最新八年級一次函數分段函數經典講解

1、精品文檔認清分段函數，解決收費問題定義：一般地，如果有實數a, 02, a3ki,k, 2k3bi,b2,b3且ai<a2<a函數Y與自變量X之間存在（，kix+bi x w aik 2x+b2 a i<x<a2的函數解析式，則稱該函數解析式為X的分Ksx+b3 a 2<x< a3應該指出：（一），函數解析式這個整體只是一個函數，并非是Y=KX+b Y=KX+b2等幾個不同函數的簡單組合，而kix+bi, k2x+b2是函數丫的幾種不同的表 達式.。所以上例中Y= :源I'd以雪弋魅髭?這個整體只是一個函數，不能認為 它是兩個不同的函數，只育覬110

2、期口 110X 80%混同一函數中的自變量X在兩種不同取值范圍 內的不同表達式。（二，由于k1,k2,k3b1,b2,b3是實數，所以函數Y在X的某個范圍內的特殊函數，如 正比例函數和常數函數。（三，由于問題的不同，當然分段函數也可能在自變量某范圍內不是一次函數而 是其他形式的函數，在這里我們不予討論。（四，一次函數的分段函數是簡單的分段函數。分段函數應用題分段函數是指自變量在不同的取值范圍內，其關系式（或圖象）也不同的函數，分段函數的應用題多設計成兩種情況以上，解答時需分段討論。在現實生活中存在著很多需分段計費的實際問題，因此，分段計算的應用題成了近幾年中考應用題的一種重要題型。收費問題與我

3、們的生活息息相關 ，如水費問題、電費問題、話費問題等，這些收費 問題往往根據不同的用量，采用不同的收費方式.以收費為題材的數學問題多以分段函數的形式出現在中考試題中，下面請看幾例一、話費中的分段函數例1 （四川廣元）某移動公司采用分段計費的方法來計算話費，月通話時間x （分鐘）與相應話費y （元）之間的函數圖象如圖 1所示：（1）月通話為100分鐘時，應交話費 元；（2）當x>100時，求y與x之間的函獲系式;（3）月通話為280分鐘時，應交話費多少元？精品文檔分析：本題是一道和話費有關的分段函數問題，通過圖象可觀察到，在 分鐘之間月話費y（元）是月通t時間x（分鐘）的正比例函數，當x&

4、gt; 100時，月話費y（元） 是月通話時間x（分鐘）的一次函數.解：（1）觀察圖象可知月通話為 100分鐘時，應交話費 40_元；（2）設y與x之間的函數關系式為y=kx+b由圖上知：x=100 時,y=40; x=200 時，時，y=601皿 40 =100k b k=1 ，解之得 560 -200k bb =201所求函數關系式為 y =-x 20.51口 1（3）把x=280代入關系式即月通話為280分鐘時,y x 20,得 y =- 280 20 =7655應交話費 76元.二、水費中的分段函數例2（廣東）某自來水公司為了鼓勵居民節(jié)約用水，采取了按月用水量分段收費辦法，某戶居民應交

5、水費y（元）與用水量x（噸）的函數關系如圖2.（1）分別寫出當0WxW 15和x> 15時,y與x的函數關系式；（2）若某戶該月用水21噸，則應交水費多少元？分析:本題是一道與收水費有關的分段函數問題.觀察圖象可知，0 w xw 15時y是x的正比例函數；x>15f,y是x的一次函數.27 9解：當0 w xw 15時，設y=kx,把x=15,y=27代入，得27=15k,所以k=一 = 一，所以15 515 20 1t（噸）y=x；當 x> 15 時，設 y=ax+b,將 x=15,y=27 和x=20,y=39.5 代入，得15a +b =27,=20a +b=39.5解

6、得 a=2.5,b=-10.5所以 y=2.5x-10.5（2）當該用戶該月用21噸水時，三、電費中分段函數 例3 （廣東）今年以來，廣東大部分地區(qū)的電力緊缺，電力公司為鼓勵市民節(jié)約用電，采取按月用電量分段收費辦法，若某戶居民每月應交電費y （元）與用電量 x （度）的函數圖象是一條折線（如圖3所示），根據圖象解下列問題：（1）分別寫出當0wxw 100和x> 100時，y與x的函數關系式；（2）利用函數關系式，說明電力公司采取的收費標準；（3）若該用戶某月用電62度，則應繳費多少元？若該用戶某月繳費105元時，則該用戶該月用了多少度電？B阮）0100 130 n 渡圖3分析:從函數圖象

