平面解析幾何專題(三)

1、年 級：輔導(dǎo)科目：數(shù)學(xué)課時數(shù):課 題平面解析幾何教學(xué)目的教學(xué)內(nèi)容(一)高考目標(biāo)考綱解讀1 .掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).2 . 了解橢圓的實際背景及橢圓的簡單應(yīng)用.3 .理解數(shù)形結(jié)合的思想.考向預(yù)測1 .橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是高考重點考查的內(nèi)容；直線和橢圓的位置關(guān)系是高考考查的熱點.2 .各種題型都有涉及，作為選擇題、填空題屬中低檔題，作為解答題則屬于中高檔題.(二)課前自主預(yù)習(xí)知識梳理1 .橢圓的概念在平面內(nèi)到兩定點F1、F2的距離和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的集合叫 這兩定點叫做橢圓的,兩焦點間的距離叫 -集合 P= M| MF| +| MI2| =2

2、a, | F1F2| =2c,其中 a>0, c>0,且 a, c 為常數(shù)：(1)若,則集合P為橢圓；(2)若,則集合P為線段；(3)若,則集合P為空集.2 .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)范圍性質(zhì)對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸 對稱中心：原點頂點軸長軸AA2的長為;短軸BR的長為焦距| FE| =離心率e =a, b, c的關(guān)系c2 =（三）基礎(chǔ)自測1. （2010 廣東文）若一個橢圓長軸的長度、短軸的長度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是4A.53B.5C.1 D.5答案B解析本題考查了離心率的求法，這種題目主要是設(shè)法把條件轉(zhuǎn)化為含a, b, c的方程式,消去b得到關(guān)于e的方程，由題意得：4

3、b =2(a+c)? 4b2=(a+c)2? 3a22ac5c2= 0? 5e2+2e 3 =0(兩邊都除以a2) ? e=3或 e=- 51（舍），故選B.2. （2009 江西理）過橢圓22/+ b2= 1( a>b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P, F2為右焦點，若/ F1PF2=-13 -60° ,則橢圓的離心率為（A 2 八.2B. 33C.1 D.3答案B解析考查橢圓的性質(zhì)及三角形中的邊角關(guān)系運算.c代入橢圓方程可得yc=±f,b2 |PF1|=- a即 3b2 = 2a2.嚴(yán)戶2,故 |PF| +|PF|=3b-= 2a, aa又. a2

4、=b2+c2,，3(a2c2)=2a2,c 2(a)3.設(shè)0< “<2兀，若方程 x2sin a y2cos表示焦點在y軸上的橢圓，則a的取值范圍是（）A. 0,B.7t2D.兀C. 2答案C解析化為sin a2yVcos a1,>->0,故選 C. cos a sin ax224.橢圓4-+y = 1的兩個焦點為F1、F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P,則|PF| =()B. .；3C.D. 4答案C解析設(shè)F1、F2分別為橢圓的左、右焦點,由橢圓的方程可得F1(8 0)即垂線的方程為x = -A/3,x22出 了 + yj由4x=一木得 y=

5、77;2，由橢圓的定義知| PF| + | PE| =4,所以| PE| =2,故選C.2 x 5.過橢圓-5的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于 A, B兩點，O為坐標(biāo)原點，則 OAB的面積為答案解析如圖，過點B作BdAQ右焦點為Fi(1,0).AB的方程為y=2(x1)=2x 2,必過短軸的一個端點.y= 2 x- 122-+-=15 4,? 4x2+5 - 4( x1)2=20,解得 x=0 或 x = S>AOAK；32 |OA | BC| =2X2X3=-. 23 3U6.(教材改編題)若橢圓1 2'則實數(shù)m=C252解析e2=1= 1 aa1-m=1 或 12,2

6、4 m 4'7.求以坐標(biāo)軸為對稱軸，一焦點為(0,5 2)1，且截直線y=3x 2所成弦的中點的橫坐標(biāo)為 的橢圓方程.解析根據(jù)題意設(shè)所求橢圓的方程為£+，= 1( a>b>0) ., c=5廬a2= b2+ 50.y= 3x 2由x2y2,消去y得尹 b2+ 50= 110(b2+ 5) x2 12b2x b2( b2+ 46) = 0.設(shè)直線與橢圓相交于 Mxi, yi), Nx2, y»兩點，則 必，x2是上述方程的根，且有 a>o. 即 =40b6+2184b4 + 9200b2>0 恒成立.6 b2-xi + x2=5 b2+5 ,

