第七章參數(shù)估計

1、第七章第七章 參數(shù)估計參數(shù)估計關(guān)鍵詞：矩法估計極大似然估計置信區(qū)間置信水平（置信度）樞軸量參數(shù)：反映總體某方面特征的量I9090901()XXpP X 2設(shè)浙江大學(xué)大一學(xué)生某學(xué)年的微積分 成績服從正態(tài)分布，當(dāng)時為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率也是一個參數(shù)，它是 和例：的函數(shù)。當(dāng)總體的參數(shù)未知時，需利用樣本資料對其給出估計參數(shù)估計。3兩類參數(shù)估計方法：點估計和區(qū)間估計1nXXXX設(shè)總體 有未知參數(shù) ，, ,是 的簡單隨機樣本。4111(nnnXXxxxx點估計問題：構(gòu)造合適的統(tǒng)計量, ,)用來估計未知參數(shù) ，稱 為參數(shù) 的點估計量，當(dāng)給定樣本觀察值 , , 時，稱, ,)為參數(shù) 的點估計值。常用的點估計方法：

2、矩法、極 大似然法7.1 參數(shù)的點估計參數(shù)的點估計：以樣本矩估計總體矩，以樣本矩的函數(shù)估計總體矩統(tǒng)計思想的函數(shù)。5：辛欽大數(shù)定律和依概率收理論根據(jù)斂的性質(zhì)11( ;,kkkkF xk11設(shè)總體的分布函數(shù)為, ,)，其中, ,是待估的未知參數(shù)，假定總體的前 階原點矩或中心矩, ,存在。（一）矩估計法1()( ,),1,iiikE Xhikkk（1）求總體前 階矩關(guān)于 個參數(shù)的函數(shù)61(,),1,iikgikk(2)求各參數(shù)關(guān)于 階矩的反函數(shù)111,kiikkAAg AAik1(3)以樣本各階矩 , ,代替總體各階矩，得各參數(shù)的矩估,計( ,)，基本步驟.iiiiB注：在實際應(yīng)用時，為求解方便，也

3、可以用中心矩代替原點矩 ，相應(yīng)地以樣本中心矩估計71( , ),nXU a babXXab設(shè)總體 服從均勻分布， 和 是未知參數(shù)，樣本，求 和 的例1：矩估計。8212()(),212ababE X解（1）求矩關(guān)于參數(shù)的函數(shù)912123,3ab(2)求參數(shù)關(guān)于矩的反函數(shù)2121221,()33niiAXBXaXBbXBXnab12=(3)以樣本階矩代替總體矩代替，得參數(shù) 和,=的矩估計10 11220100 ,nXxxfxXXXX 例例 ：設(shè)設(shè)總總體體 的的密密度度為為：為為未未知知參參數(shù)數(shù)，其其他他，為為取取自自 的的樣樣本本，求求 的的矩矩估估計計。11 11E Xxfx dx 解解：（）

4、1 10 xdx 231XX （）21121 （）22( ,XN ：某工廠生產(chǎn)的零件長度)，其中未知，測定當(dāng)長度落在46,50時，產(chǎn)品合格，并以參數(shù) 代表該廠生產(chǎn)零件的合格率.從中隨機抽取10個，測得長度為46,51,48,47,50,44,48,49,50,47,使用矩法給出合格率 的例3估計值.5046 解：由正態(tài)分布的性質(zhì)知13225046XXBB 因此 的矩估計為248,4xB由樣本資料計算得代入=2 （1）-1得=0.6826極（最）大似然估計的原理介紹極（最）大似然估計的原理介紹考察以下例子： 假設(shè)在一個罐中放著許多白球和黑球，并假定已經(jīng)知道兩種球的數(shù)目之比是1:3，但不知道哪種顏

5、色的球多。如果用放回抽樣方法從罐中取5個球，觀察結(jié)果為：黑、白、黑、黑、黑，估計取到黑球的概率p.極極二二 大大似似然然估估計計法法：31,.44pp 解：設(shè)抽到黑球的概率為則本例中，或15 3311.4441024p 4當(dāng)時，出現(xiàn)本次觀察結(jié)果的概率為 33811.4441024p 4當(dāng)時，出現(xiàn)本次觀察結(jié)果的概率為3813110241024443.4ppp 由于，因此認(rèn)為比更有可能， 于是取為更合理16( ; )Xp x一般地，設(shè)離散型總體， 未知。11,nnXXXxx從總體 中取得樣本，其觀察值為，111111,( ),( ; ). (; )( ; ).nnnnnniiXxXxLP XxXx

