Ch2導(dǎo)數(shù)與微分

1、 2 21 1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 2 22 2 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 2 23 3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 2 24 4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 25 5 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用2 26 6 函數(shù)的微分函數(shù)的微分2.1 2.1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)概念的引入一、導(dǎo)數(shù)概念的引入二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)三、單側(cè)導(dǎo)數(shù)四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系一、導(dǎo)數(shù)概念的引入一、導(dǎo)數(shù)概念的引入求函數(shù)變化率的兩個實例求函數(shù)變化率的兩個實例實例實例1 質(zhì)點作變速直線運動的瞬時速度質(zhì)點作變速直線運動

2、的瞬時速度. . 設(shè)設(shè)質(zhì)點的運動方程為質(zhì)點的運動方程為：s = =s( (t).).則則從時刻從時刻t0到到t0 + + t時間段內(nèi)時間段內(nèi)，質(zhì)點走過的路程為：，質(zhì)點走過的路程為： s=s(s=s(t0 + + t)-s()-s(t0) )在時間間隔在時間間隔tt內(nèi)，質(zhì)點運動的平均速度為內(nèi)，質(zhì)點運動的平均速度為: :00()( )S ttS tSvtt 000()( )limts tts tvt 當(dāng)當(dāng) t0 0時，時，取極限取極限得得質(zhì)點在時刻質(zhì)點在時刻t t0 0的瞬時速度的瞬時速度: :實例實例2 2 切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置播放播放實例實例2 2 切線

3、問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2

4、2 切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置實例實例2 2 切線問題切線問題割線的極限位置割線的極限位置切線位置切線位置 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點繞點M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點在點M處的處的切線切線.極限位置即極限位置即. 0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的斜率為的斜率為割線割線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿曲線沿曲線的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 二、導(dǎo)數(shù)的定義二

5、、導(dǎo)數(shù)的定義0000000000000()( ( )(),() , ( )()( ),(),m. li,xxxxxx xfyf xxU xxxU xyf xyf xxxf xxdydf xxyfxdxdxx 設(shè)在點 的某個鄰域內(nèi)有定義設(shè)在點 的某個鄰域內(nèi)有定義且若且若則稱在并稱這個極限則稱在并稱這個極限點處可導(dǎo)點處可導(dǎo)導(dǎo)導(dǎo)為為在點在點數(shù)數(shù)處的記為或處的記為或定義定義1 1即即00000()()limlimx xxxf xxf xyyxx 0000()()lim( ).xf xxf xf xxx 如果不如果不點 的點 的則稱在則稱在不可導(dǎo)不可導(dǎo)，.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其

6、它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()limlimx xxxf xxf xyyxx 實例實例1 質(zhì)點作變速直線運動的瞬時速度質(zhì)點作變速直線運動的瞬時速度: :00( )( )v ts t 實例實例2 曲線曲線y=f(x)上一點上一點M(x0 , f(x0)處的切處的切線斜率線斜率tan = f (x0)xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或 )()(00 xfxf( ),( ).yf xIf xI 如果在開區(qū)間內(nèi)的每點處都可導(dǎo)如果在開區(qū)間內(nèi)的每點處都可導(dǎo)就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)就稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)定義定

7、義2 2( )( )( )( ),( ),.xIfxyfxdydf xf xyfxdxdx 導(dǎo)函導(dǎo)函由確定的新函數(shù)叫做由確定的新函數(shù)叫做的簡稱的簡稱數(shù)數(shù)作或作或?qū)?shù)導(dǎo)數(shù)，記，記注意注意: :00()( ).x xfxfx .,0慢程度慢程度而變化的快而變化的快因變量隨自變量的變化因變量隨自變量的變化反映了反映了它它處的變化率處的變化率點導(dǎo)數(shù)是因變量在點點導(dǎo)數(shù)是因變量在點 x注意注意（2）右導(dǎo)數(shù)）右導(dǎo)數(shù): 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)（1）左導(dǎo)數(shù)）左導(dǎo)數(shù):0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limlimxxxf x

