補(bǔ)充材料：諾貝爾獎(jiǎng)中的金融數(shù)學(xué)模型

1、補(bǔ)充材料諾貝爾獎(jiǎng)中的金融數(shù)學(xué)主干模型1.投資組合理論簡(jiǎn)介在投資活動(dòng)中，人們發(fā)現(xiàn)，投資者手中持有多種不同在投資活動(dòng)中，人們發(fā)現(xiàn)，投資者手中持有多種不同風(fēng)險(xiǎn)的證券，可以減輕風(fēng)險(xiǎn)帶來的損失，對(duì)于投資若風(fēng)險(xiǎn)的證券，可以減輕風(fēng)險(xiǎn)帶來的損失，對(duì)于投資若干種不同風(fēng)險(xiǎn)與收益的證券形成的證券組稱為證券投干種不同風(fēng)險(xiǎn)與收益的證券形成的證券組稱為證券投資組合。資組合。證券投資組合的原則是，組合期望收益愈大愈好，組證券投資組合的原則是，組合期望收益愈大愈好，組合標(biāo)準(zhǔn)差愈小愈好，但在同一證券市場(chǎng)中，一般情形合標(biāo)準(zhǔn)差愈小愈好，但在同一證券市場(chǎng)中，一般情形是一種證券的平均收益越大，風(fēng)險(xiǎn)也越大，因而最優(yōu)是一種證券的平均收益越

2、大，風(fēng)險(xiǎn)也越大，因而最優(yōu)投資組合應(yīng)為一個(gè)條件極值問題的解，即對(duì)一定的期投資組合應(yīng)為一個(gè)條件極值問題的解，即對(duì)一定的期望收益率望收益率 ，選擇資產(chǎn)組合使其總風(fēng)險(xiǎn)最小。，選擇資產(chǎn)組合使其總風(fēng)險(xiǎn)最小。Markowitz 提出的證券組合均值方差問題，是證券提出的證券組合均值方差問題，是證券組合理論的基本問題，可描述為有約束的線性規(guī)劃問組合理論的基本問題，可描述為有約束的線性規(guī)劃問題題wXEXEwtswwTpTTwp)()(11. .minmin2解上述問題可得最優(yōu)資產(chǎn)組合解上述問題可得最優(yōu)資產(chǎn)組合w*的表達(dá)式，且最的表達(dá)式，且最優(yōu)資產(chǎn)組合的方差為優(yōu)資產(chǎn)組合的方差為cbap222其中2111),()()

3、,(1, 11bacXEXEcXEbaTTT注在方差在方差-均值坐標(biāo)系下，它是拋物線。均值坐標(biāo)系下，它是拋物線。2p )(pXE注在均方差在均方差-均值坐標(biāo)系下，它是雙曲線。均值坐標(biāo)系下，它是雙曲線。)(pXEp 上述結(jié)論還可推廣到具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均值上述結(jié)論還可推廣到具有無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的均值-方差模型，此時(shí)模型為方差模型，此時(shí)模型為 rwrXEtswwTTwp )1)(.minmin2最小方差資產(chǎn)組合的方差為最小方差資產(chǎn)組合的方差為12222arrbcrp在均方差在均方差-均值坐標(biāo)系下，它是公共交點(diǎn)為（均值坐標(biāo)系下，它是公共交點(diǎn)為（0，r）的兩條射線，其斜率為的兩條射線，其斜率為2122arrb

4、c兩基金分離定理的表現(xiàn)形式為：所有最小方差資兩基金分離定理的表現(xiàn)形式為：所有最小方差資產(chǎn)組合都是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和不含任何無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的產(chǎn)組合都是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和不含任何無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的所謂所謂“切點(diǎn)切點(diǎn)”資產(chǎn)組合的組合。資產(chǎn)組合的組合。)(pXEarrbcr22 cbap222tw2.資本資產(chǎn)定價(jià)模型資本資產(chǎn)定價(jià)模型（資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）是在理想的資本市場(chǎng)是在理想的資本市場(chǎng)中中,根據(jù)兩基金分離定理建立的。它的基本結(jié)論是根據(jù)兩基金分離定理建立的。它的基本結(jié)論是(Sharp-Lintner-Monssin)假設(shè)市場(chǎng)上可以獲得無假設(shè)市場(chǎng)上可以獲得無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，當(dāng)市場(chǎng)達(dá)到均衡時(shí)，任意資產(chǎn)的超額收益風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，當(dāng)

