第二節(jié)換元積分法

1、第二節(jié) 換元積分法要求：掌握用第一、二換元積分法求不定積分。重點：第一、二換元積分法。難點：選擇恰當?shù)淖兞看鷵Q。作業(yè)：習(xí)題42（）問題提出： 利用不定積分的基本積分表及性質(zhì)可以求出一些不定積分，但它畢竟是有限的，還有不少積分只靠上述方法是解決不了的，如、為了求出更多的不定積分，有必要研究求不定積分的其它方法，換元積分法是本節(jié)要介紹的一種方法.換元積分法其意思是用新變量去代換原變量，使原被積函數(shù)式變成一個比較簡單的或積分表中已有的形式.它實質(zhì)為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)運算的逆運算按引入新變量的方式分第一換元積分法和第二換元積分法.一、第一換元積分法復(fù)合函數(shù)的微分 已知函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)，因此導(dǎo)數(shù) ，微分 如

2、函數(shù)，令，得，導(dǎo)數(shù) ，微分 ，上式兩邊積分得，.再如.這里我們的思想方法是與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法一樣，引入中間變量來化簡運算.定理1 設(shè)函數(shù)具有原函數(shù)，且可導(dǎo)，則函數(shù)是函數(shù)的原函數(shù)，即有換元公式. 這個公式稱第一換元公式（或湊微分法）. 證明思路，上式兩邊求導(dǎo)，得.計算方法（1）分被積式為兩部分和，且的原函數(shù)易求； （2）對該積分求出的原函數(shù)中的換為函數(shù)，即.如 ，要想掌握第一換元法要熟記幾個常用的微分：， ，.下列分類舉例：1直接引入新變量（乘個常數(shù)或除個常數(shù)即可）例1求不定積分.解.一般地 積分例2求不定積分.解 .例3求不定積分.解 .例4求不定積分.解.2通過代數(shù)變形后再引入新變量例5求不

3、定積分.解.即有公式=.例6求不定積分.解 .例7求不定積分.解即有公式利用上述公式計算不定積分.解.例8求不定積分.解 因為，所以 .即有公式.3利用三角公式變形的積分常用的三角公式 ， .例9求不定積分.解即有公式.同理得公式.例10求不定積分.解.即有公式利用互余關(guān)系可求不定積分.解.即有公式 .得到一些以后經(jīng)常用到的需要記住的積分公式.（16）； （17）；（18）；（19）；（20）； （21）；（22）.例11求不定積分.解.例12求不定積分.解.對于被積函數(shù)是或時，均可利用公式，將被積函數(shù)降為一次方，再積分.例13求不定積分.解.對于被積函數(shù)是或時，將其化為或及或的一次方次，對于

4、（），利用公式，對于或，利用或，把被積函數(shù)化為只含的函數(shù)，再積分.例14求不定積分.解 .例15求不定積分.解.例16求不定積分.解.凡被積函數(shù)是與類函數(shù)相乘時，均可用公式與，變形后再積分.例17求不定積分.解凡被積函數(shù)為時，需用積化和差公式化為兩項和后再積分.，.說明第一換元法在積分中常用，如何選擇適當?shù)淖兞看鷵Q，卻沒有一般的方法可循，這種方法的特點是湊微分.要掌握該方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式.如幾個典型的湊微分法， ， ， ， ，.并善于根據(jù)這些公式，從被積式中湊出合適的微分因子.另外，還需熟悉一些典型的例子，并要多多練習(xí)，不斷積累經(jīng)驗.二、第二換元法由第一換元法例題可以看出，它們的

5、主要思想是通過適當選擇新變量，使原不定積分的被積式化為，而要容易求出原函數(shù)，使.由此得出不定積分，即.但用第一換元法可以解決的不定積分的類型仍受到限制，它既要求積分式適當分解為，又同時的原函數(shù)容易求，有些函數(shù)很難做到這一點.例如 不定積分. 解 求這個積分的主要困難是，所以令，則 .這就提示我們對一般不易用第一換元法求原函數(shù)的不定積分，能否用變量代換，使原積分的被積式，并且的原函數(shù)易求出，這就是我們要介紹的第二換元法.定理2 設(shè)是單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，并且，又設(shè)具有原函數(shù)，則有換元公式.其中是的反函數(shù).證明 設(shè)的原函數(shù)為，記，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，得到.即是的原函數(shù).所以有.下面

6、舉例說明公式的應(yīng)用.1三角代換例1計算不定積分.解 因為被積函數(shù)的定義域為，所以分區(qū)間討論.（1）當時，設(shè)，則， 為了保證反函數(shù)的單值、單調(diào)性，限制.則，于是 （2）當時，令，那么，由上面討論，得.綜上所述，當及時，有公式.例2計算不定積分.解 設(shè)，則，則，所以 又因為，且，所以 由上兩例可得公式 （23）、（24）.例3計算不定積分.解例4計算不定積分.解 設(shè)，.又因為，于是 .一般被積函數(shù)含有，因子，采用三角代換法.（1）當被積函數(shù)中含時，設(shè)；（2）當被積函數(shù)中含時，設(shè)；（3）當被積函數(shù)中含時，設(shè).另外，還可用公式計算之.如.下面利用前面給出的24個公式計算下列各題.例5計算不定積分.解 例6計算不定積分.解 2