等腰三角形典型例題練習(xí)(含答案)

1、等腰三角形典型例題練習(xí)等腰三角形典型例題練習(xí)1 .選擇題（共2小題）1 .如圖，/ C=90°, AD平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm ,則點 D到AB的距離為（）A . 5cmB . 3cmC. 2cmD.不能確定2 .如圖，已知 C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在 AB的同一側(cè)作等邊 ACD 和等邊ABCE,連接AE交CD于M,連接BD交CE于N.給出以下三個結(jié)論： AE=BD CN=CM MN / ABA. 0B. 1C. 2D. 32 .填空題（共1小題）3 .如圖，在正三角形 ABC中，D, E, F分別是 BC, A

2、C, AB上的點，DEAC, EFXAB , FDXBC,貝U DEF 的面積與4ABC的面積之比等于.三.解答題（共15小題）4.在4ABC中，AD是/ BAC的平分線，E、F分別為 AB、AC上的點，且/ EDF+/ EAF=180 °,求證DE=DF5 .在ABC中，/ ABC、/ ACB的平分線相交于點 O,過點。作DE / BC,分別交 AB、AC于點D、E.請說明 DE=BD+EC .BC6 . 已知：如圖，D是ABC的BC邊上的中點，DE，AB, DFXAC ,垂足分別為 E, F,且DE=DF .請判斷ABC 是什么三角形？并說明理由.7 .如圖，4ABC是等邊三角形

3、，BD是AC邊上的高，延長 BC至E,使CE=CD .連接DE.(1) / E等于多少度？(2) ADBE是什么三角形？為什么？8 .如圖，在 4ABC 中，/ ACB=90 °, CD 是 AB 邊上的高，/ A=30°.求證：AB=4BD .9 .如圖，4ABC中，AB=AC，點D、E分別在 AB、AC的延長線上，且 BD=CE , DE與BC相交于點F.求證: DF=EF .10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜邊./ B的角平分線交 AC于D,過C作CE與BD垂直且交BD延長線 于E,求證：BD=2CE .11 . (2012?牡丹江)如圖 ，4ABC中.

4、AB=AC , P為底邊BC上一點，PE± AB , PF± AC, CH LAB ,垂足分 別為E、F、H.易證PE+PF=CH .證明過程如下：如圖，連接AP. PEXAB , PF± AC, CH LAB, Saabp=-AB ?PE, Saacp=-AC?PF, Saabc=-AB?CH .222又 saabp+Saacp=Saabc ,工AB ?PE+2aC ?PF=1aB ?CH .222 AB=AC ,PE+PF=CH .(1)如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：(2)填空：若/

5、 A=30 °, AABC的面積為49,點P在直線BC上，且P到直線AC的距離為PF,當(dāng)PF=3時，則 AB邊上的高 CH=.點P到AB邊的距離 PE=.AA圖 圖12 .數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：在等邊三角形 ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且 ED=EC ,如圖，試確定線段 AE與DB的大小 關(guān)系，并說明理由小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：(1)特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1,確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE DB (填 法”,之”或=").(2)特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE

6、DB (填 法"，之"或=").理由如下：如圖2,過點E作EF/ BC,交AC于點F.(請你完成以下解答過程)(3)拓展結(jié)論，設(shè)計新題在等邊三角形 ABC中，點E在直線 AB上，點D在直線BC上，且ED=EC .若4ABC的邊長為1, AE=2 ,求CD的長(請你直接寫出結(jié)果).圖1圖213 .已知：如圖， AF平分/ BAC , BCLAF于點E,點D在AF上，ED=EA ,點P在CF上，連接 PB交AF于點 M .若/ BAC=2 / MPC,請你判斷/ F與/ MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.14 .如圖，已知 4ABC是等邊三角形，點 D、E分別在BC、AC

7、邊上，且 AE=CD , AD與BE相交于點 F.(1)線段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論.(2)求/ BFD的度數(shù).BD C15 .如圖，在 4ABC中，AB=BC , / ABC=90 °, F為AB延長線上一點，點 E在BC上，BE=BF ,連接 AE、EF 和CF, 求證：AE=CF .16 .已知：如圖，在 4OAB 中，/ AOB=90 °, OA=OB ,在 EOF 中，/ EOF=90 °, OE=OF,連接 AE、BF.問線 段AE與BF之間有什么關(guān)系？請說明理由.17 . （2006?郴州）如圖，在 4ABC中，AB=AC , D是BC上