7、上看圖象分為兩段 ，當0wxw 100時，電費y是電量x的正比例函數 當x> 100時,y是x的一次函數，且函數圖象經過點（100,65）和（130,89），設出相應的函數 關系式，將點的坐標代入即可確定函數關系式，根據函數關系式可解決問題 .解：（1）設當0wxw100時,函數關系式為 y=kx,將x=100,y=65代入，得k=0.65，所以 y=0.65x;設當x> 100時,函數關系式為 y=ax+b,將x=100,y=65和x=130,y=89代入，得'100a+b= 65,./日也,解得 a=0.8,b=-15.所以 y=0.8x-15J30a +b =89.,

8、i一/口065x(0< x< 100)綜上可得y二0.8x-15(x>100)(2)用戶月用電量在 0度到100度之間時，每度電的收費的標準是0.65元;超出100度時,每度電的收費標準是0.80元.(3)用戶月用電62度時，用戶應繳費40.3元，若用戶月繳費105元時該戶該月用了 150 度電.談談中考中的分段函數分段函數，是近幾年中考數學中經常遇到的題型。它是考查分類思想，讀取、搜集、處理圖像信息等綜合能力的綜合題。這些分段函數都是直線型。通常是正比例函數的圖像和一次函數的圖像構成。下面我們歸納分析如下， 供學習時至節(jié)。1、二段型分段函數1.1正比例函數與一次函數構成的分

9、段函數解答這類分段函數問題的關鍵 ，就是分別確定好正比例函數的解析式和一次函數的解 析式。例1某家庭裝修房屋，由甲、乙兩個裝修公司合作完成，選由甲裝修公司單獨裝修3天，剩下的工作由甲、乙兩個裝修公司合作完成.工程進度滿足如圖1所示的函數關系，該家庭共支付工資 8000元.(1)完成此房屋裝修共需多少天？(2)若按完成工作量的多少支付工資，甲裝修公司應得多少元？y=k1x,=k 1 x 3,所以 k1=,所以 y= x, 0vxv341212y=kzx+b, (k¥0,kb 是常數)解析：設正比例函數的解析式為：因為圖象經過點(3, 1),所以,4設一次函數的解析式(合作部分)是因為圖

10、象經過點(3,1)，(5, 1),所以,42， c ，1k2 M3 +b =由待定系數法得：44 ,解得：k2 =l,b = _-.,188k2 5 b =21111:一次函數的表達式為 y=-x,所以，當y=1時，x=1,解得x = 9 8888完成此房屋裝修共需 9天。方法2解：由正比例函數解析式可知：甲的效率是 工，乙工作的效率：-128 12 24甲、乙合作的天數：3 J工十二1=6 （天）412 24甲先工作了 3天，：完成此房屋裝修共需 9天（2）由正比例函數的解析式：y=x,可知：甲的工作效率是 -1 ,1212所以，甲9天完成的工作量是：9父2=3,12 43二甲得到的工資是：

11、-X8000 =6000 （元）41,估計步行不能準時到達，42所示（假定總路程為 1）,評析：在這里未知數的系數的意義是表示他們的工作效率。例2、一名考生步行前往考場，10分鐘走了總路程的于是他改乘出租車趕往考場，他的行程與時間關系如圖則他到達考場所花的時間比一直步行提前了（A. 20分鐘B , 22分鐘解析：步行前往考場，是滿足正比例函數關系,= = k1X10,所以 k1=-,所以 y= x, 0V x 440401401 - - =40 （分鐘）， 40設正比例函數的解析式為： y=kix, 因為圖象經過點（10, 1）,所以，4<10由正比例函數解析式可知：甲的效率是所以，步行