8、f xf xxf xfxxxx ，定義定義左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù)定理定理1如如果果)(xf在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就說說)(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上可可導(dǎo)導(dǎo).注意注意: :由定義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù)步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算比值算比值.lim)3(0 xyyx 求極限求極限例例1 1.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(si

9、n)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即.)(xxee 例例4 4.)1, 0(log的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)

10、1(loglim10 11log.lnaexxa1(log).lnaxxa 即 例例5 5.)(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為正整數(shù)為正整數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nxyn 解解更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(3 x23x )(1 x11)1( x.12x hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即例例6 6.0)(處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0(

11、)0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點不可導(dǎo)點不可導(dǎo)在在函數(shù)函數(shù) xxfy注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義oxy)(xfy T0 xM（1）幾何意義）幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 例例7 7.,)2 ,21(1方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點處的切線并寫出在該點處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點在點求等邊雙曲線求等邊雙曲線xy

12、解解由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即（2）物理意義）物理意義非均勻變化量的瞬時變化率非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線運動變速直線運動: :路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度瞬時速度.lim)(0dtdststvt 交流電路交流電路: :電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度.0( )lim.tQdQi ttdt 非均勻的物體非均勻的物體: :質(zhì)量對

13、長度質(zhì)量對長度( (面積面積, ,體積體積) )的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)為物體的線數(shù)為物體的線( (面面, ,體體) )密度密度. .定理定理 若若 f (x) 在在 x0 處可導(dǎo)，則處可導(dǎo)，則 f (x) 在在 x0 處處連續(xù)連續(xù). .證證三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系三、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系,)(0可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0連續(xù)連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)xxf)0(0 x 注意注意: 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立 (連續(xù)函數(shù)未必可導(dǎo)連續(xù)函數(shù)未必可導(dǎo))例如例如y=|x|在在

14、x=0處連續(xù)但不可導(dǎo)處連續(xù)但不可導(dǎo).例例7 7.0,0, 00,1sin)(處的連續(xù)性與可導(dǎo)性處的連續(xù)性與可導(dǎo)性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解,1sin是有界函數(shù)是有界函數(shù)x01sinlim0 xxx.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf處有處有但在但在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之間振蕩而極限不存在之間振蕩而極限不存在和和在在時時當(dāng)當(dāng) xyx.0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf0)(lim)0(0 xffx例例8 8?,1)(,1,1,)(2應(yīng)取什么值應(yīng)取什么值處連續(xù)且可導(dǎo)，處連續(xù)且可導(dǎo)，在在為了使函數(shù)為了使函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxxfxbaxxxxf 解解1

15、lim)01(21 xfxbabaxfx )(lim)01(11)1( f1,1)( baxxf則則連續(xù)連續(xù)在在若若211lim)1(21_ xxfxaxaaxxbaxfxx 1lim11lim)1(11)1()1(,2_ ffa時時當(dāng)當(dāng)處連續(xù)且可導(dǎo)處連續(xù)且可導(dǎo)在在時時當(dāng)當(dāng)1)(,1b2, xxfa小結(jié)小結(jié)1. 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限增量比的極限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率;4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定

16、義求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù).6. 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo).連續(xù)連續(xù)直接用定義直接用定義;看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 函數(shù) 在某點 處的導(dǎo)數(shù))(xf0 x)(0 xf )(xf 有什么區(qū)別與聯(lián)系 ?與導(dǎo)函數(shù)2. 設(shè))(0 xf 存在 , 則._)()(lim000hxfhxfh3. 已知,)0(,0)0(0kff則._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k4. 設(shè)0,0,sin)(xxaxxxf, 問 a 取何值時,)(xf 在),(都存在 , 并求出. )(xf 解解2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、四則運算法

17、則一、四則運算法則二、反函數(shù)求導(dǎo)法則二、反函數(shù)求導(dǎo)法則 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、四則運算法則一、四則運算法則定理定理并且并且也可導(dǎo)也可導(dǎo)處處在點在點分母不為零分母不為零它們的和、差、積、商它們的和、差、積、商那么那么處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu證證(3)(3)證證(1)(1)、(2)(2)略略. .),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)h