6、p xp xp x則事件發(fā)生的概率為1( ( ,)max ( ).nLxxL極大似然原理：似然函數(shù)11ML,E)nnxxXX稱（）為 的，相應(yīng)統(tǒng)計量極極大似然估計量（）大似然計為 的估值。,Xf x若總體 為連續(xù)型的，概率密度為， 為未知參數(shù)。 12121,nnniiXXXx xxLf x則對于樣本的觀察值，似然函數(shù) 。1( ( ,)max ( ).nLxxL極大似然原理：1812 1.,k 未知參數(shù)可能不是一個，一般設(shè)為說明； 2.0,1,2,., .1,2,., .iiLlnLlnLlnLikik在求的最大值時，通常轉(zhuǎn)換為求：的最大值，稱為對數(shù)似然函數(shù).利用解得 ， 3.iiL若關(guān)于某個是

7、單調(diào)增 減 函數(shù)，此時 的極大似然估計在其邊界取得； 4.gg若 是 的極大似然估計，則的極大似然估計為。 11 01 0 ,nXxxf xXXX設(shè)總體 的概率密度為：其他是例4：總體 的樣本，求 的極大似然估計量。20221 niinlnX的極大似然估計量為： 211111,nniinniiiiLf xxx解：似然函數(shù) 11ln2niinlnLlnx 111ln0 22niidlnLnxd令1lnniinx 即： 11 , 0 0, , xnXexf xXXX 設(shè)總體 的概率密度為：其它其中是未知參數(shù)為的樣本，求的矩估計與極大似然估例計。5：22 1 解：矩估計 1E Xxfx dx212v

8、v得22()vD XE X21211() 1()niiniiXXnXXXn1xxedx21()xxedx2201()t xttedt 23 2 極大似然估計11,inxiLe 此處不能通過求偏導(dǎo)數(shù)獲得 的極大似然估計量，(1)12,inxxmin x xx故 的取值范圍最大不超過111 ,1,2,., .niixinexin24 2 極大似然估計111,niinxnLeL 注意到，是 的增函數(shù)，取到最大值時， 達(dá)到最大。 12110niidlnLnXXd 令 121,nXmin XXX故 1XX 11niilnLnlnX 又120,0 ,nXx xx設(shè)總體 服從上的均勻分布，未知， 試由樣本求

9、出 的極大似然估計和 例6：矩估計。26 1 解：極大似然估計 1 0;0 xXf x因 的概率密度為：其它 121 0,0 nnx xxL故參數(shù) 的似然函數(shù)為：其它 0,Ldlnnd 由于不能用微分法求:L從義發(fā)以下定出求 120,innxxmax x xx因為故 的取值范圍最小為 1nnLnLxLxL又對的 是減函數(shù)，越小， 越大，故時， 最大； 12,LnnXmax XXX所以 的極大似然估計量為 2 矩估計012E XxdxX由2X,220,3 X123設(shè)總體 的概率分布律為：21-3其中,未知現(xiàn)得到樣本觀測值2，3，2，1，3，求 的矩估計值與極大似然估計7值。例 ：30 1 解：矩

10、估計1kkE Xx p352223 (1 32) 2.2X 0.3212(3)52(3)5X 2 極大似然估計( )(2)(1 32)(2) (1 32)L32116(23 )ln ( )ln163ln2ln(23 )L ln ( )36023dLd0.47.2 估計量的評選準(zhǔn)則 從前一節(jié)看到，對總體的未知參數(shù)可用不從前一節(jié)看到，對總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的估計量，如何評價好壞？同方法求得不同的估計量，如何評價好壞？四條評價準(zhǔn)則：四條評價準(zhǔn)則：無偏性準(zhǔn)則，有效性準(zhǔn)則，均方誤差準(zhǔn)則和無偏性準(zhǔn)則，有效性準(zhǔn)則，均方誤差準(zhǔn)則和相合性準(zhǔn)則相合性準(zhǔn)則 321.無偏性準(zhǔn)則 12,nXXXE 定義：