5、市場(chǎng)達(dá)到均衡時(shí)，任意資產(chǎn)的超額收益率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)資產(chǎn)組合超額收益率成正比，即率與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的市場(chǎng)資產(chǎn)組合超額收益率成正比，即有關(guān)系式有關(guān)系式)()(rXErXEMM 其中其中)(),(MMMXVarXXCov稱為資產(chǎn)稱為資產(chǎn)X的市場(chǎng)的市場(chǎng)beta系數(shù)系數(shù),表示資產(chǎn)表示資產(chǎn)X所面臨的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。所面臨的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)。注XM為市場(chǎng)資產(chǎn)組合為市場(chǎng)資產(chǎn)組合設(shè)市場(chǎng)上有設(shè)市場(chǎng)上有n種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，一種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。每種資產(chǎn)的價(jià)格為種無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)。每種資產(chǎn)的價(jià)格為pi，i=0,1,n, 如果市場(chǎng)上有如果市場(chǎng)上有K位投資者，且在某一時(shí)刻，第位投資者，且在某一時(shí)刻，第k位投位投資者持有第資者持有第i種資產(chǎn)的數(shù)

6、量為種資產(chǎn)的數(shù)量為Nik，若記若記 niiKkkiKkikimipNpNw011則稱則稱 mnmmmwwww,.,10 為該時(shí)刻的投資者為該時(shí)刻的投資者市場(chǎng)資產(chǎn)組合。市場(chǎng)資產(chǎn)組合?？梢宰C明，當(dāng)市場(chǎng)達(dá)到均衡，且無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是零凈可以證明，當(dāng)市場(chǎng)達(dá)到均衡，且無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是零凈供應(yīng)的金融證券時(shí)，切點(diǎn)資產(chǎn)組合供應(yīng)的金融證券時(shí)，切點(diǎn)資產(chǎn)組合wt就是市場(chǎng)資產(chǎn)就是市場(chǎng)資產(chǎn)組合。組合。注CAPM在資產(chǎn)定價(jià)中的應(yīng)用在資產(chǎn)定價(jià)中的應(yīng)用一一 證券市場(chǎng)線證券市場(chǎng)線 對(duì)任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合對(duì)任意風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合Xx，由由點(diǎn)點(diǎn) 所形成的軌跡稱為證券市場(chǎng)線。所形成的軌跡稱為證券市場(chǎng)線。)(MXE)(,(xMXEx)()(r

7、XErXEMMxx)(xXExMrAB1注二二 風(fēng)險(xiǎn)自行調(diào)節(jié)收益率定價(jià)公式風(fēng)險(xiǎn)自行調(diào)節(jié)收益率定價(jià)公式),(1)(0MjeXXCovrPEPCAPM對(duì)個(gè)別資產(chǎn)提供了一種可量化的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)對(duì)個(gè)別資產(chǎn)提供了一種可量化的風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度，所以度，所以CAPM可以用于確定未來收益率概率可以用于確定未來收益率概率分布假設(shè)為已知的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)值。設(shè)分布假設(shè)為已知的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在當(dāng)前的價(jià)值。設(shè)市場(chǎng)上第市場(chǎng)上第j種資產(chǎn)期終風(fēng)險(xiǎn)收益為種資產(chǎn)期終風(fēng)險(xiǎn)收益為Pe，當(dāng)前價(jià)格當(dāng)前價(jià)格為為P0，其收益率其收益率 00PPPXej 則風(fēng)險(xiǎn)自行調(diào)節(jié)收益率定價(jià)公式為則風(fēng)險(xiǎn)自行調(diào)節(jié)收益率定價(jià)公式為其中其中)()(MMXVarrXE在風(fēng)險(xiǎn)自行

8、調(diào)節(jié)收益率定價(jià)公式中，將在風(fēng)險(xiǎn)自行調(diào)節(jié)收益率定價(jià)公式中，將),(1),()(000,MeMeMjXPCovPXPPPCovXXCov代入，得代入，得確定等價(jià)定價(jià)公式確定等價(jià)定價(jià)公式rXPCovPEPMee1),()(0CAPM在資產(chǎn)定價(jià)中的應(yīng)用在資產(chǎn)定價(jià)中的應(yīng)用股票定價(jià)股票定價(jià)例例 某公司某公司I在時(shí)期在時(shí)期1將發(fā)行將發(fā)行100股股票，公司股股票，公司I在時(shí)期在時(shí)期2的價(jià)值為隨機(jī)變量的價(jià)值為隨機(jī)變量VI（2）。）。公司的資金都是通過公司的資金都是通過發(fā)行這些股票而籌措的，已知股票的持有者有資格發(fā)行這些股票而籌措的，已知股票的持有者有資格獲得完全的收益流。現(xiàn)給出有關(guān)測(cè)算數(shù)據(jù)如下獲得完全的收益流。

