必修5數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及題型歸納

1、數(shù)列一、數(shù)列的概念(1)數(shù)列定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列;(2)通項(xiàng)公式的定義：如果數(shù)列 an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 , 辦.1111：1,一,一 ,一 ,一2 3 4 5(3)數(shù)列的函數(shù)特征與圖象表示：456789序號(hào)：123456項(xiàng)：456789(4)數(shù)列分類：按數(shù)列項(xiàng)數(shù)是有限還是無限分：有窮數(shù)列和無窮數(shù)列；按數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的大小關(guān)系分：單調(diào)數(shù)列(遞增數(shù)列、遞減數(shù)列)、常數(shù)列和擺動(dòng)數(shù)列。例：下列的數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動(dòng)數(shù)列？(1) 1, 2, 3, 4, 5, 6,(

2、2)10, 9, 8, 7, 6, 5, 1, 0, 1, 0, 1, 0,(4)a, a, a, a, a,-S (n 1)Sn Sm(n>2)(5)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：an例：已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 2n2 3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式二、等差數(shù)列題型一、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示。用遞推公式表示為an an 1 d(n 2)或 an 1 an d(n 1)。例：等差數(shù)列an 2n 1 , an an 1 題型二、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

3、an a1 (n 1)d ；等差數(shù)列(通?？煞Q為 AP數(shù)列)的單調(diào)性：d 0為遞增數(shù)列，d 0為常數(shù)列，d 0為遞減數(shù)列。例：1.已知等差數(shù)列 an中，a7 a9 16, a4 1,則a12等于()A. 15 B. 30C. 31 D. 642.an是首項(xiàng)a1 1,公差d 3的等差數(shù)列，如果an 2005,則序號(hào)n等于(A) 667(B) 668(C) 669(D) 670題型三、等差中項(xiàng)的概念:定義：如果a, A, b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)。其中 Aa, A, b成等差數(shù)列A 土上即：2an12an an 2(2anan m an m)例：1.設(shè)an是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若

4、aa2a3 15 , a1a2a3 80,貝U a11a12a13A. 120B. 105C.90D. 752.設(shè)數(shù)列an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12,前三項(xiàng)的積為48,則它的首項(xiàng)是（）A. 1B.2C.4D.8題型四、等差數(shù)列的性質(zhì):(1)在等差數(shù)列an中,從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰二項(xiàng)的等差中項(xiàng);(2)在等差數(shù)列an中,相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列是等差數(shù)列；(3)在等差數(shù)列an中,對任意 m , n N , an am (n m)d , dan am / (m n);n m(4)在等差數(shù)列an中,an a paq ；題型五、等差數(shù)列的前n和的求和公式：Snn(a an)na1n(n

5、 1)d2(a1d) no2(Sn An2 Bn(A,B 為常數(shù))an是等差數(shù)列遞推公式：Sn(a an)n(am an (m 1) ) n例：1.如果等差數(shù)列(A) 142.設(shè)Sn是等差數(shù)列A. 133.設(shè)等差數(shù)列斗an中,(B)a的前B. 35a321a4 a5那么 aa2. ay(C) 28(D) 35n項(xiàng)和，已知11,則Sy等于（C. 49D. 63的前n項(xiàng)和為Sn ,若& 72，則a2a4a94.若一個(gè)等差數(shù)列前 3項(xiàng)的和為34,最后3項(xiàng)的和為146,且所有項(xiàng)的和為A.13 項(xiàng)B.12 項(xiàng)C.11 項(xiàng)390,則這個(gè)數(shù)列有（）D.10 項(xiàng)5.設(shè)等差數(shù)列 & 的前n項(xiàng)和為

6、Sn,若% 5a3則S9S56.已知an數(shù)列是等差數(shù)列，a10 10,其前10項(xiàng)的和S1070,則其公差d等于（）2A. 一31C.-32D.37.設(shè) an為等差數(shù)列,S為數(shù)列 an的前n項(xiàng)和，已知 S7=7, Si5=75, Tn為數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和，求Tn。題型六.對與一個(gè)等差數(shù)列，Sn, S2n Sn,S3n S2 n仍成等差數(shù)列。例：1.等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為（）A.130B.170C.210D.2602 .一個(gè)等差數(shù)列前 n項(xiàng)的和為48,前2n項(xiàng)的和為60,則前3n項(xiàng)的和為3 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S414,S10S730,貝

7、|JS9=4. （06全國II）設(shè)Sn是等差數(shù)列 an的前Sq1 一 Sn項(xiàng)和，右一=一，則=S63S123A. 一10C.D.題型七判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列的方法:定義法:an 1 and（常數(shù)）（nN） a0是等差數(shù)列中項(xiàng)法:2an 1 an an 2(n N ) an是等差數(shù)列通項(xiàng)公式法:ankn b （k,b為常數(shù)）an是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式法：Sn An2 Bn（A, B為常數(shù)） an是等差數(shù)列例：1.已知一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn 2n2 4,則數(shù)列an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷22 .已知一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn 2n ,則數(shù)