11、若參數(shù) 的估計量滿足則稱 是 無偏的一個估計量。 ,nEliEm E若那么稱為估計量 的若則偏差漸近稱 是 的無偏估計量222,XE XD XXS設(shè)總體 的一階和二階矩存在，分布是任意的，記證明：樣本均例值 和樣本方差分別是和1：的無偏估計。3512,nXXXX證：因與 同分布，故有：X故 是 的無偏估計.11niiE XEXn11niiE Xn1nn362211()1niiE SEXXn2211()1niiEXn Xn22211nn22S故是的無偏估計.211()1niiEXXn111niiD XnD Xn .10,2LnXXX檢驗7 節(jié)例6（即總體 服從上的均勻分布）的矩估計量與 例 極大

12、似2然估計量的：無偏性。38 0, ,2XUE X解：1,nXXX由于與 同分布 2EEX12niiE Xn22nn 2X因此是 的無偏估計39 LnnXX為考察的無偏性，先求的分布，5由第三章第 節(jié)知： ,nnXFxF x 1 0 0 nnnXnxxfx于是 其它10nnx nxdx LnEE X因此有：1nn LnX所以是有偏的。 糾偏方法 1,0112,nnnnEaba babanXXXnXX如果 其中是常數(shù)，且則是 的無偏估計。在例 中，取則是 的無偏估計 無偏性的統(tǒng)計意義是指在大量重復(fù)試驗下，由所作的估計值的平均恰是 ，從而無偏性保證了 沒有系統(tǒng)誤差。402.2.有效性準(zhǔn)則有效性準(zhǔn)則

13、 221121 ,DD 定義：設(shè)是 的兩個估計， 如果對一切成立， 且不等號至少對某一成立，則稱 比有效。無無偏偏41 112120, ,12, 2nnXUXXXnXXnn設(shè)總體是取自 的樣本，已知 的兩個無偏估計為，判別 與哪個有效例3：時 ？43 22142123DDXnn解： 1 0 0 nnnXnxxfx由 其它 222221nnnDE XE Xn于是 221221 32DDnn n因為比 更有效 1220 2nnnnxnE Xdxn22n n2()( ).EMse定義：設(shè) 是參數(shù) 的點估計，方差存在，則稱是估計量的均方誤差，記為44()( )MseD若 是 的無偏估計，則有在實際應(yīng)用

14、中，均方誤差準(zhǔn)則比無偏性準(zhǔn)則更重要.3.均方誤差準(zhǔn)則4522SB2：試?yán)镁秸`差準(zhǔn)則，對用樣本方差和樣本二階中心矩分別估計正態(tài)總體方差時進(jìn)例4行評價.46222 (1)/(1).nSn解：根據(jù)第六章抽樣分布定理，在正態(tài)總體下， 224222()().1SMse SD Sn又因是的無偏估計，因此 472222()()Mse BE B而 2 222() ()D BE B222 211() ()nnDSESnn4221nn22221211.nnnnBS當(dāng)時，有，因此在均方誤差準(zhǔn)則下，優(yōu)于4.4.相合性準(zhǔn)則相合性準(zhǔn)則1,0, 0 nnnnnlimXnPX 設(shè)為參數(shù) 的估計量， 若對于任意，當(dāng)時， 依

15、概率收斂于 ， 即有：成立， 則 定義：相合估計量或稱為 的一致估計量4811122221()(2), , (1)()12,2,.,2,.,13() ,()kknnlliliniiXkE XkXXXXE XAXlklknBXXSD XnS ：設(shè)總體 的 階例5矩存在 是取自 的樣本，證明：是的相合估計；（ ）是的相合估計；（ ）是的相合估計；(4)是 的相合估計。5011 (),1,2,., .(1)2nliillXnE Xlk證明：由辛欽大數(shù)定律知，依概率收斂到因此，（ ）成立。11111 ,.,.,(,.,)(,.,)(,.,)kkkkkAAgg AAg根據(jù)依概率收斂的性質(zhì)， 由是的相合估

16、計，若是連續(xù)函數(shù)，則是的相合估計。222122222122222()1()1niiD XBXXAXnnSBSnSS因為，所以是的相合估計，注意到，因此也是的相合估計；是 的相合估計。 1120, ,1 2nnXUXXXnXXn：設(shè)總體是取自 的樣本， 證明：和是例6的相合估計。52 12,EE證：0,n 由切比雪夫不等式，當(dāng)時， 112DP有：2203n12所以 和都是 的相合估計。 21,3Dn 222Dn n 222DP同理：2202n n7.3 區(qū)間估計53111122112, ,nnnXXXXXXX 假設(shè)是總體 的一個樣本， 區(qū)間估計的方法是給出兩個統(tǒng)計量 使區(qū)間以一定的可靠程度蓋住