12、前往考場需要的時間是： 乘出租車趕往考場，是滿足一次函數關系，所以，設一次函數的解析式是y=k2x+b, （k=0,kb 是常數），因為圖象經過點（10, 1）, （12, 1）,所以，42，1k2>d0+b= 一由待定系數法得：4 ,解得：解得：k2=1，b = 1,128k2 父12 +b = L21 3.一次函數的表達式為：y= x-1,所以，乘出租車趕往考場用的時間是：x=841 一，解得：x=6分鐘，8所以，先步行前往考場，后乘出租車趕往考場共用時間為：10+6=16分鐘，所以，他到達考場所花的時間比一直步行提前了：40-16=24 （分鐘），故選C。評析：在這里未知數的系數的

13、意義是表示他們的行使速度。例3、某公司專銷產品 A,第一批產品A上市40天內全部售完.該公司對第一批產品A上市后的市場銷售情況進行了跟蹤調查，調查結果如圖所示，其中圖 （3）中的折線表示的是市場日銷售量與上市時間的關系；圖（4）中的折線表示的是每件產品 A的銷售利潤與上市時間的關系.（1）試寫出第一批產品 A的市場日銷售量y與上市時間t的關系式；（2）第一批產品 A上市后，哪一天這家公司市場日銷售利潤最大？最大利潤是多少萬元?解析：（1）由圖3可得，當0wtw30時，市場日銷售量 y與上市時間t的關系是正比例函數，所以設市場的日銷售量： y=kt ,點（30, 60）在圖象上，60=30 k.

14、k=2.即 y=2t,當30wtw40時，市場日銷售量 y與上市時間t的關系是一次函數關系， 所以設市場的日銷售量： y=kit+b ,因為點（30, 60）和（40, 0）在圖象上，60 =30ki b所以I,0 =40ki b解得 k i=-6, b=240.y=-6t+240.綜上可知，當0wtw30時，市場的日銷售量：y=2t,當30wtW40時，市場的日銷售量：y=-6t+240 。（2）由圖4可得，當0WtW20時，市場銷售利潤 w與上市時間t的關系是正比例函數，所以設市場的日銷售量： w=kt,點（20, 60）在圖象上，60=20 k.k=3.即 w=3t ,當20WtW40時

15、，市場銷售利潤 w與上市時間t的關系是常數函數，所以，w=60,當0wtW20時，產品的日銷售利潤： m=3t X2t=6t 2 ;- k=6>0,所以，m隨t的增大而增大，當t =20時，產品的日銷售利潤 m最大值為：2400萬元。當20Wt W30時，產品的日銷售利潤：m=60X 2t =120t,k=120 >0,所以，m隨t的增大而增大，當t =30時，產品的日銷售利潤 m最大值為：3600萬元；當 30WtW40 時，產品的日銷售利潤：m= 60X （-6t+240）=-360t+14400 ;k=-360 <0,所以，m隨t的增大而減小，當t =30時，產品的日銷

16、售利潤 mm最大值為：3600萬元，綜上可知，當t=30天時，這家公司市場的日銷售利潤最大為3600萬元.評析：本題不僅考查同學們對分段函數意義的理解，而且同時還考查了同學們對分類 精品文檔思想的掌握情況，和對一次函數性質的理解和應用。1.2 一次函數與一次函數構成的分段函數 例4、為了鼓勵小強做家務，小強每月的費用都是根據上月他的家務勞動時間所得獎勵加上基本生活費從父母那里獲取的.若設小強每月的家務勞動時間為 該月可得（即下月他可獲得）的總費用為 y元，則y （元）和x（小時）之間的函數圖像如圖5所示.（1）根據圖像，請你寫出小強每月的基本生活費；父母是如何獎勵小強家務勞動的？（2）若小強5

17、月份希望有250元費用，則小強4月份需做家務多少時間？解：（1）從圖象上可知道，小強父母給小強的每月基本生活費為150 元；當0W xw 20時，y（元）是x（小時）的一次函數，不妨設y=k1X+150,同時，圖象過點（20, 200）,所以，200=k1x20+150,解得：匕=2.5,所以，y=2.5x+150 ,當20Vx時，y （元）是x （小時）的一次函數，不妨設y=k2x+b,同時，圖象過點（20, 200）, （30, 240）,所以,20k2 + b = 200130k2 + b = 240解得：k2=4, b=120,所以，y=4x+120,所以，如果小強每月家務勞動時間不超

