰影部分的面積它掃過的圓內陰影部分的面積S是時間是時間t的函數(shù)，它的圖象大致是的函數(shù)，它的圖象大致是下列四種情況中的哪一種？下列四種情況中的哪一種？D.26練習：練習： 如圖如圖, , 水以常速水以常速( (即單位時間內注入水的體即單位時間內注入水的體積相同積相同) )注入下面四種底面積相同的容器中注入下面四種底面積相同的容器中, , 請分別請分別找出與各容器對應的水的高度找出與各容器對應的水的高度h h與時間與時間t t的函數(shù)關系的函數(shù)關系圖象圖象. .(B)(B)h ht tO(C)(C)h ht tO(D)(D)h ht tO(A)(A)h ht tOBADC32311(2)5sinlog43xyxxxx32(3)(4)yxx2(4)(21) (32)xyxxe(