17、。541;,01 ,nXF xXXX定義7.3.1：設(shè)總體 的分布函數(shù)含有一個未知參數(shù) ，是總體 的一個樣本，對給定的值LLUUU111L1,1 , ,7 1nnnnPXXXXXXXX 如果有兩個統(tǒng)計量，使得：LULU,1雙側(cè)置信區(qū)間置則稱隨機區(qū)間是 的；稱為；和分別信度雙側(cè)置信下限雙側(cè)置稱為和信上限。(一）置信區(qū)間的定義55置信區(qū)間的含義：),100(1)%.n 若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等，都為每個樣本值確定一個區(qū)間每個這樣的區(qū)間或者包含 的真值或者不包含 的真值。按伯努里大數(shù)定律，在這些區(qū)間中，包含 真值的約占0.05,95%0.01,99%如反復(fù)抽樣10000次，當(dāng)即置信水平

18、為時,10000個區(qū)間中不包含 的真值的約為500個；當(dāng)即置信水平為時,10000個區(qū)間中不包含 的真值的約為100個。 單側(cè)置信限1L1LL7 1 ,1, 72,1 nnPXXXX 定義7.3.2 在以上定義中，若將式改為：則稱為 的。隨機區(qū)間是 的置信度為的單側(cè)置信下限單側(cè)置信區(qū)間 。57UU1U1,172 73, ,1 , nnPXXXX 又若將式改為：則稱為 的。隨機區(qū)間是 的置信度為的單側(cè)置信上限單側(cè)置信區(qū)間 。n單側(cè)置信限和雙側(cè)置信區(qū)間的關(guān)系：LL1UU1LU,nnXXXX1212設(shè)是參數(shù) 的置信度為1-的單側(cè)置信下限，是參數(shù) 的置信度為1-的單側(cè)置信上限，則（ ，）是參數(shù) 的置信

19、度為1-的雙側(cè)置信區(qū)間。60LUUL,()E定義：稱置信區(qū)間的平均長度為區(qū)間的，并稱二分之一區(qū)間的平均長度為置信區(qū)間的精確度誤差限。 說明：在給定的樣本容量下，置信水平和精確度是相互制約的。LLUUU111L1,1, , 7 1nnnnPXXXXXXXX 如果有兩個統(tǒng)計量，使得：Neyman原則：原則：在置信度達(dá)到一定的前提下，選取精確度盡可能高的區(qū)在置信度達(dá)到一定的前提下，選取精確度盡可能高的區(qū)間。間。同等置信區(qū)間：同等置信區(qū)間：62（二）樞軸量法11( ; )(nnXf xXXG XX定義7.3.3：設(shè)總體 有概率密度（或概率分布律），其中 是待估的未知參數(shù)，并設(shè),是來自該總體的樣本，稱樣

20、本和未知參數(shù) 的函數(shù),; )為，如果它的分布不依賴于未知參數(shù) ，且完樞軸量全已知.n樞軸量和統(tǒng)計量的區(qū)別：n（1）樞軸量是樣本和待估參數(shù)的函數(shù)，其分布不依賴于任何未知參數(shù)；n（2）統(tǒng)計量只是樣本的函數(shù)，其分布常常依賴于未知參數(shù)。n正態(tài)總體下常見樞軸量：正態(tài)總體下常見樞軸量：2222( ,)()(0,1)() (1)(1)(1)Nn XNn Xt nSnSn 2 2正正體體情情形形，（已已知知）( (1 1) )單單個個態(tài)態(tài)總總22112222121222121222121212122212122221(,),(,)()()(0,1),()() (2)()11(1,1)wNNXYNnnXYt n

21、nSnnSF nnS (2)(2)個個態(tài)態(tài)總總二正體情形，（已知）1222111122221222211222121222121222212 , 1 1,12(0,1), 3 6.8 nnXXYYNNSSSFF nnSXYNnnXY 設(shè)樣本和分別來自總體和 并且它們相互獨立，其樣本方差分別為理：時，定則：當(dāng)121212221122221221111 ,2wwwwt nnSnnnSnSSSSnn其中具體步驟：1(,; )nG XX(1)構(gòu)造一個分布已知的樞軸量；1(2)1(,; )1nabP aG XXb 對連續(xù)型總體和給定的置信度，設(shè)常數(shù)滿足；111(,; ),1nLUnnLUaG XXbXX