18、xfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在xxf推論推論; )( )()1(11 niiniixfxf);( )()2(xfCxCf ;)3(wuvwvuvwuuvw .)1()4(2vvv 例例1 1.sin223的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解解例

19、例2 2.ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解解23xy x4 .cos x xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解同理可得同理可得2(cot )sc.cxx 2(tan )sec.xx 即即)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 例例4 4.sec的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解同理可得同理可得(sec )sta.ecnxxx 即即(csc )

20、cc.scotxxx xx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin )cos1()(sec xxy.1csc22yxxy ，求求例例5 5解解222)1(csc2)1(cotcsc2xxxxxxy 222)1(2)1(cotcsc2xxxxx 例例7 7).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解解, 1)( xf,0時時當(dāng)當(dāng) x,0時時當(dāng)當(dāng) xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x ,0時時當(dāng)當(dāng) xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1

21、)0( f.0,110, 1)( xxxxf三、小結(jié)三、小結(jié)注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導(dǎo)時求導(dǎo)時, 分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)求.Z 思考思考1、 求曲線求曲線 上與上與 軸平行的切線方程軸平行的切線方程.32xxy x2 2、若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在點在點0 x處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù)0)(0 xf，則曲，則曲線線)(xfy 在點在點( ()(,00 xfx) )處的法線處的法線（ ） （A A）與）與x軸相平行；軸相平行； （B B）與）與x軸垂直；軸垂直； （C C）與）與y軸相垂直；軸相垂直； （D

22、D）與）與x軸即不平行也不垂直軸即不平行也不垂直. .解答解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切點為切點為 964,32 964,32所求切線方程為所求切線方程為964 y964 y和和 2 21 1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 2 22 2 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 2 23 3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 2 24 4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 25 5 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用2 26 6 函數(shù)的微分函數(shù)的微分2.2 2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 一、四則運算法則一、四則運算法則二、反函數(shù)求導(dǎo)法則二、反函數(shù)求導(dǎo)法則

23、 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且有且有內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo)在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).證證,xIx 任取任取xx 以以增增量量給給的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(連續(xù)連續(xù)xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx 0lim

24、)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即), 0(xIxxx 例例7 7.arcsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在)1 , 1( xI)(sin1 yycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc例例8 8.log的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xya , 0ln)( aaayy且且,), 0(內(nèi)有內(nèi)有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax

25、 解解,),(內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yyIax特別地特別地.1)(lnxx 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則即即 因變量對自變量求導(dǎo)因變量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對中間變等于因變量對中間變量求導(dǎo)量求導(dǎo), ,乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(.(鏈式法則鏈式法則) )( ),( ), ( ), 2 .( )( )ug xxyf uuyfdyf udxxggxx 如如果果在在點點可可導(dǎo)導(dǎo) 而而在在點點 可可導(dǎo)導(dǎo) 則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)在在點點可可導(dǎo)導(dǎo)且且其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為定定理理推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxd

26、yxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 例例9 9.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例10.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解例例1111.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 補充：指數(shù)求導(dǎo)法則補充：指數(shù)求導(dǎo)法則 0ln xuexuxuxvxv冪指函數(shù)冪指函數(shù) xuxvxvexuln xux

27、vexuxvlnln xuxuxvxuxvxuxvln例例3 3.sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xxy 解解 xxxxxxsinlncossinsinsin lnxxxxesin lnsin lnxxexx例例1212.的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xexy 解解 xeexxexln xexexxxexln.2的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)練習(xí)：求函數(shù)練習(xí)：求函數(shù)xxy 2222,)(xxxxxxxx 1()0 ().xxxR 證明證明例12例12解解1(ln)0.xxx 證明證明例13例13解解(ln( )( )/( ).( ( )0)f xfxf xf x 更一般地，更一般地，四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式四、基本求