9、現(xiàn)給出有關(guān)測(cè)算數(shù)據(jù)如下VI（2）$1000$800P0.50.52 . 0)(,09. 0)(, 1 . 0,045. 0),(MMMIXEXVarrXXCov將上述數(shù)據(jù)代入風(fēng)險(xiǎn)自行調(diào)節(jié)收益率定價(jià)公式得將上述數(shù)據(jù)代入風(fēng)險(xiǎn)自行調(diào)節(jié)收益率定價(jià)公式得6 .782045. 009. 01 . 02 . 01 . 015 . 08005 . 01000) 1 (IV故每股價(jià)格為故每股價(jià)格為7.83$3. Ross 套利定價(jià)理論（APT）在金融理論中，確定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)合理價(jià)值主要有兩種在金融理論中，確定風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)合理價(jià)值主要有兩種方法。一種是基于競(jìng)爭(zhēng)均衡理論的定價(jià)方法，如上方法。一種是基于競(jìng)爭(zhēng)均衡理論的定價(jià)方法

10、，如上節(jié)的節(jié)的CAPM，認(rèn)為資產(chǎn)的合理價(jià)格由所謂的認(rèn)為資產(chǎn)的合理價(jià)格由所謂的“內(nèi)在內(nèi)在源源”，也就是資產(chǎn)市場(chǎng)中現(xiàn)有的所有資產(chǎn)所共同確，也就是資產(chǎn)市場(chǎng)中現(xiàn)有的所有資產(chǎn)所共同確定；另一種是基于一般套利定價(jià)理論的定價(jià)方法定；另一種是基于一般套利定價(jià)理論的定價(jià)方法（GAPT），），如本節(jié)將要介紹的如本節(jié)將要介紹的Ross套利定價(jià)理論套利定價(jià)理論（APT）認(rèn)為資產(chǎn)的合理價(jià)格由所謂的認(rèn)為資產(chǎn)的合理價(jià)格由所謂的“外在源外在源”，也就是資本市場(chǎng)的其他因素所確定。也就是資本市場(chǎng)的其他因素所確定。 基于上述思想，被譽(yù)為美國(guó)基于上述思想，被譽(yù)為美國(guó)“金融神童金融神童”的的Ross在在1976年年Journal of

11、 Economic Theory上發(fā)上發(fā)表的表的Arbitrage Theory of Capital Assert Pricing一文中十分武斷地指出：任何資產(chǎn)的價(jià)格一文中十分武斷地指出：任何資產(chǎn)的價(jià)格可以表示為一些可以表示為一些“共同因素共同因素”的線性組合。這些的線性組合。這些“共同因素共同因素”可以是通貨膨脹率，人口出生率，工可以是通貨膨脹率，人口出生率，工業(yè)增長(zhǎng)指數(shù)，證券市場(chǎng)綜合指數(shù)，外匯匯率等等各業(yè)增長(zhǎng)指數(shù)，證券市場(chǎng)綜合指數(shù)，外匯匯率等等各種因素，然后利用套利定價(jià)方法給出了資產(chǎn)收益率種因素，然后利用套利定價(jià)方法給出了資產(chǎn)收益率的一般表達(dá)式。的一般表達(dá)式。 記資產(chǎn)市場(chǎng)中第記資產(chǎn)市場(chǎng)中

12、第i種資產(chǎn)的收益率為種資產(chǎn)的收益率為Xi，可通過可通過統(tǒng)計(jì)方法測(cè)算的影響資產(chǎn)收益率的因素收益率記為隨統(tǒng)計(jì)方法測(cè)算的影響資產(chǎn)收益率的因素收益率記為隨機(jī)變量機(jī)變量fk,k=1,K,不能通過統(tǒng)計(jì)方法測(cè)算或未知的不能通過統(tǒng)計(jì)方法測(cè)算或未知的影響資產(chǎn)收益率的因素收益率記為隨機(jī)變量影響資產(chǎn)收益率的因素收益率記為隨機(jī)變量 i ,并假定并假定資產(chǎn)收益率由以下線性多因子模型所描述：資產(chǎn)收益率由以下線性多因子模型所描述：注iKkkikiifbaX 1(3.1-a) 0 mkkijikiffEfEEfEE (3.1-b) 1,2222 kiifESSE (3.1-c)i 其中其中稱為殘差風(fēng)險(xiǎn)。稱為殘差風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)上述

13、模型，利用漸近無套利定價(jià)假設(shè)可以給出根據(jù)上述模型，利用漸近無套利定價(jià)假設(shè)可以給出資產(chǎn)超額收益率表達(dá)式資產(chǎn)超額收益率表達(dá)式ikKkkibrXE 10( )實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) k反映了證券對(duì)于因子反映了證券對(duì)于因子fk的敏感性。稱為因子風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。的敏感性。稱為因子風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。(3.2-c)從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來看，從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來看，APT是通過許多因子來確定證券價(jià)是通過許多因子來確定證券價(jià)格，它使我們擴(kuò)大了考慮因素的范圍，可以從證券市格，它使我們擴(kuò)大了考慮因素的范圍，可以從證券市場(chǎng)以外的因素去選擇，而不象場(chǎng)以外的因素去選擇，而不象CAPM只從證券市場(chǎng)本只從證券市場(chǎng)本身的歷史來研究。這樣，就可以把證券的價(jià)格和國(guó)家身的歷史來