8、列an為（）A.等差數(shù)列B.等比數(shù)列C.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列D.無法判斷3 .數(shù)列 an 滿足 a二8, a4 2,且 an 2 2an 1 an 0 （n N ）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；題型八.數(shù)列最值（1）4 0, d 0時(shí)，Sn有最大值；a1 0, d 0時(shí)，Sn有最小值；2（2） Sn取值的求法：右已知Sn , Sn的取值可求二次函數(shù) Sn an bn的取值；可用二次函數(shù)最值的求法（nN）；或者求出an中的正、負(fù)分界項(xiàng)，即:,an 0an右已知an,則Sn最值時(shí)n的值(n N )可如下確定或an i 0an i例：1 .等差數(shù)列 an中，ai 0, S9 S12,則前 項(xiàng)的和最大

9、。2 .設(shè)等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn,已知 a3 12, S12 0, S3 0求出公差d的范圍，指出Si, S2, , S12中哪一個(gè)值最大，并說明理由。3 .已知an是等差數(shù)列，其中 a131,公差d 8。(1)數(shù)列an從哪一項(xiàng)開始小于 0?(2)求數(shù)列an前n項(xiàng)和的最大值，并求出對應(yīng) n的值.題型九.利用anS1 (n 1)求通項(xiàng).nSn Sn 1 (n 2)21 .已知數(shù)列 an 的刖n項(xiàng)和 Snn 4n 1,則2 .設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S=2n2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；13 .已知數(shù)列 an 中，a13,刖 n和 Sn (n 1)(an 1) 12求證：數(shù)列 an是等差數(shù)列求數(shù)

10、列an的通項(xiàng)公式24 .設(shè)數(shù)列an的刖n項(xiàng)和Sn n ,則a8的值為()(A) 15(B) 16(C) 49(D) 64等比數(shù)列等比數(shù)列定義：一、遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式遞推關(guān)系：an 1 anq通項(xiàng)公式：an a1 qn 1推廣：an am qn m1 .在等比數(shù)列 an中，a14,q 2 ,則an 2 .在等比數(shù)列 an中，a22, a5 54,貝Ua8=3 .在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列 an中，首項(xiàng)ai 3,前三項(xiàng)和為21,則a3 a4注A 33B 72C 84D 189二、等比中項(xiàng)：若三個(gè)數(shù) a,b,c成等比數(shù)列，則稱 b為a與c的等比中項(xiàng)，且為 bJOB,注：b2 ac是成等比數(shù)列的必要而不

11、充分條件.例：1.2 、,3和2 、3的等比中項(xiàng)為()(A)1(B) 1(C) 1(D)2三、等比數(shù)列的基本性質(zhì)，(1) (1)若m n p q,則 am an ap aq (其中 m,n, p,q N )(2) qn m a-，an2 an m an m (n N ) am(3) an為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列.(4) an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列an是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列.例：1 .在等比數(shù)列 an中，a1和a10是方程2x2 5x 1 0的兩個(gè)根，則a4 a7 ()(5) ,2_11(A) -(B)(C)(D)-22222 .在等比數(shù)列 an 中，a1 a6 33, a

12、3a4 32, an an 1求an若 Tn lg a lga2lgan,求Tn3 .等比數(shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，且a5a6a4a718,則 log3alog3a2Llog3a10()A. 12 B. 10 C. 8 D. 2+log35nai(q 1)四、等比數(shù)列的前 n項(xiàng)和，Sna(1 qn)a anq(q 1)1 q 1 q例：1.已知等比數(shù)列an的首相a15,公比q 2,則其前n項(xiàng)和Sn 2 .設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn ,已a(bǔ)26, 6a1 a3 30 ,求an和Sn3 .設(shè) f(n) 2 24 27 210 L23n 10(n N),則 f(n)等于()2 n2 n 12 n 3

13、2 n 4A. -(81) B. y (81) C. -(81) D. -(81)五.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)若數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和，kN*,那么Sk ,S2kSk，S3kS2k成等比數(shù)列例：1.一個(gè)等比數(shù)列前 n項(xiàng)的和為48,前2 n項(xiàng)的和為60,則前3 n項(xiàng)的和為()A. 83B. 108C. 75 D. 632.已知數(shù)列an是等比數(shù)列，且 Sm10, S2m30,則S3m 6 .等比數(shù)列的判定法a(1)定乂法：q (常數(shù))an為等比數(shù)列；an2 中項(xiàng)法：an 1an an 2(an 0) an為等比數(shù)列；(3)通項(xiàng)公式法：an k qn (k, q為常數(shù))an為等比數(shù)列