8、任意一點，過 D分別向AB , AC引垂線，垂足分別為 巳F, CG是AB邊上的高.（1） DE, DF, CG的長之間存在著怎樣的等量關(guān)系？并加以證明；（2）若D在底邊的延長線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若不成立，又存在怎樣的關(guān)系？請說明理由.18.如圖甲所示，在 4ABC中，AB=AC ,在底邊BC上有任意一點P,則P點到兩腰的距離之和等于定長（腰上 的高），即PD+PE=CF,若P點在BC的延長線上，那么請你猜想 PD、PE和CF之間存在怎樣的等式關(guān)系？寫出你 的猜想并加以證明.甲j等腰三角形典型例題練習(xí)參考答案與試題解析一.選擇題（共2小題）1 .如圖，/ 0=90°, AD

9、平分/ BAC交BC于D,若BC=5cm , BD=3cm ,則點 D到AB的距離為（）c D 5A . 5cmB . 3cmC. 2cmD.不能確定考點：角平分線的性質(zhì).分析：由已知條件進行思考，結(jié)合利用角平分線的性質(zhì)可得點D到AB的距離等于 D到AC的距離即CD的長，問題可解.解答：解：C=90°, AD平分/ BAC交BC于D. D到AB的距離即為 CD長CD=5 - 3=2故選C.2.如圖，已知 C是線段AB上的任意一點（端點除外），分別以AC、BC為邊并且在 AB的同一側(cè)作等邊 ACD 和等邊BCE,連接AE交CD于M,連接BD交CE于N,給出以下三個結(jié)論：AE=BDCN=

10、CMMN / AB其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）DEAC BA . 0B . 1C. 2D. 3考點：平行線分線段成比例；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).分析：由4ACD和ABCE是等邊三角形，根據(jù) SAS易證得ACEA DCB ,即可得 正確；由 ACE DCB ,可得/ EAC=/NDC,又由/ ACD= / MCN=60 °,利用 ASA ,可證得 ACM DCN ,即可得 正確；又可證得 4CMN是等邊三角形，即可證得 正確.解答：解：. ACD 和 ABCE 是等邊三角形，ACD= Z BCE=60 °, AC=DC , EC=BC , . / ACD+ /

11、DCE= / DCE+/ ECB ,即/ACE=/DCB, /. ACEA DCB (SAS),.AE=BD ,故正確；/ EAC= / NDC , / ACD= / BCE=60 °,/ DCE=60 °,/ ACD= / MCN=60 °, . AC=DC , ACM DCN (ASA),CM=CN ,故正確；又/ MCN=180 - / MCA - / NCB=180 - 60 - 60 =60°,CMN是等邊三角形，NMC= ZACD=60 °,MN /AB ,故 正確.故選 D.二.填空題(共1小題)3.如圖，在正三角形 ABC中，D

12、, E, F分別是 BC, AC, AB上的點，DEAC, EFXAB , FDXBC,貝U DEF 的面積與4ABC的面積之比等于1 : 3 .考點：相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).分析：首先根據(jù)題意求得： / DFE=Z FED=Z EDF=60 °,即可證得 DEF是正三角形，又由直角三角形中，30。所對的直角邊是斜邊的一半，得到邊的關(guān)系，即可求得DF: AB=1 : V5,又由相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得結(jié)果.解答:解：. ABC 是正三角形，B=/C=/A=60°, . DEXAC , EFXAB , FDXBC,

13、 . / AFE= / CED= / BDF=90 °, ./ BFD= / CDE=/AEF=30/ DFE= Z FED= Z EDF=60 °, 圖J,BF 2 .DEF 是正三角形，BD : DF=1 : 加,BD: AB=1 : 3 ,ADEFA ABC ,+，=V3, .DF: AB=1 : V3,DEF的面積與ABC的面積之比等于1: 3.DF故答案為：1: 3.三.解答題（共15小題）4.在4ABC中，AD是/ BAC的平分線,E、F分別為 AB、AC上的點，且/ EDF+ ZEAF=180 °,求證考點： 分析：解答:即/ EMD= / FND=

14、90 °,全等三角形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義.過D作DM ±AB ,于M , DN，AC于N ,根據(jù)角平分線性質(zhì)求出 DN=DM ,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定 理和平角定義求出/ AED= ZCFD,根據(jù)全等三角形的判定 AAS推出EMDA FND即可.證明：過D作DM ±AB，于M , DN ±AC于N,. AD 平分/ BAC , DM ±AB , DN ±AC,DM=DN （角平分線性質(zhì)），/ DME= / DNF=90 °, . / EAF+/ EDF=180 °, . . / MED+ / AFD=360