14、研究。這樣，就可以把證券的價(jià)格和國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，企業(yè)經(jīng)營(yíng)狀況，外匯市場(chǎng)等等其它經(jīng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，企業(yè)經(jīng)營(yíng)狀況，外匯市場(chǎng)等等其它經(jīng)濟(jì)因素相聯(lián)系，從而使模型更好地反映現(xiàn)實(shí)狀況。一濟(jì)因素相聯(lián)系，從而使模型更好地反映現(xiàn)實(shí)狀況。一般認(rèn)為，般認(rèn)為，APT與與CAPM相比有以下幾個(gè)特點(diǎn)：相比有以下幾個(gè)特點(diǎn)：（1）對(duì)分布不作要求）對(duì)分布不作要求（2）對(duì)個(gè)人的效益沒有直接假定什么條件；）對(duì)個(gè)人的效益沒有直接假定什么條件；（3）允許依賴于許多因素；）允許依賴于許多因素；（4）可以對(duì)證券的一部分的組合定價(jià)，無需涉及全）可以對(duì)證券的一部分的組合定價(jià)，無需涉及全體；體；（5）容易推廣到多階段的情形。）容易推廣到多階段的

15、情形。4.二杈樹模型二杈樹模型是金融衍生證券定價(jià)問題中常用的一種二杈樹模型是金融衍生證券定價(jià)問題中常用的一種股票價(jià)格模型?？紤]這種模型有以下股票價(jià)格模型?？紤]這種模型有以下2個(gè)原因。個(gè)原因。1。該模型構(gòu)造簡(jiǎn)單，且是實(shí)際模型的一種很好的。該模型構(gòu)造簡(jiǎn)單，且是實(shí)際模型的一種很好的逼近逼近2?？赏ㄟ^這種簡(jiǎn)單的模型闡明金融中的重要概?？赏ㄟ^這種簡(jiǎn)單的模型闡明金融中的重要概念念套期保值，風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度等。套期保值，風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度等。無套利假設(shè)是所有研究的前提無套利假設(shè)是所有研究的前提稱某個(gè)市場(chǎng)有套利機(jī)會(huì)，如果存在稱某個(gè)市場(chǎng)有套利機(jī)會(huì)，如果存在一種投資組合，使資產(chǎn)值一種投資組合，使資產(chǎn)值Yt滿足滿足Y0=0,

16、000TTYPY注0S01)(uSHSHT01)(dSTSpqTPpHP1)(,)(urd10考慮簡(jiǎn)單歐式看漲期權(quán)的定價(jià)問題：以敲定價(jià)考慮簡(jiǎn)單歐式看漲期權(quán)的定價(jià)問題：以敲定價(jià)K0于時(shí)刻于時(shí)刻1兌現(xiàn)，期權(quán)持有者的收益為兌現(xiàn)，期權(quán)持有者的收益為V0=?)(11KSV注設(shè)期權(quán)價(jià)格設(shè)期權(quán)價(jià)格V0,若將價(jià)值若將價(jià)值V0的資產(chǎn)在市場(chǎng)投資，在的資產(chǎn)在市場(chǎng)投資，在0時(shí)刻購(gòu)買時(shí)刻購(gòu)買 0股股票，剩余的資金（可能是負(fù)的）股股票，剩余的資金（可能是負(fù)的）存（借貸）款，則到存（借貸）款，則到1時(shí)刻資金價(jià)值為，時(shí)刻資金價(jià)值為，)(1 (00101SVrSV這一價(jià)值應(yīng)該與期權(quán)在這一價(jià)值應(yīng)該與期權(quán)在1時(shí)刻的價(jià)值相等，即時(shí)刻

17、的價(jià)值相等，即)(1 ()()(000101SVrHSHV)(1 ()()(000101SVrTSTV解上述聯(lián)立方程可得解上述聯(lián)立方程可得)()1 ()(111,)()()()(11011110TVduruHVdudrrVTSHSTVHV*注0稱為套期保值比。稱為套期保值比。注意若取注意若取則則*式可形式地寫作式可形式地寫作11)()(111110VErTVqHVprV稱稱),(qp為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度（或等價(jià)鞅測(cè)度）。為風(fēng)險(xiǎn)中性概率測(cè)度（或等價(jià)鞅測(cè)度）。歐式期權(quán)的定價(jià)可以簡(jiǎn)潔地表示成歐式期權(quán)的定價(jià)可以簡(jiǎn)潔地表示成“風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下，期權(quán)到期價(jià)值的數(shù)學(xué)期望下，期權(quán)到期價(jià)值的數(shù)學(xué)期望”。