7、2 xi + x2 16b1-2 2 5 b+5 -2' .b2=25, .1. a2=75.所求橢圓方程為 白+3=1.25 75（四）典型例題1 .命題方向：橢圓的定義例1 求過點A（2,0）且與圓x2 + 4x+y232=0內(nèi)切的圓的圓心的軌跡方程.分析兩圓內(nèi)切時，圓心之間的距離與兩圓的半徑有關(guān)，據(jù)此可以找到動圓圓心滿足的條件.作圖知:解析 將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式 （x+2）2+y2=62,這時，已知圓的圓心坐標(biāo)為2,0）,半徑為6,設(shè)動圓圓心 M的坐標(biāo)為（x, y）,由于動圓與已知圓相內(nèi)切，設(shè)切點為C.，已知圓（大圓）半徑與動圓（小圓）半徑之差等于兩圓心的距離，即 |BQ|MC

8、=|BM,而 | BC = 6, . . | BM + | CM = 6,又 |CM=| AM, . . |BM+| AM=6,根據(jù)橢圓的定義知點M的軌跡是以點B（ 2,0）和點A（2,0）為焦點、線段 AB的中點（0,0）為中心的橢圓.a=3, c=2, b2 = a2 c2=5.所求圓心的軌跡方程為 x+y=1.95點評（1）本題利用平面幾何知識，挖掘動點運動的幾何意義，這類求軌跡方程的方法叫定義法.2a=| F1F2|（2）平面內(nèi)一動點與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a,當(dāng)2a>| F1F2|時，動點的軌跡是橢圓；當(dāng)時，動點的軌跡是線段 F1F2;當(dāng)2a<|F1F2|

9、時，軌跡不存在.跟蹤練習(xí)1:橢圓、+上=1的焦點為Fi、F2, AB是橢圓過焦點F1的弦，則 ABF的周長是()9 25A 20B 12 C . 10D 6答案A解析 橢圓焦點在 y 軸上，a=5, 4ABE 的周長 l = | AB + I AF2| + I BF2| = | AF1| 十 | AF2| 十 | BF1| 十 | BF2| = 4a= 20.2.命題方向：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2已知p點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點p到兩焦點的距離分別為4護(hù)和2/5,過p作長軸的垂線恰 好過橢圓的一個焦點，求此橢圓的方程.分析方法一：用待定系數(shù)法，設(shè)出橢圓方程的兩種形式后，代入求解.方法二：先由

10、橢圓定義，確定半長軸a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.2222解析方法一：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(22>0)或02 +3=1(22>0),兩個焦點分別為 F1、F2,則由題意知 2a=|PF1|+|P因=24，a=d5.一、工口 x2 y2人 工 /日b2在方程孑+ 2= 1中，令 x= ± c,得| y| =公依題意知=x2 3y23x2 y2即橢圓的方程為 5 十 石=1或彳6+5=1.方法二：設(shè)橢圓的兩個焦點分別為F1、F2,則4 52 5|PF| = , |PB|=-.由橢圓的定義，知2a= | PF| + | PF2| = 24,即 a=75

11、.由|PF1|>| PE|知，PB垂直于長軸.故在 RtPEF1 中，4c2=| PF| 2一| P團'60 2°, 93.c2=|,是 b2=a2_c2=13°.又所求的橢圓的焦點可以在x軸上，也可以在y軸上，故所求的橢圓方程為當(dāng)+條=1或蕓+ ¥=1.510105,關(guān)鍵在于焦點的位置是否確定.若不能確定點評根據(jù)條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思想是“選標(biāo)準(zhǔn)、定參數(shù)”2222應(yīng)設(shè)方程為 3+ 3= 1,或4+ x?= 1.當(dāng)方程有兩種形式時，應(yīng)分別求解. a b a b跟蹤練習(xí)2求滿足下列各條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)長軸長是短軸長的 2倍，且經(jīng)過點 A(2