15、T80 =180 °, . /AFD+ /NFD=180 °, . . / MED= / NFD ,在 EMD和4FND中 fZMED=ZDFN“ /DME=NDNF， EMDA FND , . DE=DF . 眸DM5 .在ABC中，/ ABC、Z ACB的平分線相交于點 O,過點O作DE / BC,分別交 AB、AC于點D、E.請說明 DE=BD+EC .BC考點：等腰三角形的判定與性質(zhì)一；平行線的性質(zhì).分析：根據(jù)OB和OC分別平分/ ABC和/ ACB ,和DE / BC ,利用兩直線平行， 內(nèi)錯角相等和等量代換， 求證出DB=DO , OE=EC .然后即可得出答案

16、.解答：解：在 4ABC中，OB和OC分別平分/ ABC和/ACB,/ DBO= / OBC , / ECO= / OCB , . DE / BC ,/ DOB= / OBC= / DBO , / EOC= / OCB= / ECO ,.DB=DO , OE=EC , DE=DO+OE ,DE=BD+EC .6 . 已知：如圖，D是ABC的BC邊上的中點，DE LAB, DFXAC ,垂足分別為 E, F,且DE=DF .請判斷ABC 是什么三角形？并說明理由.考點：等腰三角形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).。析:用（HL）證明EBD0FCD,從而得出/ EBD= Z FCD ,即可證明 AB

17、C是等腰三角形.解答：4ABC是等腰三角形.證明：連接 AD , DEXAB , DFXAC , . / BED= / CFD=90 °,且 DE=DF ,. D是4ABC 的BC邊上的中點，BD=DC ,RtA EBDRtAFCD (HL), . / EBD= / FCD , .ABC 是等腰三角形.7 .如圖，4ABC是等邊三角形，BD是AC邊上的高，延長 BC至E,使CE=CD .連接DE.(1) / E等于多少度？ ( 2) ADBE是什么三角形？為什么?考點：忤邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定.1分析：(1)由題意可推出/ ACB=60 °,/E=/CDE,然后根

18、據(jù)三角形外角的性質(zhì)可知：/ ACB= / E+/ CDE ,即可推出/ E的度數(shù)；(2)根據(jù)等邊二角形的性質(zhì)可知，BD不但為AC邊上的高，也是/ ABC的角平分線，即得：Z DBC=30 °,然后再結(jié)合(1)中求得的結(jié)論，即可推出 4DBE是等腰三角形.解答：:解：(1)ABC是等邊三角形，/ ACB=60°,CD=CE,E=/CDE, . / ACB=/E+/CDE, ZEZACB=-X 60"= 30” ，2 u(2) ABC 是等邊三角形，BDXAC, . / ABC=60 °, ZDBC="ZABC=30"，2/E=30

19、76;,，/DBC=/E,DBE 是等腰三角形.8 .如圖，在 4ABC 中，/ ACB=90 °, CD 是 AB 邊上的高，/ A=30°.求證：AB=4BD .考點：含30度角的直角三角形.分析：由4ABC中，/ ACB=90 °, / A=30 °可以推出AB=2BC ,同理可得 BC=2BD ,則結(jié)論即可證明.解答：解：. / ACB=90 °, /A=30 °, AB=2BC , /B=60°.又 CDAB, DCB=30 °, . . BC=2BD . . . AB=2BC=4BD .9 .如圖，AB

20、C中，AB=AC，點D、E分別在 AB、AC的延長線上，且 BD=CE , DE與BC相交于點F.求證: DF=EF .考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).1分析：過D點作DG / AE交BC于G點，由平行線的性質(zhì)得/ 1 = 72, / 4=73,再根據(jù)等腰三角形的性 質(zhì)可得/ B=/2,則/ B=/1,于是有DB=DG ,根據(jù)全等三角形的判定易得 DFGEFC,即可 得到結(jié)論.解答：證明：過D點作DG / AE交BC于G點，如圖，1 = 7 2, /4=/3,. AB=AC , . B=/2, . B=/1, DB=DG ,而 BD=CE , . . DG=CE ,在 DFG和

21、4EFC中rZ4=Z3/DFG :/EFC，1 DFG EFC, DF=EF .ldg=ce£10 .已知等腰直角三角形 ABC , BC是斜邊./ B的角平分線交 AC于D,過C作CE與BD垂直且交BD延長線 于E,求證：BD=2CE .B考點：全等三角形的判定與性質(zhì).分析:解答:延長CE, BA交于一點F,由已知條件可證得 4BFE全且 BEC,所以FE=EC ,即CF=2CE ,再通 過證明 ADB FAC 可得 FC=BD ,所以 BD=2CE .證明：如圖，分別延長 CE, BA交于一點F. BE XEC, ./ FEB= ZCEB=90 °, BE 平分/ AB