14、；(4)前n項(xiàng)和yt： Sn k(1 qn) (k,q為常數(shù))an為等比數(shù)列。Sn k kqn (k,q為常數(shù))an為等比數(shù)列。t § (n 1)7 .利用an求通項(xiàng).S Sn 1 (n 2)1 一.一一.例：1.數(shù)列an的刖n項(xiàng)和為Sn,且a1=1,an1- Sn ,n=1, 2,3, ,求a2,a3,a4的值及數(shù)列3an的通項(xiàng)公式.),證明數(shù)列an1是2.已知數(shù)列 an的首項(xiàng)a1 5,前n項(xiàng)和為Sn,且Sn1 Sn n 5(n N等比數(shù)列.求數(shù)列通項(xiàng)公式方法1 1).公式法(定義法)根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)例：1已知等差數(shù)列an滿足：a3 7,a5 a7 26,求an；

15、2 .已知數(shù)列an滿足a2,an an 11(n 1),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;3 .數(shù)列an滿足a =8, a4 2,且an 2 2an 1 an 0 (n N ),求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;一八114 .已知數(shù)列an滿足a12, 2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;an 1 a n.一 一 .115 .設(shè)數(shù)列an滿足a10且 1,求an的通項(xiàng)公式1 a n 11 a n6 .已知數(shù)列an滿足a2, an 3an 1(n 1),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;27 .已知數(shù)列為滿足a12, a24且an 2 anan 1n N),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;8 .已知數(shù)列an滿足a12,且 an 1 5n 12(an 5

16、n) ( nN ),求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式;9 .已知數(shù)列an滿足a2,且 an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n2) ( n N ),求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)累加法1、累加法 適用于：an 1 an f (n)a2 af (1)若 an 1 an f (n) (n 2),則a3 a2f L Lan 1 an f(n)兩邊分別相加得an 1 aif (n)1例：1.已知數(shù)列an滿足a1,21an 1 an 2，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4n2 12.已知數(shù)列an滿足an 1an 2n 1, a1 1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。3.已知數(shù)列an滿足an 1an 2 3n 1, a13 ,求

17、數(shù)列an的通項(xiàng)公式。4.設(shè)數(shù)列an滿足a12n 1-.-2 , an 1 an 3 2,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式(3)累乘法適用于： an 1 f (n)an口an 1石an.a2f(n),則一a1aq f(1), -3a2f(2),LLT f(n)例：1.已知數(shù)列an滿足an2(n1)5n an,a13,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。2 .已知數(shù)列an滿足a1ann，求 an。3 .已知a13,an 13n 1；一；an3n 2(n1),求 an。(4)待定系數(shù)法適用于an 1 qanf(n)解題基本步驟:1、確定f (n)2、設(shè)等比數(shù)列an3、列出關(guān)系式an 11f(n 1)2an2 f (n)4、比

18、較系數(shù)求i, 5、解得數(shù)列 an 1f (n)的通項(xiàng)公式6、解得數(shù)列 an的通項(xiàng)公式例：1.已知數(shù)列an中，ai 1,an 2an 1 1(n 2),求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。2 .在數(shù)列 an中，若a1 1,烝12街 3(n 1),則該數(shù)列的通項(xiàng) an 3 .已知數(shù)列an滿足an 1 2an 3 5n, a16 ,求數(shù)列 a。的通項(xiàng)公式。解：設(shè) an 1 x 5n 1 2(an x 5n)一,51,1、n14 .已知數(shù)列an 中，a1 一，an1 -an(-),求 an632n 15.已知數(shù)列an滿足an 1 2an 4 3 , a1 1,求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。(5)遞推公式中既有 Sn又有

19、an. 一 ,S1,n 1把已知關(guān)系通過an轉(zhuǎn)化為數(shù)列 an或Sn的遞推關(guān)系，然后采用相應(yīng)的方法求解。Sn Sn 1，n 21 .1 .數(shù)列an的刖 n 項(xiàng)和為Sn,且a1=1, an 1- Sn, n=1, 2,3,求a2,a3,a4的值及數(shù)列an3的通項(xiàng)公式.12.已知數(shù)列 an 中，a1 3,刖 n和 Sn -(n 1)(an 1) 12求證：數(shù)列 an是等差數(shù)列求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式1 ,八、一,3.已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前n項(xiàng)和Sn滿足Sn (an 1)(小 2),且a2,a4,a9成等比數(shù)列，6求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(6)倒數(shù)變換法適用于分式關(guān)系的遞推公式，分子只有一項(xiàng)2a

20、 例：1.已知數(shù)列an滿足an 1 ,a1 1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an 2數(shù)列求和1.直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和。Snn(aian)2naiSnnai(q 1)ai (1 qn)/ 小 公比含字母時(shí)一定要討論一 (q 1)i q例：1。已知等差數(shù)列an滿足41, a23 ,求前n項(xiàng)和Sn2 .已知等比數(shù)列an滿足ai 1, a23,求前n項(xiàng)和Sn3 .設(shè) f(n) 2 24 27 210 L 23n 10(n N),則 f(n)等于()2 n2 n 12 n 32n 4A.(81) B. (81)C.(81) D.(81)77772.錯(cuò)位相減法求和：如： an等差，bn等比，求a1bl a2b2anbn的和.2n