22、XX（3）若能從得到等價的不等式那么就是 的置信度為的置信區(qū)間。1(,nG XX樞軸量; )的構(gòu)造，通常從參數(shù)的點估計（如極大似然估計，無偏估計，矩估計等）出發(fā)，根據(jù) 的分布進(jìn)行改注：造而得.68若步驟（3）中a和b的解不唯一，問：該如何處理？1.ey根據(jù)Nman原則：求a和b使得區(qū)間長度最短；11( (,)( (,)/2nnP G XXaP G XXb2.如果最優(yōu)解不存在或比較復(fù)雜，為應(yīng)用的方便，常取a和b滿足：; ); )6917721(14).125iiXXXXx1例1：設(shè)某產(chǎn)品的壽命 服從均值為的指數(shù)分布，, ,是來自該總體的樣本，若已經(jīng)證明， 2 并已知小時，試?yán)脴休S量法推斷該產(chǎn)品

23、平均壽命的范圍（置信水平為0.9）.7072171iiiiXX解：由于2（14），分布已知且與參數(shù) 無關(guān)， 因此可取樞軸量為 2，且有7220.950.0517711220.050.95(14)(14)1(14)(14)iiiiiiPXXXP 2=0.922 即=0.9717711220.050.95(14)(14)iiiiXX 因此該產(chǎn)品平均壽命的置信水平為0.9的置信區(qū)間為22 ， 220.050.95Excel(14)23.685(14)6.571125266.32)x由或查表得 ，并將樣本資料代入上式得 （73.89,90%即有的把握認(rèn)為該產(chǎn)品平均壽命在73.89小時到266.32小時

24、之間. 7.4 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計 一 單個正態(tài)總體情形2122, 1nXNXXXXXS 設(shè)總體，為來自 的樣本和分別為樣本均值和方差 置信度為1. 均值 的置信區(qū)間 21 已知時,0,1 ,XXNn是 的無偏估計 且有分布完全已知，1(,).nXG XXn因此可取樞軸量為1XabP abn 設(shè)常數(shù)且滿足: 1P XbXann 即等價于 ()/Lban此時區(qū)間的長度為 /2.abz 根據(jù)正態(tài)分布的對稱性知，取 時，區(qū)間的長度達(dá)到最短22,XzXznn從而 的同等 置信區(qū)間為： 1?均值 的置信度的置信下限是問什么呢：: Xzn答案76 22 未知時1Xt nSn取樞軸量為，22111XPt

25、ntnSn 有22111SSP XtnXtnnn 即221 ,1SSXtnXtnnn置信區(qū)間為： 0t1220t 21tn21tn 2222,36,15. ,95 116; 2,16;X cmNcmS 例1：設(shè)某種植物的高度服從正態(tài)分布 隨機選取棵 其平均高度為就以下兩種情形 求 的雙側(cè)置信區(qū)間：未知78 36,15,4nX解： 11.961.960.95P XXnn由1.96 41.961513.69336Xn得：1.96 41.961516.30736Xn13.693,16.307的置信區(qū)間為 9912求置信度為 時 兩種情況下 的置信區(qū)間？79 2 36,15,16nXS20.0250.

26、025(35)(35)1 0.05SSP XtXtnn 由0.025352.0301t查表得：2.0301 42.0301 4 1513.647,1516.35366又：13.647,16.353的置信區(qū)間為 1 13.333,16.667 2 13.184,16.815答案：80 12比較兩種情形下 的置信區(qū)間：22,16,13.693,16.307已知置信區(qū)間：22,16,13.647,16.353S未知置信區(qū)間：, ,tX S n2但第二種情形更實用,因為多數(shù)時候,未知用 分布求 的置信區(qū)間只依賴于樣本數(shù)據(jù)及統(tǒng)計量區(qū)間短區(qū)間長n例 某制藥商從每批產(chǎn)品中抽取一個樣品進(jìn)行分析, 以確定該產(chǎn)品

27、中活性成分的含量. 通常情況下，化學(xué)分析并不是完全精確的, 對同一個樣本進(jìn)行重復(fù)的測量會得到不同結(jié)果, 重復(fù)測量的結(jié)果通常近似服從正態(tài)分布. 根據(jù)經(jīng)驗, 活性成分含量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.0068(克/升),假設(shè)化學(xué)分析過程沒有系統(tǒng)偏差, 設(shè)活性成分的含量的真值為 對樣品進(jìn)行三次重復(fù)測量結(jié)果如下: 0.8403 0.8333 0.8477. 求真值 的置信水平為95% 的置信區(qū)間.820.0250.8404.0.95xz解 該樣本三次測量的平均值為由置信水平，利Excel或查正態(tài)分布表得=1.96,所以 的置信水平為0.95的置信區(qū)間為0.0250.025/,/xznxzn（）=（0.8327， 0.