22、C , . / FBE= Z CBE ,又,.BE=BE, BFEA BCE (ASA). . FE=CE . . CF=2CE .AB=AC , / BAC=90 °, / ABD+ / ADB=90 °, / ADB= / EDC, . / ABD+ Z EDC=90 °.又. / DEC=90 °, / EDC+ / ECD=90 °, . . / FCA= / DBC= / ABD .ADBA AFC. FC=DB ,BD=2EC .11 . (2012?牡丹江)如圖 ，4ABC中.AB=AC , P為底邊BC上一點，PE±A

23、B , PF±AC , CH LAB ,垂足分別為E、F、H.易證PE+PF=CH .證明過程如下：如圖，連接AP., PEXAB , PF± AC , CHAB, . Szxabp=aB?PE, SaACP=AC?PF, Sa abc=aB ?CH . 乙£乙又Saabp+Saacp=Saabc,JaB?PE+AC?PF=JaB?CH.wqw AB=AC , PE+PF=CH .(1)如圖，P為BC延長線上的點時，其它條件不變，PE、PF、CH又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明：(2)填空：若/ A=30 °, AABC的面積為49,點P在

24、直線BC上，且P到直線AC的距離為PF,當(dāng)PF=3時，則 AB邊上的高 CH= 7 ,點P到AB邊的距離 PE= 4或10 .圖 圖等腰三角形的性質(zhì)；三角形的面積.(1)連接AP .先根據(jù)二角形的面積公式分別表不'出Saabp S/xacp，Saabc ,再由Saabp=Saacp+Saabc 即可得出 PE=PF+PH ；(2)先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出 AC=2CH ,再由4ABC的面積為49,求出CH=7 ,由于CH >PF： 則可分兩種情況進行討論： P為底邊BC上一點，運用結(jié)論 PE+PF=CH;P為BC延長線上的 火時，運用結(jié)論 PE=PF+CH .解：(1)如圖,P

25、E=PF+CH .證明如下： PEXAB , PF±AC , CHXAB, Saabp=-AB ?PE, Saacp=AC?PF, Saabc=4AB?CH ,2221'Saabp=Saacp+Saabc, AB?PEAC?PF+3aB?CH,又AB=AC , PE=PF+CH ;一一 222(2) .在 AACH 中，/ A=30 °, AC=2CH .CH=7.- SaABC=-AB ?CH , AB=AC , . . ,X2CH?CH=49 , .分兩種情況：P為底邊BC上一點，如圖. PE+PF=CH , .1. PE=CH - PF=7 - 3=4;P為B

26、C延長線上的點時，如圖. PE=PF+CH,PE=3+7=10 .故答案為 7; 4 或 10.12.數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：在等邊三角形 ABC中，點E在AB上，點D在CB的延長線上，且 ED=EC ,如圖，試確定線段 AE與DB的大小關(guān)系，并說明理由小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：(1)特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點E為AB的中點時，如圖1,確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AE = DB (填 法”，之或=").(2)特例啟發(fā)，解答題目解：題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AE = DB (填 多"，之"或=").理由如下：如圖

27、2,過點E作EF/ BC , 交AC于點F.(請你完成以下解答過程)(3)拓展結(jié)論，設(shè)計新題在等邊三角形 ABC中，點E在直線 AB上，點D在直線BC上，且ED=EC .若4ABC的邊長為1, AE=2 ,求CD考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).分析：(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出/D=/ ECB=30 °,求出/ DEB=30 °,求出BD=BE即可；(2)過E作EF/ BC交AC于F,求出等邊三角形 AEF ,證4DEB和 ECF全等，求出 BD=EF即 可；(3)當(dāng)D在CB的延長線上，E在AB的延

28、長線式時， 由(2)求出CD=3 ,當(dāng)E在BA的延長線上，D在BC的延長線上時，求出 CD=1 .的長(請你直接寫出結(jié)果)解答：解：(1)故答案為：=.(2)過 E 作 EF/ BC 交 AC 于 F,.等邊三角形 ABC , ABC= Z ACB= Z A=60 °, AB=AC=BC ,/ AEF= / ABC=60 °, / AFE= / ACB=60，即/ AEF= / AFE= / A=60 °, AEF是等邊三角形，AE=EF=AF ,/ ABC= / ACB= / AFE=60 °, . . / DBE= / EFC=120 °,