28、導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是

29、常數(shù)) )C 2211)cot(arc11)(arccosxxxx 3.反函數(shù)求導(dǎo)法則反函數(shù)求導(dǎo)法則反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). .復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(, )(xgufxydxdududydxdyxfyxguufy 或或的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為都都可可導(dǎo)導(dǎo)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) 利用上述公式及法則利用上述公式及法則, 初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.結(jié)論結(jié)論: :初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).例例1414.arcsin22222的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)axaxaxy 解解)

30、0( a例例15152221cos,.1cosxyyx 求求解解 axaxaxyarcsin222222222222222121xaaxaxxa 2222)cos1(sincos2)cos1()cos1(sincos2xxxxxxxy 22)cos1(2sin2xx , y, y ( ( /2)=0./2)=0.例例1616.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例1212.)(sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin

31、)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 例例7 7).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求設(shè)設(shè)解解, 1)( xf,0時時當(dāng)當(dāng) x,0時時當(dāng)當(dāng) x1( )1fxx,0時時當(dāng)當(dāng) xhhfh)01ln()0(lim)0(0 , 1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 , 1 . 1)0( f.0,110, 1)( xxxxf例例17、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)sinh,cosh22xxxxeeeexx(sinh )cosh2xxeexx (sin

32、h )coshxx (cosh )sinhxx sinhtanhcoshxxx 21(tanh )coshxx 同理同理)11(1122xxxx 211x 211x 211x )11ln21( xx221)1()(arcsinhxxxxx )1(ln(2xx2ln(arcs1)inhxxx (arccosh )x (arctanh )x 小結(jié)小結(jié)注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函數(shù)分段函數(shù)求導(dǎo)時求導(dǎo)時, 分界點導(dǎo)數(shù)用分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)左右導(dǎo)數(shù)求求.反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函

33、數(shù)的求導(dǎo)法則注意函數(shù)的復(fù)合過程注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈式合理分解正確使用鏈式 法則）法則）;已能求導(dǎo)的函數(shù)已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù)可分解成基本初等函數(shù),或?；虺?shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初任何初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都可以按常數(shù)和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出等函數(shù)的求導(dǎo)公式和上述求導(dǎo)法則求出.關(guān)鍵關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).1sinsinnynxx( ), ( ):dyf xg xydx2 2 設(shè)可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)可導(dǎo)，求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù))(cos)(s

34、in)2()()1(222xfxfyxfy 0)()()()()3(2222 xgxfxgxfy.yxxx3 3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)練習(xí)練習(xí)arctan(tanh )yx 4 4 求求第第3 3題的解答題的解答解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 第第4 4題的解答題的解答解解)(tanhtanh112 xxyxx22cosh1tanh11 xxx222cosh1coshsinh11 xx22sinhcosh1 .sinh2112x Z 思考思考1.1.冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（ ）

35、. .（1）必可導(dǎo)；）必可導(dǎo)； （2）必不可導(dǎo)；）必不可導(dǎo)；（3）不一定可導(dǎo)；）不一定可導(dǎo)；（3）（D）1.1.冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（冪函數(shù)在其定義域內(nèi)（ ）. .解答解答正確的選擇是正確的選擇是（3）例例32)(xxf ),( x在在 處不可導(dǎo)，處不可導(dǎo)，0 x )1(2)(xxf ),( x在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)，在定義域內(nèi)處處可導(dǎo)， )2(（1）必可導(dǎo)；）必可導(dǎo)； （2）必不可導(dǎo)；）必不可導(dǎo)；（3）不一定可導(dǎo)；）不一定可導(dǎo)； 2 21 1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 2 22 2 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 2 23 3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 2 24 4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定

36、的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 25 5 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用2 26 6 函數(shù)的微分函數(shù)的微分2.3 2.3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例三、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則三、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.( ),ss t 設(shè)設(shè)( )( )v ts t 則瞬時速度為則瞬時速度為的變化率的變化率對時間對時間是速度是速度加速度加速度tva( )( ) ( ) .a tv ts t 0 ( )( ),()( ) ( )lim,( )( ).xf xfxxfx

