數(shù)學也實驗探究更精彩

1、 數(shù)學也實驗，探究更精彩-例說基于幾何畫板的數(shù)學試題探究研究摘要：本文主要從數(shù)學教學的角度出發(fā)，研究了以幾何畫板為實驗平臺進行高中數(shù)學探究實驗活動。文章以一個數(shù)學習題為出發(fā)點，從習題解法探究開始，從縱向一般化、橫向類比、逆向研究各方面詳細闡述了如何利用幾何畫板進行數(shù)學探究實驗，通過從特殊到一般的不斷演化，實驗，得出一般性的結(jié)論的過程。讓學生在不斷的參與實驗探究的過程中進行猜想歸納、推理論證，達到提高數(shù)學課堂學習的效率，促進學生的動手能力與數(shù)學思維能力發(fā)展的目的。關(guān)鍵詞：數(shù)學探究實驗； 幾何畫板； 縱向一般化； 橫向類比； 逆向思維 高中數(shù)學課程提出“學生的數(shù)學學習活動不應(yīng)只限于接受、記憶、模仿

2、和練習，還應(yīng)倡導自主探索、動手實踐、合作交流等學習數(shù)學的方式。高中數(shù)學應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識。”“高中數(shù)學課程應(yīng)提倡實現(xiàn)信息技術(shù)與課程內(nèi)容的有機整合”。幾何畫板是實現(xiàn)這一理念的有力工具。它最大的特色是“動態(tài)性”，即：可以用鼠標拖動圖形上的任一元素（點、線、圓），而事先給定的所有幾何關(guān)系（即圖形的基本性質(zhì)）都保持不變，這樣更有利于讓學生在圖形的變化中把握不變，從而構(gòu)建動態(tài)數(shù)學學習的實驗平臺，讓數(shù)學也能進行實驗，從而學生能更深入探究幾何的精髓，這有效的突破了傳統(tǒng)教學的難點。如何用幾何畫板進行數(shù)學探究實驗活動呢？本文以一道數(shù)學選

3、擇題的展開探究為例進行過程說明。本文中所討論的二次圓錐曲線均以焦點在軸上的為準。一、 原題呈現(xiàn)：人教A版高中數(shù)學選修2-1同步測控優(yōu)化設(shè)計訓練與測評P29第二章測評第5題：已知P、Q是橢圓上的兩個動點，O為坐標原點，若OPOQ，則點O到弦PQ的距離必等于（ ） A、 1 B、 C、 D、 圖1二、探究過程、解法探究 圖21、特殊法：（如圖1所示）所示，點P、Q分別在Y軸、X軸上時，顯然符合條件。此時，則，由 得、，故選C 2特殊法：（如圖2所示）當PQX軸時，POD為等腰直角三角形，不妨設(shè)，由P在橢圓上有，解得，從而，即點O到弦PQ的距離為。3、一般法：當直線PQ斜率不存在時，解法同特殊法2，

4、點O到弦PQ的距離為。當直線PQ斜率存在時，（如圖3所示）設(shè)直線PQ為， 圖3由可得， 有 即 化簡得所以由點到直線的距離公式有綜上所述，點O到弦PQ的距離必等于。4、解后反思：對于一道數(shù)學試題，我們不應(yīng)只滿足于參考答案，我們應(yīng)該引導學生充分運用所學知識，從各種角度對試題加以分析透視，這也是將試題運用于教學實驗活動的前提，只有做好了充分的準備，才能應(yīng)對學生提出的各種問題，正所謂“教師要給學生一杯水，自己得有一桶水”。、縱向一般化探究當解決了一道數(shù)學試題之后，我們應(yīng)該引導學生思考：這道題目所體現(xiàn)的性質(zhì)或結(jié)論背后是否能由特殊推廣到一般情形？也就是試題的背后是否隱藏著一般性的規(guī)律？因而我們也就有：

5、圖4探究1：已知P、Q是橢圓上的兩個動點，O為坐標原點，若OPOQ，則點O到弦PQ的距離是否為一定值，若是，求這個定值；否則說明理由。1、畫板作圖，直觀感知：定義坐標系，點擊工具欄“自定義工具”“圓錐曲線A” “橢圓（中心+頂點）”在坐標系上點擊原點（為中心）及X軸上一點（為頂點，X軸上的頂點）即可構(gòu)造出焦點在X軸上的橢圓。在橢圓上任取一點P，連結(jié)OP，選定點O與OP，于菜單欄上點擊“構(gòu)造”“垂線”，作出OP的垂線OQ交橢圓于點Q。連結(jié)PQ，過點O再構(gòu)造OD垂直于PQ，垂足為D，則OD的長為點O到弦PQ的距離。選定點O、D，點擊菜單欄“度量”“坐標距離”，則線段OD的長顯示于屏幕左上角。（如圖

