用特征根方程法求數(shù)列通項(xiàng)

1、頁(yè)眉13 / 7當(dāng)f(x)x時(shí),典型例子：an1令此方程的兩個(gè)根為特征方程法求解遞推關(guān)系中的數(shù)列通項(xiàng)x的取值稱為不動(dòng)點(diǎn)，不動(dòng)點(diǎn)是我們?cè)诟?jìng)賽中解決遞推式的基本方法。aanb若x1x2,則有例題1:設(shè)f(x)(i)求函數(shù)的常數(shù)k的值;cand(1)若Xianixianix22x32x對(duì)由ai1,an解析：(i)設(shè)函數(shù)解彳導(dǎo)x0可知使f(x)af(x)b1an3an3是以qananf(x)的不動(dòng)點(diǎn);f(ani)(nf(x)的不動(dòng)點(diǎn)為axb2，即cxcxd1*2，則有an1XiX2(其中q(2)對(duì)(1)(da)xb0,anxip(其中acx2中的二個(gè)不動(dòng)點(diǎn)a,b(ab),求使f(x)_ak_x_a恒成

2、立f(x)bxb2)定義的數(shù)列an,求其通項(xiàng)公式an。f(x)xo,則xo2xo32xo2x3x03(2)由2x72x32x71k_x_a恒成立的常數(shù)k-o(3)xb831-為首項(xiàng)，-為公比的等比數(shù)列。482x32xan滿足性質(zhì)：對(duì)于nN,an11(x2)8x24由(2)可知1a.一J2an3an42an3'x42解:依定理作特征萬(wàn)程x，變形得2x2x402x3根，則有anan8(x3)ani2，所以數(shù)列ani3()n1,則8且ai其根為an91ni力)311；(8)3,求an的通項(xiàng)公式.i1,22.故特征方程有兩個(gè)相異的an11an亙an2an-13匚3anan42an344anan

3、15an101an15an2即anlan11a5ana11又:數(shù)列a1anan12-是以£為首項(xiàng),251，-為公比的等比數(shù)列5an1an2|(1)n155an5(5)n1例3.已知數(shù)列an滿足：對(duì)于fl1、n15)(5)n4n2(5)n，N.N,都有an1an13an25(1)若a15,求an;(2)若a16,求an；解：作特征方程x13x25、.一2變形得x10x25Q特征方程有兩個(gè)相同的特征根x5.(Da15,a1x.N,都有an5；(Dan一nN.一、數(shù)列的一階特征方程（anPan1q型)在數(shù)列an中，a1已知，且n2時(shí),anPan1p,q是常數(shù)），(1)1時(shí)，數(shù)列an為等差數(shù)

4、列；（2）當(dāng)p0時(shí)，數(shù)列an為常數(shù)數(shù)歹U；(3)1,q0時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列;(4)0,1,q0時(shí)，稱xpxq是數(shù)列an的一階特征方程，其根x叫做特征方程的特征根，這時(shí)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為:an(a1x)pn1x；例1:已知數(shù)列an中,a12時(shí)，求an；（參考答案：an2722&n1)3二、數(shù)列的二階特征方程（an2Panqan型)在數(shù)列an中，a1與a2已知，且an22pan1qan（p,q是常數(shù)），則稱xpxq是數(shù)列an的二階特征方程,其根x1,x2叫做特征方程的特征根。（1）當(dāng)XiX2時(shí)，有angXC2X2;當(dāng)XiX2時(shí)，有anai（n1）dx：1其中G,c2,d由a1,a2代

5、入an后確定。例2：在數(shù)列an中，a13,a27,且n3時(shí)，an3an14an20,求an；n12n1（參考答案：an（1）2）考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的線性遞推問(wèn)題.設(shè)已知數(shù)列an的項(xiàng)滿足a1b,an1cand其中c0,c1,求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式采用數(shù)學(xué)歸納法可以求解這一問(wèn)題，然而這樣做太過(guò)繁瑣，而且在猜想通項(xiàng)公式中容易出錯(cuò)，本文提出一種易于被學(xué)生掌握的解法一一特征方程法：針對(duì)問(wèn)題中的遞推關(guān)系式作出一個(gè)方程X cxd,稱之為特征方程；借助這個(gè)特征方程的根快速求解通項(xiàng)公式.下面以定理形式進(jìn)行闡述.定理1.設(shè)上述遞推關(guān)系式的特征方程的根為x0,則當(dāng)x0a1時(shí)，an為常數(shù)列,a1;當(dāng)x0 a1時(shí)，an bn

6、x0,其中bn是以c為公比的等比數(shù)列，即bnb1cn 1,b1a1X0.證明：因?yàn)閏d0,1,由特征萬(wàn)程得x0.作換元bn an1 cXo,則bn1an 1X0can dcdcanc(an Xo) cbn.當(dāng)Xoa1時(shí),b10 ,數(shù)列bn是以c為公比的等比數(shù)列，故bnb1cn 1;當(dāng)Xoa1時(shí),b10, bn為 0數(shù)列，故 an a1 ,n N.（證畢）下面列舉兩例，說(shuō)明定理1的應(yīng)用.bnan例1.已知數(shù)列an滿足：an 1解：作方程X1x 2,則 X0 31-an 2,n N, a1 334,求an.當(dāng)a14時(shí),a1X0, b1a12311一.數(shù)列bn是以221，口 一為公比的等比數(shù)列.于是