37、xfxfxxfxf xx 如如果果函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點點 處處可可導(dǎo)導(dǎo) 即即存存在在 則則稱稱為為函函數(shù)數(shù)在在點點 處處的的二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)定義定義記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 .,),(33dxydyxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),( )1( ),f xnf xn 一般地 函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為一般地 函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù) 記作函數(shù)的 階導(dǎo)數(shù) 記作.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù).)(;)(,稱稱為為一一階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)

38、稱稱為為零零階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相應(yīng)應(yīng)地地xfxf 二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例二、高階導(dǎo)數(shù)求法舉例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解直接法直接法: :由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù)由高階導(dǎo)數(shù)的定義逐步求高階導(dǎo)數(shù).211xy 22)1(2xx 22)1(2xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 211xy例例2 2.),()(nyRxy求求設(shè)設(shè) 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn則則為為自自然然數(shù)數(shù)若若,n )()()(nnnxy

39、, !n ) !()1( nyn. 0 例例3 3.),1ln()(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n階導(dǎo)數(shù)時階導(dǎo)數(shù)時,求出求出1-3或或4階后階后,不要急于合并不要急于合并,分析結(jié)果的規(guī)律性分析結(jié)果的規(guī)律性,寫出寫出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).(數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)歸納法證明)例例4 4.,sin)(nyxy求求設(shè)設(shè) 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn

40、)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得常用高階導(dǎo)數(shù)公式常用高階導(dǎo)數(shù)公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( ( )(2) (sin )sin()2nxxn ( )(3) (cos )cos()2nxxn )0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()(1)(!)1()1( nnnxnx例例5 5.),(sin)(naxybabxey求求為常數(shù)為常數(shù)設(shè)設(shè) 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebx

41、aebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab EX1 EX1 ( )( )().nf xnf axb 已知的 階導(dǎo)數(shù)存在，求已知的 階導(dǎo)數(shù)存在，求常用高階導(dǎo)數(shù)公式可寫成常用高階導(dǎo)數(shù)公式可寫成( )1(1)!(5) ln()( 1)()nnnnaxbnaaxb ( )(2) (sin()sin()2nnaxbaaxnb ( )(3) (cos()cos()2nnaxbaaxnb ( )(1) ()ln(0)bx dnnbxndbaaaa( )()bnbxnx ddbee ( )11!()( 1)()nnnnaaxb

42、axbn ( )(4) () (1)(1)()nnnnaxbaxba 則則階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)具有具有和和設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 萊布尼茲（萊布尼茲（Leibniz）公式）公式三、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則三、高階導(dǎo)數(shù)的運算法則例例6 6.,)20(22yexyx求求設(shè)設(shè) 解解則由萊布尼茲公式知則由萊布尼茲公式知設(shè)設(shè),22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(2

43、2)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex )()()(nxvxu關(guān)于萊布尼茲公式，應(yīng)該注意：關(guān)于萊布尼茲公式，應(yīng)該注意：)()(0kknnkknvuC (1)knC不要丟了系數(shù)；不要丟了系數(shù)；(2)( )( )0( ),( ).u xv xv xu x恰當(dāng)?shù)剡x擇和，恰當(dāng)?shù)剡x擇和，求導(dǎo)最快為 的為求導(dǎo)最快為 的為容易求出任意階導(dǎo)數(shù)的取做容易求出任意階導(dǎo)數(shù)的取做間接法間接法: :利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式, 通過四則通過四則運算運算, 變量代換等方法變量代換等方法, 求

44、出求出n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù).例例7 7.,11)5(2yxy求求設(shè)設(shè) 解解)1111(21112 xxxy 66)5()1(! 5)1(! 521xxy 66)1(1)1(160 xx.,21)(2nyxxy求求 解解 練習(xí)練習(xí))2111(31 xxy111111312( )()!()()nnnnynxx例例8.,cossin)(66nyxxy求求設(shè)設(shè) 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)(