6、4所示）2、畫板操作，動態(tài)確認：選定并拖動點P，發(fā)現(xiàn)隨著點P的移動，表示點O到弦PQ距離的線段OD的值始終保持不變。拖動點B1，改變橢圓的離心率后，再選定并拖動點P，發(fā)現(xiàn)隨著點P的移動，OD的值仍是不隨點P的移動而改變的一定值。3、歸納探究，獲取結(jié)論：若P、Q是橢圓上的兩個動點，且OPOQ，O為坐標原點，則點O到弦PQ的距離是定值。4、證明：當直線PQ斜率不存在時，由橢圓的對稱性及及已知可得POQ為等腰直角三角形，所以O(shè)D=PD=DQ，D在X軸上，不妨設(shè)，由P在橢圓上有，解得，所以，即點O到弦PQ的距離必等于。 圖5當直線PQ斜率存在時，（如圖5所示）設(shè)直線PQ為，由 有 即 化簡得所以所以由

7、點O到弦PQ的距離為。綜上所述，若P、Q是橢圓上的兩個動點，且OPOQ，O為坐標原點，則點O到弦PQ的距離必為。5、解后反思：原試題只是我們所得結(jié)論的一個特殊實例。命題人只是令橢圓方程中，。這樣，即點O到弦PQ的距離必等于。、橫向類比性探究相似的結(jié)構(gòu)，常?？梢灶惐瘸鱿嗨频慕Y(jié)論。橢圓與雙曲線是“姊妹”曲線，它們在很多方面有著相似的性質(zhì)、相似的結(jié)論。所以我們可以引導學生類比探究同樣是二次曲線的雙曲線是否也有類似的一般結(jié)論呢？ 圖6探究2：已知P、Q是雙曲線上的兩個動點，O為坐標原點，若OPOQ，則點O到弦PQ的距離是否為一定值，若是，求這個定值；否則說明理由。 圖71、直觀感知，作圖度量：定義坐標

8、系，點擊工具欄“自定義工具”“圓錐曲線A”“雙曲線（中心+實軸上頂點）”在坐標系上點擊原點（做中心）及X軸上一點（做頂點，X軸上的頂點），構(gòu)造出焦點在X軸上的雙曲線，在雙曲線上任取一點P，連結(jié)OP，選定點O及線段OP，于菜單欄上點擊“構(gòu)造”“垂線”，作出OP的垂線OQ，記取垂線與雙曲線的交點為Q，連結(jié)PQ，過點O再構(gòu)造OD垂直于PQ，垂足為D，則OD的長為點O到弦PQ的距離。選定點O、D，點擊菜單欄“度量”“坐標距離”，則線段OD的長顯示于屏幕左上角。（如圖6所示）2、畫板操作，動態(tài)確認：選定并拖動點P，可以看到OD的值不變。選定并拖動點B1，改變雙曲線離心率，再拖動點P，OD的值仍為一定值。

9、在拖動點B1，改變雙曲線的離心率過程中，發(fā)現(xiàn)當B1離點O較近（即b變?。r，點Q、OD的值會自動消失，（如圖7）經(jīng)多次試驗仍是如此。通過觀察圖形變換，可以推測該現(xiàn)象與雙曲線的離心率有關(guān)，并猜想當離心率時，條件OPOQ不成立所致。3、歸納探究，獲取結(jié)論：若P、Q是雙曲線上的兩個動點，O為坐標原點，當OPOQ時，點O到弦PQ的距離為一定值。4、證明：當直線PQ斜率不存在時，PQX軸時，由雙曲線的對稱性及及已知可得POQ為等腰直角三角形，所以O(shè)D=PD=DQ，D在X軸上，不妨設(shè)（m>0），由P在橢圓上有， 解得所以，即點O到弦PQ的距離必等于。當直線PQ斜率存在時，設(shè)直線PQ為，由 化簡得 所

10、以 所以 即 ，化簡得 所以綜上所述，若P、Q是雙曲線上的兩個動點，O為坐標原點，當OPOQ，則點O到弦PQ的距離是。顯然，當時，即時，無意義，此時，在雙曲線上不存在使OPOQ的兩點P、Q。 圖85、反思歸納：觀察到，綜合對試題的縱向及橫向研究結(jié)論，我們可以得出更具一般性的結(jié)論：平面直角坐標系中，若二次曲線上存在兩點P、Q，使OPOQ，則點O到弦PQ的距離為定值。、逆向思維式探究試題的正向探究完畢之后，我們還可以讓學生思考：這個問題的逆命題是否也成立呢？這樣的思維方式有助于幫助學生培養(yǎng)嚴謹完備的數(shù)學解題意識。探究3：已知P、Q是橢圓上的兩個動點，O為坐標原點，若點O到弦PQ的距離等于定值時，

11、OPOQ是否成立？1、畫板作圖，直觀感知：定義坐標系，依前例在坐標系上作橢圓，選定點A1及B1，利用“度量”中的“橫坐標”與“縱坐標”分另度量出A1的橫坐標及B1的縱坐標，分別改名為a、b。利用菜單欄中的“數(shù)據(jù)”“計算”計算出的值。選擇“繪圖”“繪制點（P）”作出點C（，0）。依次選定點O、C，選擇“構(gòu)造”“以圓心和圓周上的點作圓（C）”作圓O。在圓O上任取一點D，連結(jié)OD，選定點D及線段OD，選擇“構(gòu)造”“垂線”作出與點O距離為的直線PQ，交橢圓于點P、Q。依次選定點P、O、Q，選擇“度量”“角度”，則角POQ的大小顯示于屏幕上。（如圖8所示）2、畫板操作，動態(tài)確認：選定并拖動點D，此時，點