28、8481）n在在Excel中的實現(xiàn)中的實現(xiàn)利用利用AVERAGE函數(shù)求均值，函數(shù)求均值， CONFIDENCE函數(shù)求方差已知時的誤差限函數(shù)求方差已知時的誤差限.本例的計算步驟如下：本例的計算步驟如下：（1） 將樣本觀察值輸入將樣本觀察值輸入Excel 表中，設(shè)數(shù)據(jù)區(qū)域為表中，設(shè)數(shù)據(jù)區(qū)域為A1到到A3；（2）下拉菜單）下拉菜單“插入插入”選項卡選項卡單擊單擊“函數(shù)函數(shù)” 選擇選擇“統(tǒng)計統(tǒng)計” 選選”AVERAGE”;（3） 在在“Number1”文本框中輸入文本框中輸入“A1:A3” 點擊點擊Enter鍵，即顯示鍵，即顯示均值均值為為“0.840433”；（4）重新下拉菜單）重新下拉菜單“插入插

29、入”選項卡選項卡單擊單擊“函數(shù)函數(shù)” 選擇選擇“統(tǒng)計統(tǒng)計” 選選”CONFIDENCE”; （5）在）在“Alpha”文本框中輸入文本框中輸入“0.05”，“Standard-dev”文本框中輸入文本框中輸入“0.0068”,“Size”文本框中輸入文本框中輸入“3”,點擊點擊Enter鍵，即顯示鍵，即顯示誤差限誤差限為為“0.007695”；（6） 的置信水平為的置信水平為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 （0.840433-0.007695 , 0.840433+0.007695） =（0.8327, 0.8481）11(,),(,).nnnX YXY（3）成對數(shù)據(jù)情形例：為考察某種降壓藥

30、的降壓效果，測試了 個高血壓病人在服藥前后的血壓（收縮壓）分別為 86111,nnniiXXXXYYXY由于個人體質(zhì)的差異，不能看成來自同一個正態(tài)總體的樣本，即是相互獨立但不同分布的樣本，也是.另外對同一個個體，和 也是不獨立的.121, ,(,)iiinddDXYinDDN 作差值 , 則取消了個體的差異，僅與降壓藥的作用有關(guān)，因此可以將, ,看成來自同一正態(tài)總體的樣本，且相互獨立。87221/(1)/11,() .,1)DdnDiiDXYSDDS tDnnn的置信水平為的置信區(qū)間為其中ABAB例2： 、 兩種小麥品種分別播種在面積相等的8塊試驗田中，每塊田地 、 品種各播種一半，收獲后8塊

31、試驗田的產(chǎn)量如下:88A: 140, 137, 136, 140, 145,148, 140, 135B: 135, 118, 115, 140, 128, 131, 130, 115品種品種0.05假設(shè)兩品種產(chǎn)量的差服從正態(tài)分布，求兩品種平均產(chǎn)量差的置信區(qū)間（）.:51921017171020iiidxy解： 這是成對數(shù)據(jù)問題，由已知計算得 890.025/213.6257.74572.365(1)/7.149,20.101dDdstDS tnn，查表得（ ），代入公式）中，得所求置信區(qū)間為 （）。n在在Excel中的實現(xiàn)中的實現(xiàn)本例的計算步驟如下：本例的計算步驟如下：（1） 將上述將上述

32、數(shù)據(jù)值輸入數(shù)據(jù)值輸入Excel 表中，設(shè)數(shù)據(jù)區(qū)域為表中，設(shè)數(shù)據(jù)區(qū)域為A1到到A8；（2）在）在Excel 表中選擇任一空白單元格表中選擇任一空白單元格 輸入輸入”=AVERAGE（A1:A8)”; 點擊點擊Enter鍵，即顯示鍵，即顯示均值均值 為為“13.625”；idd（3）在）在Excel 表中選擇任一空白單元格表中選擇任一空白單元格 輸輸入入”=STDEV（A1:A8)” 點擊點擊Enter鍵，即顯示鍵，即顯示樣本樣本標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 為為“7.744814”；（4）在）在Excel 表中選擇任一空白單元格表中選擇任一空白單元格 輸輸入入”=TINV（0.05,7）”; 點擊點擊Enter