45、nxynn降冪降冪小結(jié)小結(jié)高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義高階導(dǎo)數(shù)的定義及物理意義;高階導(dǎo)數(shù)的運算法則高階導(dǎo)數(shù)的運算法則(萊布尼茲公式萊布尼茲公式);n階導(dǎo)數(shù)的求法階導(dǎo)數(shù)的求法;1.直接法直接法;2.間接法間接法.1. 如何求下列函數(shù)的如何求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)?1(1)1xyx 3(2)1xyx 解解: 解解: 練習(xí)練習(xí)1! ( )nnf x 2. (填空題填空題) (1) 設(shè)設(shè)2216( )(32) cos,xnf xxx 則則( )(2)nf ( )f x 16cos) 1(2xxn( )( )nfx16cos) 1(2xxn提示提示:各項均含因各項均含因子子 ( x 2 )nx)2(

46、! n22!n(2) 已知已知( )f x任意階可導(dǎo)任意階可導(dǎo), 且且2n時)()(xfn提示提示:2( ) ( ) ,fxf x 則當(dāng)則當(dāng) )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf3. 設(shè)設(shè),3)(23xxxxf求使求使)0()(nf存在的最高存在的最高._n2階數(shù)階數(shù) 2 21 1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 2 22 2 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 2 23 3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 2 24 4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 25 5 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用2 26 6 函數(shù)的微分函數(shù)的微

47、分2.4 2.4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義: :. )(0),(,0),(xfyyxFyxyxF 函數(shù)函數(shù)該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱該區(qū)間內(nèi)確定了一個隱在在那么就說方程那么就說方程值存在值存在的的唯一唯一的的相應(yīng)地總有滿足這方程相應(yīng)地總有滿足這方程間內(nèi)的任一值時間內(nèi)的任一值時取某區(qū)取某區(qū)當(dāng)當(dāng)中中設(shè)在方程設(shè)在方程.)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不

48、易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :1. 應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo).( ,( )0F x f x 2. 通過解方程得到導(dǎo)數(shù)通過解方程得到導(dǎo)數(shù).例例1 100,.xyxxyeedydyydxdx 求由方程所確定的隱函數(shù)求由方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解要特別注意在求導(dǎo)的過程中，視要特別注意在求導(dǎo)的過程中，視 y = f (x)是是x的函數(shù)的函數(shù).:求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知00

49、0 yxyxxexyedxdy. 1 例例2 2.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設(shè)設(shè)yyxyx 解解求導(dǎo)得求導(dǎo)得方程兩邊對方程兩邊對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx01;4xy求導(dǎo)得求導(dǎo)得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx, 1, 0 yx代入代入01.16xy 01;4xy解解反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . .例例3 3 求求xyxe例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩

50、邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 xxxxyy1sinlncos)sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)()(1)(lnxfxfxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 方法方

51、法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :總結(jié)例總結(jié)例4,54,5如下如下: :( )( ).v xu x多個函數(shù)相乘、除及冪指函數(shù)的情形多個函數(shù)相乘、除及冪指函數(shù)的情形1. 設(shè)設(shè)tan3ln22(sin ),(2)xxxxyxxx 求求.y 1y2y提示提示: 分別用對數(shù)求導(dǎo)法求分別用對數(shù)求導(dǎo)法求12,.yy答案答案12yyytan2(sin )(seclnsin1)xxxx 212ln3(2)3(2)xxxxx練習(xí)練習(xí)3ln212(2)xxxx 2. 2. 設(shè)設(shè)( )yy x

52、 由方程由方程yexye確定確定 , , (0) ,y 解解 求求(0) .y 二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導(dǎo)消參困難或無法消參如何求導(dǎo)?t),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導(dǎo)都可導(dǎo)再設(shè)函數(shù)再設(shè)函數(shù)由復(fù)合函