18、多期二杈樹模型多期二杈樹模型SuSdSSu2udSSd2Su3Sd3Sud2dSu2Su4Sd4dSu3Sdu22Sud3Stock price,)(KaSVnn期權(quán)價(jià)值期權(quán)價(jià)值注5. Black-Sholes模型當(dāng)考慮股票價(jià)格隨時(shí)間連續(xù)變動(dòng)情形時(shí)，當(dāng)考慮股票價(jià)格隨時(shí)間連續(xù)變動(dòng)情形時(shí)，Black-Scholes給出了市場(chǎng)的如下描述：給出了市場(chǎng)的如下描述： 僅考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的證券市場(chǎng)。市場(chǎng)中僅有一種債僅考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的證券市場(chǎng)。市場(chǎng)中僅有一種債券和一種股票。設(shè)債券在券和一種股票。設(shè)債券在t t時(shí)刻的價(jià)格時(shí)刻的價(jià)格P P0 0(t)(t)，股票股票在在t t時(shí)刻的價(jià)格時(shí)刻的價(jià)格P(t).P(t).滿足

19、方程：滿足方程：pPpPTttdBtPdttbPtdPTtdttrPtdP)0()0(, 0)()()()(, 0)()(, 0000考慮考慮T時(shí)刻到期的歐式期權(quán)，假定到期時(shí)，期權(quán)時(shí)刻到期的歐式期權(quán)，假定到期時(shí)，期權(quán)的內(nèi)在價(jià)值為的內(nèi)在價(jià)值為V(T)=g(P(T);設(shè)期權(quán)在設(shè)期權(quán)在0時(shí)刻價(jià)時(shí)刻價(jià)格為格為V(0); 現(xiàn)考慮現(xiàn)考慮0時(shí)刻初始值為時(shí)刻初始值為X(0)=V(0)的的投資。設(shè)在投資。設(shè)在t時(shí)刻購(gòu)買股票的股數(shù)為時(shí)刻購(gòu)買股票的股數(shù)為 (t),則則dttPttXrtdPttdX)()()()()()()()()()()()(tdBttPdttPrbttrX設(shè)設(shè)V(t,x)表示在表示在t時(shí)刻股票價(jià)

20、格為時(shí)刻股票價(jià)格為x時(shí)，期權(quán)的價(jià)值時(shí)，期權(quán)的價(jià)值,則則dBPVdtVPbPVVtdPVdxVdtVxtdVxxxxtxxxt21)(21),(222(5.1)(5.2)令令 V(0,P(0)=X(0),V(t,P(t)=X(t), g(P(T)=X(T)即在即在(4.1),(4.2) 兩式中令兩式中令dt,dB系數(shù)相等，則系數(shù)相等，則得得)(,(tPtVxt),(),(21),(),(23xtrVxtVxxtrxVxtVxxxt終端條件終端條件)(),(xgxTVBlack-Scholes方程。方程。(5.3)另一方面，利用隨機(jī)分析理論可以證明，設(shè)另一方面，利用隨機(jī)分析理論可以證明，設(shè) 是使股

21、票價(jià)格貼現(xiàn)過程是使股票價(jià)格貼現(xiàn)過程 為鞅的測(cè)度，為鞅的測(cè)度，稱為等價(jià)鞅測(cè)度，則歐式期權(quán)在稱為等價(jià)鞅測(cè)度，則歐式期權(quán)在t時(shí)刻的價(jià)時(shí)刻的價(jià)值為值為Q)(tPert|)(),(tTPgExtVF(4.4)通過解偏微分方程通過解偏微分方程(5.3)或用概率論中的期望定義解或用概率論中的期望定義解(5.4)都可以得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為都可以得到歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為)()(),(2)(1dKedxxtVtTr式中式中;)(21()log(21tTtTrKxdtTdd12Black-Scholes公式公式衍生證券定價(jià)問題的進(jìn)一步研究方向衍生證券定價(jià)問題的進(jìn)一步研究方向 放寬理想市場(chǎng)假設(shè)（如有賣空限制，交易

22、費(fèi)等） 對(duì)新型衍生證券進(jìn)行定價(jià) 模型改進(jìn)（如隨機(jī)利率，隨機(jī)波動(dòng)率，跳過程等） 不完備市場(chǎng)模型期權(quán)定價(jià)技術(shù)的應(yīng)用 期權(quán)定價(jià)理論雖然源于對(duì)金融期權(quán)的估值，但其期權(quán)定價(jià)理論雖然源于對(duì)金融期權(quán)的估值，但其主旨為降低不確定性所必須付出的成本問題，而主旨為降低不確定性所必須付出的成本問題，而不確定性是所有經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的本質(zhì)特征。這決定了不確定性是所有經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的本質(zhì)特征。這決定了期權(quán)定價(jià)技術(shù)期權(quán)定價(jià)技術(shù)(以下簡(jiǎn)稱以下簡(jiǎn)稱0PT)的應(yīng)用絕不僅僅局限的應(yīng)用絕不僅僅局限于對(duì)以金融資產(chǎn)為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)。許多現(xiàn)實(shí)問于對(duì)以金融資產(chǎn)為標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)。許多現(xiàn)實(shí)問題在分析的過程中常?？梢园押诵膯栴}歸結(jié)為期題在分析的過程中常?？梢?/p>

