南昌大學(xué)數(shù)學(xué)物理方法期末考試試卷b卷答案

1、精品文檔南昌大學(xué)20082009學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷精品文檔y2 ,則其虛部為_B_(備選答案：A. xy; B.C. x2 y2 ； D. x y )。14. xsinx (x3)dx5.根據(jù)柯西公式,積分z 2008 e 電dz 2 i ；|z| 2009 z 2008 一2z 2009 2 e2-dz0。Z 2010 z 2009參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)試卷編號(hào)：6031 (B)卷課程編號(hào)：H55020190 課程名稱:數(shù)學(xué)物理方法 考試形式： 閉卷適用班級(jí)：物理系07各專業(yè) 姓名： 學(xué)號(hào)： 班級(jí)： 學(xué)院：專業(yè)：考試日期：題號(hào)一二三四五六七八九十總分累分人 簽名題分454015100得分考

2、生注意事項(xiàng)：1、本試卷共6_頁，請(qǐng)查看試卷中是否有缺頁或破損。如有立即舉手報(bào)告以便更 換。2、考試結(jié)束后，考生不得將試卷、答題紙和草稿紙帶出考場(chǎng)。一、填空題(每小題3分，共45分)得分評(píng)閱人說明：有兩個(gè)空的小題，第一個(gè)空 2分，第二個(gè)空1分。1 .復(fù)數(shù) 1 5i /(2 3i)1 + i , ln*T7 11n2 i(- n )(n 0, 1, 2,)2 .復(fù)變函數(shù)f(z) u(x, y) iv(x, y)可導(dǎo)的充分必要條件為u(x,y)、v(x,y)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)并滿足柯西黎曼條件3 .若復(fù)變函數(shù)f(z)在區(qū)域B上解析，其實(shí)部為x226 .函數(shù)f(z) 一一L有1 個(gè)極點(diǎn)，為 1階極點(diǎn)，在

3、極點(diǎn)處的留數(shù)z 3z 2為_ 2 o7 .閉區(qū)域E的內(nèi)點(diǎn)為某一鄰域及其本身均屬于 E的點(diǎn) ;境界點(diǎn)為1z2 3z 2可展開為1 z z22(1 (2) (2)k1 kko(1 寸)z。任一鄰域及其本身均部分屬于，部分不屬于點(diǎn)集 E的點(diǎn)。一，1(|t| 1),10 .函數(shù)f(t)的傅里葉變換為F( ) 2sin /。0 (I t I 1)211 . 1 et的拉普拉斯變換為1/ p 2/( p 1) 1/( p 2)。12 .數(shù)學(xué)物理方程定解問題的適定性是指解的 _存在性,_唯一性_, _穩(wěn)定性_。13 .一根兩端(左端為坐標(biāo)原點(diǎn)而右端x l)固定的弦，用手在離弦左端長為l/3處把弦 朝橫向撥開

4、距離h,然后放手任其振動(dòng)。橫向位移u(x,t)的初始條件為u(x,0) 3hx/l,(0 x l/3)和 u(x,0) 3h(l x)/2l,(l/3 x l);ut(x,0) 0.。14 .偏微分方程Uxx2uxy8Uyy2ux6Uy10的類型為A (備選答案:A.雙曲型B.拋物型C.橢圓型D.混合型)；為了得到標(biāo)準(zhǔn)形，可以采用的自變量 函數(shù)變換為 4x y, 2x y o15 .判斷下面的說法是否正確，正確的在題后的“()”中打，錯(cuò)誤的打X。(1)若函數(shù)f(z)在z點(diǎn)解析，則函數(shù)f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)，反之亦然。(X)(2)復(fù)通區(qū)域上的回路積分不一定為零。同樣，單通區(qū)域上的回路積分也可以不為零

5、。(，)(3)設(shè)z為復(fù)數(shù)，則lim告0。(X)z e、求解題(每小題10分，共40分)得分評(píng)閱人說明：要求給出必要的文字說明和演算過程。1.用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)積分dziz|3Z2(z 1)( z 5)解：被積函數(shù)f(z)-有兩個(gè)極點(diǎn)對(duì)積分有貢獻(xiàn)：?jiǎn)螛O點(diǎn) z 1 ,兩階極z1 2(z 1)(z 5)點(diǎn)z 0o留數(shù)分別為-(2分)根據(jù)留數(shù)定理得Resf (0) 6/ 25Resf (1)1/4-(6分)dz一2一iz|3z2(z 1)(z 5)2 i(Resf (0) Resf (1)i 50-(2分)解：根據(jù)留數(shù)定理有：1I /2 dx 2 i f (z)4 x所以I14 z2在上半平面所有奇點(diǎn)留