53、數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得由復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的求導(dǎo)法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx ,)()(二階可導(dǎo)二階可導(dǎo)若函數(shù)若函數(shù) tytx )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd )()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例6 6解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddx

54、yd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時時刻刻的的運運動動方方向向炮炮彈彈在在時時刻刻求求其其運運動動方方程程為為發(fā)發(fā)射射炮炮彈彈發(fā)發(fā)射射角角以以初初速速度度不不計計空空氣氣的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運動方向即時刻的運動方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .c

55、ossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 小結(jié)小結(jié)隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: : 直接對方程兩邊求導(dǎo)直接對方程兩邊求導(dǎo);對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法: : 對方程兩邊取對數(shù)對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)導(dǎo)法則求導(dǎo);參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo): 實質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則實質(zhì)上是利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法

56、則; 2 21 1 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 2 22 2 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 2 23 3 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 2 24 4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程隱函數(shù)及由參數(shù)方程 所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2 25 5 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用2 26 6 函數(shù)的微分函數(shù)的微分2.5 2.5 導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用一、一、 切線與法線問題切線與法線問題二、二、 相關(guān)變化率相關(guān)變化率oxy)(xfy T0 xM由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程

57、為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy 0001()()yyxxfx 一、一、 切線與法線問題切線與法線問題0()0).fx 31yx xy01000000( ),()()limlim,( ). ()xxf xxf xxf xyxxf xx 設(shè)函數(shù)在點連續(xù) 但設(shè)函數(shù)在點連續(xù) 但稱函數(shù)在點有不稱函數(shù)在點有不無窮無窮意意導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)可導(dǎo)！可導(dǎo)！注注例如例如, 1)(3 xxf11.xx 在處不可導(dǎo)，在處不可導(dǎo)，但此時有垂直切線但此時有垂直切線2300000()()limlim1limxxxf xxf xyxxx 例例1 1解解2(3,8),.Myx 過作曲線的切線 寫出切線方程過

58、作曲線的切線 寫出切線方程例例2 2解解333,3 3( , ),2 2.CxyxyCC設(shè)曲線 的方程為求過 上設(shè)曲線 的方程為求過 上點的切線方程并證明曲線 在該點的法點的切線方程并證明曲線 在該點的法線通過原點線通過原點例例3 3解解.方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttaxdtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .),12(,2ayaxt 時時當(dāng)當(dāng) 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即例例3 3.方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1

59、()sin( ttayttax二、相關(guān)變化率二、相關(guān)變化率相關(guān)變化率問題相關(guān)變化率問題: :已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?( )( ).,xx tyy txdxydtdydt設(shè)及都是可導(dǎo)函數(shù)而變量與設(shè)及都是可導(dǎo)函數(shù)而變量與之間存在某種關(guān)系 從而它們的變化率與之間存在某種關(guān)系 從而它們的變化率與之間也存在一定關(guān)系這樣兩個相互依賴的之間也存在一定關(guān)系這樣兩個相互依賴的變化率稱為變化率稱為相關(guān)變化率相關(guān)變化率1.1.先建立先建立 x , ,y 之間的函數(shù)關(guān)系之間的函數(shù)關(guān)系F (x , y)=0, ,2.2.方程方程F (x , y)=0兩邊對兩邊對

60、t求導(dǎo)求導(dǎo), ,得到得到 與與 的關(guān)系式的關(guān)系式. .dtdxdtdy解決這類問題的一般途徑是解決這類問題的一般途徑是: :例例9 9解解?,500./140,500率是多少率是多少觀察員視線的仰角增加觀察員視線的仰角增加米時米時當(dāng)氣球高度為當(dāng)氣球高度為分分米米其速率為其速率為上升上升米處離地面鉛直米處離地面鉛直一汽球從離開觀察員一汽球從離開觀察員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為分鐘后分鐘后設(shè)氣球上升設(shè)氣球上升, ht500tanh 求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhdtd 5001sec2 ,/140分分米米 dtdh2sec,5002 米時米時當(dāng)當(dāng)h)/(1