7、3b1(1、n 13)bn11 , 1、n 1 二(二) ,233 111 ()2 23n 1,nN.例2.已知數(shù)列an滿足遞推關(guān)系:an 1(2an 3)i,nN,其中i為虛數(shù)單位.當(dāng)a1取何值時(shí)，數(shù)列an是常數(shù)數(shù)歹U?bn0cn解：作方程x（2x3）i,則x0現(xiàn)在考慮一個(gè)分式遞推問(wèn)題（*）.例3.已知數(shù)列an滿足性質(zhì)：對(duì)于將這問(wèn)題一般化，應(yīng)用特征方程法求解,N,都有anpxqrxhpanqranh（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的根r,1右a1，則anbn63i.要使5nN,an有下述結(jié)果an為常數(shù)，即則必須a163iXo-a-4,且a13,求an的通項(xiàng)公式.2an3.定理2.如果數(shù)列an滿足下

8、列條件：已知a1的值且對(duì)（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且phqr,r（稱作特征根）時(shí)，若a1，則an,nN,其中bnai(n1)r0時(shí)，無(wú)窮數(shù)列an不存在.（2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的根a11a12(二)"證明：先證明定理的第（則dn1an1dn(p2（稱作特征根）時(shí)，則1,nN，(其中a11）部分.作交換panqranhr)r2(hrdnhr是特征方程的根，：將該式代入式得dn當(dāng)d12).dnp)an,nNan(pr)ranq-h0,a1U）,那么，可作特征方r,nN；,npr2cncnN.特別地，當(dāng)存在n0N,使nN,其中(dn)(pr)qhr(dn)hdn(pr)rdn(hp)

9、q0.代入特征方程可整理得rph時(shí),N.qr,這與已知條件phqr矛盾.故特征方程的根衛(wèi)，于是r由式得bn0,nN,故andn,nN.當(dāng)d10即a1時(shí),由、兩式可得dn0,N.此時(shí)可對(duì)式作如下變化:rdnhrdn1dn(Pr)Prdn是方程xpxqrx的兩個(gè)相同的根可以求得Ph2r2r2r1,將此式代入式得bnbn當(dāng)存在一,ndnN.則bbnb1(n1)N.其中b1dndnPN.故數(shù)列bn是以r一一1一為公差的等差數(shù)列.Prd1a1N,bn0時(shí)，andnbn,nN.n0N,使bn00時(shí),an。dnobn0無(wú)意義.故此時(shí)，無(wú)窮數(shù)列an是不存在的.再證明定理的第（2）部分如下:.特征方程有兩個(gè)相異

10、的根1;其中必有一個(gè)特征根不等于a1，不妨令2a1.于是可作變換ancnan故cnPancn1由第（an(Pan(Pranq代入再整理得hJ)q2)q1hRn1）部分的證明過(guò)程知1r0,p2rP-,x二不是特征方程的根，故r0.所以由式可得:cn1r2ranqPqpih1r,n2h2r特征方程x心有兩個(gè)相異根rxh、*22萬(wàn)程rxx(hP)0有兩個(gè)相異根xqxh與方程rx2x（hp）q0又是同解方程.：1hq2h1,pxrP1rP2r將上兩式代入式得cn 1p" aniP2 an2ircn, n 2rp1r當(dāng)c10,即a11時(shí)，數(shù)列On是等比數(shù)列，公比為-.此時(shí)對(duì)于nN都有p2r根,

11、cncn由cn注:當(dāng)c1(1尸an1且1anphqr時(shí)，典ran現(xiàn)在求解前述例2可知cn1,nq會(huì)退化為常數(shù)h3的分類(lèi)遞推問(wèn)題（）.x4解:依定理作特征方程x，變形得2x3使用定理2的第（2）部分，則有a11a1(;當(dāng)一ancn例4.2r2(5)n1已知數(shù)列an滿足：對(duì)于n(1)若a15,求an;(2)若a12rN.2x2當(dāng)c1所以an0時(shí)，an2x0即a11時(shí),2cnpanran0,其根為上式也成立.,nN.一cn1一,n1N.（證畢）q可化歸為較易解的遞推關(guān)系，在此不再贅hi（1,25)n2.故特征方程有兩個(gè)相異的1,nN.一,n1N,都有anN.即an(5)n(5)47,nN.13an2

12、5an33,求an;（3）若a16,求an;（4）當(dāng)a1取哪些值時(shí)，無(wú)窮數(shù)列an不存在?“，-13x252一一八解：作特征萬(wàn)程x.變形得x10x250,x3特征方程有兩個(gè)相同的特征根5.依定理2的第（1）部分解答.（1）a15,a1.對(duì)于nN,都有an5;1r.：bn(n1)apr(n1)11315令bn5.故數(shù)列an從第5項(xiàng)開(kāi)始都不存在，當(dāng)n<4,nN時(shí)，an5n17(3)a16,5,a1bnbna1(n1)PN.令bn0,則n7n.;對(duì)于nN,bn0.一anbn1n11-85n43,nN.（4）顯然當(dāng)a13時(shí)，數(shù)列從第2項(xiàng)開(kāi)始便不存在.由本題的第（1）小題的解答過(guò)程知，a15時(shí),數(shù)列an是