12、O到弦PQ的距離恒為，觀察發(fā)現(xiàn)POQ恒為90°，即OPOQ成立。改變離心率大小時，POQ仍保持恒為90°不變。（以下與探究4合二為一歸納證明） 圖9探究4：已知P、Q是雙曲線上的兩個動點，O為坐標原點，若點O到弦PQ的距離等于定值時， OPOQ是否成立？ 圖101、畫板作圖，直觀感知：定義坐標系，依前例在坐標系上作雙曲線，選定點A1及B1，利用“度量”中的“橫坐標”與“縱坐標”分另度量出A1的橫坐標及B1的縱坐標，分別改名為a、b。利用菜單欄中的“數(shù)據(jù)”“計算”計算出的值。選擇“繪圖”“繪制點（P）”作出點C（，0）。依次選定點O、C，選擇“構(gòu)造”“以圓心和圓周上的點作圓（

13、C）”作圓O。在圓O上任取一點D，連結(jié)OD，選定點D及線段OD，選擇“構(gòu)造”“垂線”作出與點O距離為的直線PQ，交橢圓于點P、Q。依次選定點P、O、Q，選擇“度量”“角度”，則角POQ的大小顯示于屏幕上。2、畫板操作，動態(tài)確認：選定并拖動點D，此時，點O到弦PQ的距離為，觀察發(fā)現(xiàn)當點D在圓O上移動時，POQ或為90°，即OPOQ成立（如圖9所示），或不存在（如圖10所示）。其中當移動點B1改變b的大小使ba時，未定義，此時雙曲線離心率，雙曲線上不存在兩點P、Q，使點O到弦PQ的距離為。3、探究歸納，獲取結(jié)論：觀察到且，綜合以上逆向探究3與探究4的結(jié)論，可以猜想更具一般性的結(jié)論：平面直

14、角坐標系中，若二次曲線上存在兩點P、Q，使點O到弦PQ的距離為定值，則OPOQ。4、證明：當過P、Q兩點的直線垂直于X軸時，由點O到直線PQ的距離為，曲二次曲線的對稱性，不妨設(shè)直線PQ為X= ，則由可解得，從而，。此時顯然OPOQ成立。當過P、Q兩點的直線不垂直于X軸時，設(shè)直線PQ方程為，由方程組 可得所以 因為點O到直線PQ的距離為 ，所以有 即 所以 即OPOQ。綜上所述，在平面直角坐標系中，若二次曲線上存在兩點P、Q，使點O到弦PQ的距離為定值，則OPOQ。5、反思總結(jié)綜合以上縱向一般化探究，橫向類比性探究，逆向思維式探究的結(jié)論，我們有以下性質(zhì)定理：性質(zhì)1：平面直角坐標系中，若二次曲線上

15、存在兩點P、Q，使OPOQ，則點O到弦PQ的距離為定值。性質(zhì)2：平面直角坐標系中，若二次曲線上存在兩點P、Q，使點O到弦PQ的距離為定值，則OPOQ。三、數(shù)學實驗探究的反思本次探究通過幾何畫板為工具對試題進行縱向一般化探究，橫向類比性探究，逆向思維式探究的過程，使我們看到利用幾何畫板的動態(tài)性和形象性，可以給學生創(chuàng)造一個實際“操作”探究幾何圖形的實驗環(huán)境。學生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜測并驗證，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗背景，從而更有助于學生理解和證明。因此，幾何畫板能為學生創(chuàng)造一個進行幾何“實驗”的環(huán)境，有助于發(fā)揮學生的主體性、積極性和創(chuàng)造性，充

16、分體現(xiàn)了現(xiàn)代教學的思想。當然，數(shù)學是思維的體操，基于幾何畫板的實驗探究平臺進行實驗，然后再引導學生歸納分析、類比猜想，符合數(shù)學發(fā)現(xiàn)發(fā)生的客觀規(guī)律。但數(shù)學也是嚴密的，數(shù)學不是憑空想象出來的，數(shù)學探究的結(jié)果必須進行嚴格的邏輯推理論證。因此，在數(shù)學的實驗探究過程中，合情推理與演繹推理必須相輔相成，缺一不可。利用幾何畫板為平臺進行數(shù)學實驗探究，教師必須先引導學生作好實驗課件，由于幾何畫板的作圖方法與與數(shù)學作圖相類，學生易于理解，而且?guī)缀萎嫲逭n件的制作簡單 易行，通常在幾分鐘的時間內(nèi)即可完成，便于師生當堂完成，制作過程的可視性也有利于提高實驗結(jié)果的可信度。這使得幾何畫板進入課堂更具有實際意義和現(xiàn)實意義?；趲缀萎嫲宓臄?shù)學探究活動讓學生通過動手操作，進行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動，最后獲得概念，是理解和解決問題的一種有效的教學過程。在這個過程中，教師能