12、 , 6);八、，一 4、e , x y、丫 x解析(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為孑+=1，或孑+ b2= 1.由已知a=2b,且橢圓過點(2, 6),22-6 2 6 2 22人從而有孑+ 歹一=1或一a一十=1由得 a2=148, b2=37 或 a2=52, b2 = 13.故所求的方程為 3+亞=1或卷+ 3=1.148 3 752 13(2)經(jīng)過點 R-24 1), 0(/3, 2)兩點.2222解析(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 孑+點=1,或£+ b= 1.由已知a=2b,且橢圓過點(2, 6),小 22-6 2 6 2 22,從而有a2Hb= 1或a1，由得 a2= 148, b

13、2=37 或 a2=52, b2 = 13.2222故所求的方程為焉+ 3v=1或52+ 1x3=1.(2)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mX+ny2= 1( m>0, n>0),點 P( 2/, 1), Q/, - 2)在橢圓上，12m+ n= 1代入上述方程得3.4n=1,解得1 n=522x y所求橢圓的方程為 6+:=1.3.命題方向：橢圓的幾何性質(zhì)22例3如右圖，從橢圓5+2=1(2盤0)上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F1,a b點A及短軸端點B的連線AB/ OM(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)Q是橢圓上任一點，E是右焦點，F(xiàn)1是左焦點，求/ F1QF的取值范圍；(3)設(shè)

14、Q是橢圓上一點，當(dāng) QFLAB時，延長QF與橢圓交于另一點 P,若 F1PQ的面積為20八, 方程.且它的長軸端求此時橢圓的分析 從OM/ AB入手，尋求a、c間的關(guān)系，可以求得離心率解析(i) ,±x軸，XM= c,代入橢圓方程得e. b2VM=-J ab2. koM=.acb_又kAA且 OM AB ab2b 花，：2r=-a，故 b=c,從而 e= 2.(2)設(shè) |QF| =ri, | QF| =r2, / FiQF= 0 .- ri + r2=2a, |FiF2|=2c, ri2+r224c2ri+r2 2- 2rir2-4c2a2cos 0 =2r i22r i2r i22

15、ari r22-i = 0.2當(dāng)且僅當(dāng)ri =2時，上式等號成立,，ow cos e wi,故 e e 0 , -2-.2(3) b=c, a=42c,，設(shè)橢圓方程為 9+2c2cc2= i.直線PQ的方程y=，2(x c).1PQ =8c (2 4X2c26 2c又點Fi到PQ的距離d=236c.3ii 2 ,66 24- 3 2S>A FiPQ= 2d| PQ = 5x -3cx 5c = -c ,由U3c2=203得 c2=25,故 2c2=50. 522，所求橢圓方程為專十1.點評解焦點三角形問題時，使用三角形邊角關(guān)系定理，通過變形使之出現(xiàn)| PFi| + | PF2| ,便于運

16、用橢圓定義，得a、c的關(guān)系.跟蹤練習(xí)3 22(20i0 新課標(biāo)理)設(shè)曰，F(xiàn)2分別是橢圓E： U + F=i(a>b>0)的左、右焦點，過 Fi斜率為i的直線l與E相交于 a bA, B兩點,且|AF2| , |AB , |BF2|成等差數(shù)列.(1)求E的離心率；(2)設(shè)點P(0 , 1)滿足| PA = | pb ,求E的方程.解析聯(lián)立橢圓方程與直線方程,化簡得(a2解析(1)設(shè)橢圓的方程為 今+1(a>b>0), a b由已知得：a+c=3, ac=1, a= 2, c= 1, - b = a c = 3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,+E=1. 3y= kx+ m(2)設(shè) A(

17、X1, y1) , B(X2, y2),由y_得,4+ 3 = 1(3 + 4k2) x2+ 8mkxH- 4(n2 3) =0, A= 64m2k2 16(3 +4k2)( m2 3)>0即 3+4k2 m>0 + b2)x2+ 2a2cx + a2(c2 b2) =0,則 X1+ X2 =2a2cOTF，a2 c2- b2X1X2=a2 + b2因為直線AB斜率為1,所以 I ab =42| X2 xi| =421X1+X2 4X1X2,4ab2a2+ b2'故 a2= 2b2,所以E的離心率e=-=恒三g =乎a a 2X1 + X2 a2c(2)設(shè)AB的中點為 N(