6、數(shù)之和2 i Resf (2i)12 i lim(z 2i)2 z 2i 4 z,12 i4i 2-(2分)-(3分)-(3分)-(2 分)3 .解常微分方程初值問題已知tnest匚r, P sdy dzy z 1dt出y1dy t ,z(0) 2 z edtn!tn二。(可使用拉普拉斯變換或其它任何方法P)o解：對(duì)方程拉普拉斯變換并化簡(jiǎn)得1 (p l)y(p) (p l)z(p) 1P，、，、1,py(p) z(P)1 p 1-(5 分)解之得y(P)1(P 1)2z( P)122(P 1) P 1-(2 分)由拉普拉斯逆變換得-(3 分)y(t) tet 2et 1,z(t)tet2et4

7、 .設(shè)X(x)滿足方程X X 0和邊界條件X'(0) X'(l) 0,其中 可為任意實(shí)數(shù)，試根據(jù) 的可能取值求解方程，并根據(jù)邊界條件確定本征值和本征函數(shù)。解：可分為三種情況討論：1) 0，解為X(x) C1ex C?e lx,由邊界條件只能得到平庸解 X(x) 0,顯然沒有意義。(3分)2) 0,解為X(x) CiX C2,代入邊界條件得Ci 0,于是X(x) C2, C2為任意常數(shù)。_(2分)3) 0,解為X(x) Ci cosvx CzSinV -x.,代入邊界條件得C2 0,C2 0,(C1sinl C2 cos l) 0.Ci sin， l 0.a)當(dāng)?shù)娜≈凳沟胹in

8、vl 0時(shí)，必有Ci 0 ,這和上兩種情況一樣沒有意義。_b)當(dāng)?shù)娜⊥俚胹inv l 0時(shí)，Ci不必為零，這種是有意義的情況。此時(shí)由sinv l 0得到本征信:綜合2)和3)兩種情況得本征值22nl2(n 1, 2,3,).22nl2(n0,1,2,3,).此時(shí)，本征解為X(x) C1cos-x.(5三、數(shù)學(xué)物理定解問題(共15分)1. (8分)考查半無限長弦定解問題：Uttuxx xx初始條件為ut 00，"It。0端點(diǎn)處邊界條件為ux 0 Sin t。(1)尋找泛定方程的一個(gè)特解v,再作變換v w,使得w的邊界條件滿足w x 00 ；(2)利用w的邊界條件滿足將該問題延拓為達(dá)朗貝

9、爾公式定解問題;(3)給出達(dá)朗貝爾公式，并求解該問題。解：(1) v sint cos x(2分)(2)作變換u v w后，w的定解問題為Wtt Wxx 0, Wxo 0, x 0w|t 00 , wt|t 0 cosx。根據(jù)邊界條件，做奇延拓，即假定 x 0時(shí)，w|t 00 , wt|t 0 cosx。(2 分)2(3)若萬程utt a uxx 0的初始條件為u|t0 (x), ut |t 0(x),則其解為111 x atu(x,t) (x at) (x at) 一 ( )d ,此即達(dá)朗貝爾公式。-(2 分) 222a x at根據(jù)此公式，容易求得，當(dāng) x t時(shí)，u 0,當(dāng)x t , u

10、sin(t x)-(2 分)2.矩形區(qū)域0 x a, 0 y b上的定解問題Uxx Uyy 2, (0 x a, 0 y b);u lx 0 a, u |x a 0u |y 0(x), u |y b (x)是否可直接利用分離變數(shù)法求解？為什么？然后將之變換為可利用分離變數(shù)法求解的 問題。(提示：尋找滿足泛定方程和邊界條件的一個(gè)特解V,再作變換u v w,使得w的泛定方程以及w在x方向上的兩個(gè)邊界條件都是齊次的。不要求解關(guān)于w的定解問題。)(本小題7分)解：不可，因?yàn)榉匠谭驱R次。(3分)設(shè)滿足方程和邊界條件一個(gè)特解v x2 Cx D (C, D為待定系數(shù)) 代入邊界得D a, C a 1.于是 vx2(a 1)x a. (2 分