33、鍵，即顯鍵，即顯 示示分分位數(shù)位數(shù) 為為 “2.364624”； （5）代入公式）代入公式 得所求區(qū)間估計為（得所求區(qū)間估計為（7.149,20.101） ds0.025(7)t/2(1)/DDS tnn9222. 方方差差的的置置信信區(qū)區(qū)間間（設(shè)設(shè) 未未知知）22211nSn取樞軸量為2222221211111nSnSPnn 即222221211,11nSnSnn置信區(qū)間為： 22212122212(1)n22(1)n22212221111nSPnn 有.：上述所求的區(qū)間估計不是最優(yōu)解注1-?2 問：方差的置信度的置信上限是什么221(1).(1: ) nSn答案22,25,4.25.959

34、9S例3：一個園藝科學(xué)家正在培養(yǎng)一個新品種的蘋果這種蘋果除了口感好和顏色鮮艷以外 另一個重要特征是單個重量差異不大。為了評估新蘋果 她隨機挑選了個測試重量 單位：克 其樣本方差為試求的置信度為 和的的置信區(qū)間。9595%解：置信度為時222220.0251 0.025111 0.05nSnSP 220.0250.9752439.4,2412.4;查表得：25 14.2525 14.25 2.59,8.2339.412.4又：2.59,8.232的置信區(qū)間為220.0050.99599%,2445.6,249.89,25 14.2525 14.252.24,10.3145.69.89置信度為時2

35、.24,10.312的置信區(qū)間為1212222121112222211211,11, , 1.nnnnijijXXXNY YYNXX YYSSnn 來自來自和分別為第一 二個總體的樣本方差 置信度為 二 兩正態(tài)總體情形98121. 的置信區(qū)間 22121 ,已知時22121212,XYNnn由 知，122212120,1XYNnn可取樞軸量為 2212212XYznn置信區(qū)間為： 99 2222122 ,未知1212126.3.4 211wXYt nnSnn此時由定理知，221122221211 ,2wwwnSnSSSSnn其中12212112wXYtnnSnn置信區(qū)間為： 100 22123

36、 且未知12nn當(dāng)樣本量 和 都充分大時(一般要50),根據(jù)中心極限定理得，2212212SSXYznn12則-的近似置信區(qū)間為： 12221212 (0,1).XYNSSnn漸近服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布101對于有限小樣本，可以證明222121222212221122()(1)(1)SSnnkSSn nn n 12221212 XYktSSnn近似服從自由度為 的 分布,其中10212min(.nnk在實際中，也常用-1,-1)近似代替上述自由度2212212( )SSXYtknn12則-的近似置信區(qū)間為： 10321222. 的置信區(qū)間22121222121,1SSF nn由 2212121222

37、122121,11,11SSP FnnFnn 有 22112212122212211,1,11,1SSFnnFnnSS置信區(qū)間為： 22211122212122221221111,11,1SSPFnnFnnSS 即 12, （設(shè)未知） 例4：兩臺機床生產(chǎn)同一個型號的滾珠，從甲機床生產(chǎn)的滾珠中抽取8個，從乙機床生產(chǎn)的滾珠中抽取9個，測得這些滾珠得直徑(毫米)如下:甲機床 15.0 14.8 15.2 15.4 14.9 15.1 15.2 14.8乙機床 15.2 15.0 14.8 15.1 14.6 14.8 15.1 14.5 15.0221122, ,X YXNYN 設(shè)兩機床生產(chǎn)的滾珠直徑分別為且 104 1212121212122112221 0.18,0.24,0.902 0.900.904 ,0.90 求的置信度為的置信區(qū)間；若未知，求的置信度為的置信區(qū)間；(3) 若且未知， 求的置信度為的置信區(qū)間；若未知，求的置信度為的置信區(qū)間.105106211222 8, 15.05, 0.04579, 14.9, 0.0575nxSnyS解：； 12121 0.18,0.24,0.90當(dāng)時 求的置信度為的 置信區(qū)間為：2212212 XYznn0.051.645,0.018,0.318z查表得：從而所求區(qū)間為 12122 0.90當(dāng)未知時， 的置