18、過20小時，每小日獲獎勵 2.5元；如果小強每月家務勞動時間超過20小時，那么20小時按每小時2.5元獎勵，超過部分按每小時4元獎勵（2）從圖象上可知道，小強工作20小時最多收入為200元，而5月份得到的費用為250元，大于200元，所以說明4月小強的工作時間一定超過20小時，所以應選擇分段函數中當20Vx時的一段，所以，由題意得，4x+120 = 250,解得：x=32.5 答：當小強4月份家務勞動32.5小時，5月份得到的費用為 250元.評析：本題不僅考查同學們對分段函數意義的理解，而且同時還考查了同學們對分類思想的掌握情況，和對分段函數的選擇能力。1.3常數函數與一次函數構成的分段函數

19、例5、有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費標準如圖6所示；乙公司每月月租費通話費2 5元0. 15元/分鐘表1通話收費標準如表1所示.（1）觀察圖 6,甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應付話費金額是元；甲公司用戶通話 100分鐘以后，每分鐘的通話費為 元；（2）李女士買了一部手機，如果她的月通話時間不超過100分鐘，她選擇哪家通迅公司更合算？如果她的月通話時間超過100分鐘，又將如何選擇？解析：1）從圖6,可以看出，這是常數函數與一次函數構成的分段函數，當0Wt W100時，話費金額 y=20;當t >100時，話費金額y是通話時間t的一次函數，不妨設 y=kt+b ,且函數

20、經過點（100, 20）和（ 200, 40）,100k+b =20 . 口所以，解得：k=0.2, b=0,所以，y=0.2t,200k + b = 40所以，甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應付話費金額是20元；當甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費為0.2元；2）仔細觀察表1,可以知道乙公司每月通話收費y=0.15t+2.5,當0 w t w 100時，甲公司的話費金額 y=20 ;乙公司通話收費 y=0.15t+2.5=15+2.5=17.5,所以，李女士如果月通話時間不超過100分鐘，她選擇乙通迅公司更合算；因為，0.15t+2.5=0.2t,所以，t=500 ,所以，

21、當通話時間t=500分鐘時，選擇甲、乙兩家公司哪一家都可以；因為，0.15t+2.5 >0.2t ,所以，tv 500,所以，當通話時間100Vt v 500分鐘時，選擇甲公司；因為，0.15t+2.5 V0.2t ,所以，t>500,所以，當通話時間t>500分鐘時，選擇乙公司；2、三段型分段函數例6如圖7,矩形ABCM, AB= 1, AD- 2, M是CD的中點，點 P在矩形的邊上沿 A一B一8 M運動，則4 APM的面積y與點P經過的路程x之間的函數關系用圖象表示大致是下圖中的（）AyAy解析：1)、當 0WxW1, y=J_XxX2=x;如圖 8 所示；22)、當

22、1vxW3, y=1x 2- 1 x 1 x2- 1 x (x-1 ) x 1- 1 x 1 x ( 3-x)222225 1 一x；如圖9所不；4 43)當 3 v xw 3.5 , y= 1 X ( 7 -x ) X 222=7 -x ;如圖10所示；2精品文檔 5 11所以C、D兩個選項是錯誤的，又因為函數y= x中的k= - V0,所以直線整體4 44應該是分布在二、一、四象限，所以選項B也是錯誤的，所以選 A。評析：對于運動型問題，關鍵是根據題意借助分類的思想用變量x分別出圖形的面積。在表示面積時，要注意整體思想的運用。3、四段型分段函數例7、星期天，小強騎自行車到郊外與同學一起游玩，從家出發(fā)2小時到達目的地，游玩3小時后按原路以原速返回，小強離家4小日40分鐘后，媽媽駕車沿相同路線迎接小強，如圖 11,是他們離家的路程 y（千米）與時間x（時）的函數圖像。已知小強騎車的速度為15千米/時，媽媽駕車的速度為 60千米/時。小強家與游玩地的距離是多少?解析:1）（2）媽媽出發(fā)多長時間與小強相遇?當0WxW2,路程y（千米）是時間x（時）的正比例函數, 且 k=15 ,所以 y=15x;所以，當x=2時，y=2X 15=30,所以，小強家與游玩地的距離是30千米。2）當2vxW5,路程y（千米）是時間x（時）的常數函數，所以y=30;當