29、 / D+ / BED= / FCE+ / ECD=60 °, ,. DE=EC, D= /ECD, . / BED= Z ECF, 在 DEB和AECF中j Zdeb=Zecf“ ZDBE=ZEFC , DEBAECF, BD=EF=AE ,即 AE=BD ,故答案為：=.lde=ce(3)解：CD=1 或 3,理由是：分為兩種情況：如圖1E 圖1過 A 作 AM，BC 于 M ,過 E 作 EN，BC 于 N ,則 AM / EM , .ABC 是等邊三角形，AB=BC=AC=1 , AM ±BC, BM=CM= -BC=-, DE=CE , ENXBC, 二 CD=2

30、CN ,1.AM /EN, AMB ENB , .空_1_=2_,BE BN 2-1 BN.BN= 1,CN=1 + 1=.?, . . CD=2CN=3 ;22 2£圖二如圖2,作AM，BC于M ,過E作EN，BC于N ,貝U AM / EM ,.ABC 是等邊三角形，AB=BC=AC=1 ,-. AM ±BC, BM=CM= -BC=-, DE=CE , ENXBC, 二 CD=2CN ,221.AM / EN ,，迪二網(wǎng)，=工，MN=1 , CN=1 -1=1, . CD=2CN=1AE MN 2 MN2 213.已知：如圖， AF平分/ BAC , BCAF于點E,

31、點D在AF上，ED=EA ,點P在CF上，連接 PB交AF于點 M ,若/ BAC=2 / MPC,請你判斷/ F與/ MCD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).卜析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定和線段垂直平分線性質(zhì)求出AB=AC=CD ,推出/ CDA= / CAD= / CPM ,求出 / MPF= / CDM , / PMF= / BMA= / CMD ,在 DCM 和 PMF 中 根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可.卜答：解：/ F= /MCD ,理由是： AF 平分/ BAC , BCXAF , . / CAE= / BAE , Z AEC= ZAEB=

32、90 °, 在 ACE AABE 中Irj ZAEC=ZAEB . AE=AE , ACEA ABE (ASA) . AB=AC ,lzcae=zbae ,/ CAE= /CDE. .AM 是 BC 的垂直平分線，CM=BM , CE=BE , . . / CMA= Z BMA , . AE=ED , CEXAD , . AC=CD , . . / CAD= / CDA , / BAC=2 / MPC ,又,：乙 BAC=2 / CAD , . / MPC= / CAD , ./ MPC=/CDA, . / MPF= / CDM ,，/MPF=/CDM (等角的補角相等)， / DC

33、M+ / CMD+ / CDM=180 °, / F+/ MPF+ / PMF=180 °, 又. / PMF= / BMA= / CMD ,. / MCD= / F.14 .如圖，已知 4ABC是等邊三角形，點 D、E分別在BC、AC邊上，且 AE=CD , AD與BE相交于點 F. (1)線段AD與BE有什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論.(2)求/ BFD的度數(shù).BD C考點：等邊三角形胸性質(zhì)；全等三角形的判定與性加分析：(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知/BAC= / C=60°, AB=CA ,結(jié)合AE=CD ,可證明ABEA CAD ,從而證得結(jié)論；(2)根據(jù)/ B

34、FD= / ABE+ / BAD , / ABE= / CAD，可知/ BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 °.卜答：(1)證明：. ABC 為等邊三角形，/ BAC=/C=60°, AB=CA .在 ABE和ACAD中， fAB=AC，ZBAE=ZC ABE CAD AD=BE .kAE=CD(2)解：. / BFD= ZABE+ Z BAD ,又. ABECAD , ./ ABE= Z CAD ,，BFD= / CAD+ / BAD= / BAC=60 °.15 .如圖，在 4ABC中，AB=BC , / ABC=90 °, F為

35、AB延長線上一點，點 E在BC上，BE=BF ,連接 AE、EF 和CF, 求證：AE=CF .考點：全等三角形的判定與性質(zhì).分析：根據(jù)已知利用SAS即可判定ABECBF,根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得到AE=CF .解答：證明：ABC=90 °, ./ ABE= ZCBF=90 °,又. AB=BC, BE=BF , /.A ABE ACBF (SAS). . . AE=CF .16 .已知：如圖，在 4OAB 中，/ AOB=90 °, OA=OB ,在 EOF 中，/ EOF=90 °, OE=OF,連接 AE、BF.問線 段AE與BF之間有什么關(guān)系？請說明理由.考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形.分析：可以把要證明相等的線段 AE, CF放到AEO, BFO中考慮全等的條件，由兩個等腰直角三角形得AO=BO , OE=OF,再找夾角相等，這兩個夾角都是直角減去/BOE的結(jié)果，當(dāng)然相等了，由此可以證明 AEOBFO;延長BF交AE于D,交OA于C,可證明/ BDA= / AOB=90。，則AEBF.解答：解：AE與BF相等且垂直，理由：在AEO