23、把核心問題歸結(jié)為期權(quán)定價(jià)問題來處理，即歸結(jié)為確定期權(quán)價(jià)值的權(quán)定價(jià)問題來處理，即歸結(jié)為確定期權(quán)價(jià)值的5個(gè)個(gè)因素：執(zhí)行價(jià)格、現(xiàn)貨價(jià)格、到期時(shí)間、波動(dòng)率因素：執(zhí)行價(jià)格、現(xiàn)貨價(jià)格、到期時(shí)間、波動(dòng)率和無風(fēng)險(xiǎn)利率的分析計(jì)算。和無風(fēng)險(xiǎn)利率的分析計(jì)算。注目前期權(quán)定價(jià)理論主要應(yīng)用于目前期權(quán)定價(jià)理論主要應(yīng)用于1 1金融衍生證券的定價(jià)金融衍生證券的定價(jià) 2 2保險(xiǎn)合同的定價(jià)保險(xiǎn)合同的定價(jià) 3 3政府政策與行為政府政策與行為 4 4個(gè)人家庭決策個(gè)人家庭決策 5 5投資決策投資決策 6 ARCH模型及其應(yīng)用在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中, 收益率的建模研究一直具有很重收益率的建模研究一直具有很重要的地位。其中對(duì)一階矩的刻

24、畫是比較容易要的地位。其中對(duì)一階矩的刻畫是比較容易,所以所以人們將注意力都放在了對(duì)二階矩的建模上人們將注意力都放在了對(duì)二階矩的建模上,也就是也就是對(duì)收益率波動(dòng)的計(jì)量建模。對(duì)收益率波動(dòng)的計(jì)量建模。 經(jīng)典資本市場(chǎng)理論在描述股票市場(chǎng)收益率變化經(jīng)典資本市場(chǎng)理論在描述股票市場(chǎng)收益率變化時(shí)時(shí),所采用的計(jì)量模型一般都假定收益率方差保持所采用的計(jì)量模型一般都假定收益率方差保持不變。這一模型運(yùn)用簡(jiǎn)便不變。這一模型運(yùn)用簡(jiǎn)便,常用來預(yù)測(cè)和估算股票常用來預(yù)測(cè)和估算股票價(jià)格。但對(duì)金融數(shù)據(jù)的大量實(shí)證研究表明價(jià)格。但對(duì)金融數(shù)據(jù)的大量實(shí)證研究表明,有些假有些假設(shè)不甚合理。一些金融時(shí)間序列常常會(huì)出現(xiàn)某一特設(shè)不甚合理。一些金融時(shí)

25、間序列常常會(huì)出現(xiàn)某一特征的值成群出現(xiàn)的現(xiàn)象。征的值成群出現(xiàn)的現(xiàn)象。注為了尋求對(duì)股票市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)行為更為準(zhǔn)確的描述和為了尋求對(duì)股票市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)行為更為準(zhǔn)確的描述和分析方法分析方法,許多金融學(xué)家和計(jì)量學(xué)家嘗試用不同的模型許多金融學(xué)家和計(jì)量學(xué)家嘗試用不同的模型與方法處理這一問題。如與方法處理這一問題。如ARMA模型，模型，ARIMA模型，模型，隱隱MARKOV模型等，但被認(rèn)為是最集中反映了方差模型等，但被認(rèn)為是最集中反映了方差變化特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)時(shí)間序列分析的模變化特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)時(shí)間序列分析的模型型,是是Engle于于1982年提出的年提出的ARCH模型。模型。ARCH模型模型

26、是過去是過去20年內(nèi)金融計(jì)量學(xué)發(fā)展中最重大的創(chuàng)新。目前年內(nèi)金融計(jì)量學(xué)發(fā)展中最重大的創(chuàng)新。目前所有的波動(dòng)率模型中所有的波動(dòng)率模型中,ARCH類模型無論從理論研究的類模型無論從理論研究的深度還是從實(shí)證運(yùn)用的廣泛性來說都是獨(dú)一無二的。深度還是從實(shí)證運(yùn)用的廣泛性來說都是獨(dú)一無二的。設(shè)隨機(jī)序列設(shè)隨機(jī)序列Yt滿足滿足1,1tYYttt其中其中 為弱白噪聲，滿足鞅差條件為弱白噪聲，滿足鞅差條件ttEtt0)|(1且設(shè)且設(shè)tttuac212其中其中 為強(qiáng)白噪聲。為強(qiáng)白噪聲。)(tuu (6.1)(6.2)考慮考慮Engle最初的最初的ARCH(1)模型模型(6.3)給出了模型的預(yù)測(cè)公式，給出了模型的預(yù)測(cè)公式，

27、(6.4)則表明模型具則表明模型具有時(shí)變性的波動(dòng)率。有時(shí)變性的波動(dòng)率。 實(shí)證分析表明時(shí)變性波動(dòng)率更能描述真實(shí)的股票實(shí)證分析表明時(shí)變性波動(dòng)率更能描述真實(shí)的股票行情變化，反映外部沖擊對(duì)股市造成的影響，便于行情變化，反映外部沖擊對(duì)股市造成的影響，便于進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)。進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)。 由由(5.1)-(5.2)式易得，過程相鄰時(shí)刻的條件均值與式易得，過程相鄰時(shí)刻的條件均值與方差分別為方差分別為11)|(tttacYYVarhthhttYYYE11)|(6.3)(6.4)注廣義廣義ARCH模型模型ARCH(1)模型雖然較好的解釋了波動(dòng)率聚類現(xiàn)象，模型雖然較好的解釋了波動(dòng)率聚類現(xiàn)象，但它有很多缺陷，在其后的工

28、作中但它有很多缺陷，在其后的工作中,Engle及其同及其同事沿著許多方向?qū)υ撃Ｐ瓦M(jìn)行了拓展。事沿著許多方向?qū)υ撃Ｐ瓦M(jìn)行了拓展。例如，在考慮風(fēng)險(xiǎn)與投資回報(bào)之間的關(guān)系時(shí)例如，在考慮風(fēng)險(xiǎn)與投資回報(bào)之間的關(guān)系時(shí),由于投由于投資者是依據(jù)當(dāng)前信息而持有證券資者是依據(jù)當(dāng)前信息而持有證券,當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)(條件方差條件方差)增大時(shí)增大時(shí),投資者要求的投資補(bǔ)償也就大。因此投資者要求的投資補(bǔ)償也就大。因此,條件方條件方差的變化也會(huì)影響收益率條件期望的變化。與其他研差的變化也會(huì)影響收益率條件期望的變化。與其他研究者合作究者合作,Engle在在ARCH的基礎(chǔ)上的基礎(chǔ)上,建立了建立了ARCH-M模型來分析時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)的收益補(bǔ)償

29、。期望收益率取決于模型來分析時(shí)變風(fēng)險(xiǎn)的收益補(bǔ)償。期望收益率取決于時(shí)變性的方差和協(xié)方差時(shí)變性的方差和協(xié)方差,從而自身也隨時(shí)間變化。從而自身也隨時(shí)間變化。 ARCH(1)模型的各種拓展表述模型的各種拓展表述 ARCH(q)模型（模型（Engle 1982)0)|(212itttitqiitEuac GARCH(p,q)模型模型(Bollerslev 1986)pjjtjqiititiiiihchVarE121211)|(0)|( GARCH-M 模型模型(Engle, Lilien, Robbins 1987)ttttthbXY滿足滿足GARCH模型模型參考文獻(xiàn)參考文獻(xiàn)1 Engle Robert

30、 F. Autoregression conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of U.K.inflation, Econometrica,1982,50(4):987_10082 Christain G ARCH Models and Financial Applications Springer,19973 T. Bollerslev. Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity, Journal of Econometrics 31,

31、 307-327, (1986).注7 利率期限結(jié)構(gòu)理論 在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中一部分人通過儲(chǔ)蓄或購(gòu)在社會(huì)經(jīng)濟(jì)生活中一部分人通過儲(chǔ)蓄或購(gòu)買債券來保存多余的資金，而部分家庭和廠商買債券來保存多余的資金，而部分家庭和廠商也可以通過貸款獲得資金。資金的提供不是無也可以通過貸款獲得資金。資金的提供不是無償?shù)?，利息就是借入資金的個(gè)體為了在一段時(shí)償?shù)?，利息就是借入資金的個(gè)體為了在一段時(shí)間里使用資金而必須支付給資金出借人的補(bǔ)償。間里使用資金而必須支付給資金出借人的補(bǔ)償。顯然利息與投資本金和儲(chǔ)蓄時(shí)間有關(guān)；利息與顯然利息與投資本金和儲(chǔ)蓄時(shí)間有關(guān)；利息與期初投資本金的比值稱為該時(shí)期的利率。不同期初投資本金的比值稱為該時(shí)

32、期的利率。不同時(shí)期投資可能利率不同。利率的期限結(jié)構(gòu)理論時(shí)期投資可能利率不同。利率的期限結(jié)構(gòu)理論主要研究隨機(jī)波動(dòng)利率與（較長(zhǎng)）時(shí)期的對(duì)應(yīng)主要研究隨機(jī)波動(dòng)利率與（較長(zhǎng)）時(shí)期的對(duì)應(yīng)關(guān)系。關(guān)系。注經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為，在決定利率期限結(jié)構(gòu)過程中，投經(jīng)濟(jì)學(xué)家認(rèn)為，在決定利率期限結(jié)構(gòu)過程中，投資者對(duì)未來變動(dòng)的預(yù)期是致關(guān)重要的。然而，投資者對(duì)未來變動(dòng)的預(yù)期是致關(guān)重要的。然而，投資者對(duì)自己是否既有十分準(zhǔn)確地分析未來變動(dòng)的資者對(duì)自己是否既有十分準(zhǔn)確地分析未來變動(dòng)的能力是缺乏信心的。因此，一般情況下，假定投能力是缺乏信心的。因此，一般情況下，假定投資者對(duì)利率未來的變動(dòng)滿足一隨機(jī)過程。比較常資者對(duì)利率未來的變動(dòng)滿足一隨機(jī)過程

33、。比較常用的模型有用的模型有Cox-Ingersoll-Ross模型，模型，Hull-White-Vasicek模型。模型。由于利率期限結(jié)構(gòu)理論涉及到由于利率期限結(jié)構(gòu)理論涉及到“利息理論利息理論”的許的許多概念和多概念和“合理預(yù)期理論合理預(yù)期理論”的思想，這里不再深的思想，這里不再深入介紹。入介紹。8 公司資本結(jié)構(gòu)理論公司財(cái)務(wù)管理在西方經(jīng)濟(jì)理論體系中是金融理論中的公司財(cái)務(wù)管理在西方經(jīng)濟(jì)理論體系中是金融理論中的一個(gè)組成部分。它是專門研究企業(yè)如何進(jìn)行財(cái)務(wù)決策，一個(gè)組成部分。它是專門研究企業(yè)如何進(jìn)行財(cái)務(wù)決策，包括籌資、投資及股息分配政策，以實(shí)現(xiàn)企業(yè)價(jià)值或包括籌資、投資及股息分配政策，以實(shí)現(xiàn)企業(yè)價(jià)值或

34、企業(yè)財(cái)富最大化的一門科學(xué)。企業(yè)財(cái)富最大化的一門科學(xué)。該理論的研究重點(diǎn)集中在兩個(gè)方面：該理論的研究重點(diǎn)集中在兩個(gè)方面：1。公司最佳資本結(jié)構(gòu)的組合。即探討企業(yè)在投資時(shí)，。公司最佳資本結(jié)構(gòu)的組合。即探討企業(yè)在投資時(shí)，應(yīng)怎樣選擇使企業(yè)資金成本最低的資產(chǎn)組合，包括負(fù)應(yīng)怎樣選擇使企業(yè)資金成本最低的資產(chǎn)組合，包括負(fù)債與股票，短期負(fù)債與長(zhǎng)期負(fù)債；債與股票，短期負(fù)債與長(zhǎng)期負(fù)債；2。研究公司的最佳資產(chǎn)組合，即公司在制定投資政。研究公司的最佳資產(chǎn)組合，即公司在制定投資政策時(shí)，如何使企業(yè)在風(fēng)險(xiǎn)既定下，取得最大的投資收策時(shí)，如何使企業(yè)在風(fēng)險(xiǎn)既定下，取得最大的投資收益率。益率。注設(shè)市場(chǎng)滿足如下完美條件：設(shè)市場(chǎng)滿足如下完美

35、條件：1.公司處于沒有稅收的經(jīng)濟(jì)環(huán)境之中；公司處于沒有稅收的經(jīng)濟(jì)環(huán)境之中；2.公司的股息政策與企業(yè)價(jià)值無關(guān)；公司的股息政策與企業(yè)價(jià)值無關(guān)；3.公司發(fā)行新債務(wù)時(shí)，不會(huì)對(duì)公司已有債務(wù)的市公司發(fā)行新債務(wù)時(shí)，不會(huì)對(duì)公司已有債務(wù)的市場(chǎng)價(jià)值產(chǎn)生影響；場(chǎng)價(jià)值產(chǎn)生影響； 4. 公司沒有破產(chǎn)成本；公司沒有破產(chǎn)成本； 5.資本市場(chǎng)高度完善，即資金可以充分流動(dòng)，存資本市場(chǎng)高度完善，即資金可以充分流動(dòng)，存在充分競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制，因此有同樣預(yù)期收益率的證券在充分競(jìng)爭(zhēng)機(jī)制，因此有同樣預(yù)期收益率的證券有相同的價(jià)格，利率一致，存在充分信息。有相同的價(jià)格，利率一致，存在充分信息。MillerMiller證明了，在上述完美條件下，證明了，在上述完美條件下，企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值與其資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值與其資本結(jié)構(gòu)無關(guān)。注 由于由于Miller的定理是在一系列完美條件下推導(dǎo)的，的定理是在一系列完美條件下推導(dǎo)的，此后二十年中，此后二十年中， Miller的公司財(cái)務(wù)理論在眾多西方學(xué)的公司財(cái)務(wù)理論在眾多西方學(xué)者的支持下，又在一些不完美條件下進(jìn)行了拓展，到者的支持下，又在一些不完美條件下