18、X0, y0),由(1)知X0 = %-= 0Tb'= 3c, y°=X0+c=3.由I PA = | PB 得 kpN= 1.即紜= 1， 得 c=3,從而 a=3<2, b= 3.22x y 故橢圓E的方程為+-=1.4.命題方向：直線與橢圓的位置關(guān)系例4已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在 x軸上，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l : y=kx+m與橢圓C相交于 A B兩點(A、B不是左右頂點)，且以AB為直徑的圓過橢圓 C的右頂點.求 證：直線l過定點，并求出該定點的坐標(biāo).8mk4m2- 3xTx2 = 3Z

19、，x1x2=3+4k2,又 yiy2= ( kxi+ m)( kx2+ m) = k2xiX2 + mkxi + X2)+ m2=3m2-4k23+4k2，因為以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D(2,0),y1y2kADkBK - 1 ,即- -= - 1.'x-2 x22，yiy2 + xiX22(xi + X2)+ 4= 0.2. 23 m- 4k3 4k,24 m-316mk+3+ 4k2+3Z2+4 = 0.22.7m+ 16m® 4k = 0.解得m= 2k,當(dāng)m= 2k時,t 2k當(dāng)m= 7時，2km2= - 7-,且均滿足 3 + 4k - m>0.l的方程

20、為y=k(x2),直線過定點l的方程為2y=k x 7 ,直線過定點(2,0),與已知矛盾；27, 0 .所以，直線l過定點，定點坐標(biāo)為27，0 .跟蹤練習(xí)4(2010 遼寧理)設(shè)橢圓C:22A=1 (a>b>0)的右焦點為F,過F的直線l與橢圓C相交于A,B兩點，直線l的傾斜角為60° , AF= 2FB(1)求橢圓C的離心率;15(2)如果| AB = 7，求橢圓C的方程.分析本小題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的性質(zhì)、弦長公式、向量運算，也考查運算能力與推理能力.解題思路是(1)利用代數(shù)法求直線與橢圓的交點坐標(biāo)，結(jié)合向量條件求出離心率. 的關(guān)系，再利用(1)的結(jié)果，

21、確定a、b的值，寫出橢圓方程.解析 設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2),由題意知 y1<0, y2>0.(1)直線l的方程為y=3(x-c),其中c = da2 b2.(2)利用弦長公式，確定參數(shù)a、by= /3 x- c聯(lián)立x2 y2_a2+ b2 一得(3 a2+ b2) y2 + 2/3b2cy 3b4 = 0.解得yi =3bc 2a3a2+ b2yJ3 bc _ 2ay2=- 3a2+ b2因為 AF= 2FB,所以一 y1 = 2y2.即退# = 2百十.得離心率e=>|(2)因為 |AB='/1 + 3| y2yd,所以24 ；3ab2 151

22、5由：=中！ b=、-a.所以 7a= 7-,得 a = 3, b=J5. a 3344橢圓c的方程為x+ yr= 1. 95(五)思想方法點撥：I .橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在形式上可統(tǒng)一為Ax2+By2= 1,其中A B是不等的正常數(shù).A>B>0時，焦點y軸上；B>A>0時,焦點在x軸上.(2)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法定義法：根據(jù)定義，直接求出a2, b2,寫出橢圓方程.待定系數(shù)法.步驟：i .定型：是指確定類型，確定橢圓的焦點在x軸還是y軸上，從而設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式.II .計算：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、c的方程組，求出a2、b2,從而寫出橢圓的

23、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.直線與橢圓的位置關(guān)系X3A 2B.2 C.-2-答案B解析由橢圓定義知 2a=3+1 = 4,故2= 2.，m=a2=4, b2= m2- 1 = 3. c?= a?b?= 1,即 c=1.，e=2.2.已知橢圓的方程為2x2+3y2=mm>0),則此橢圓的離心率為() y22把橢圓方程孑+ g=1(a>b>0)與直線方程y=kx+b聯(lián)立取消去y,整理成形如 Ax2+Bx+C= 0的形式，對此一兀 二次方程有：(1) A>0,直線與橢圓有兩個公共點 P、Q此時弦長求法：求 P、Q兩點的坐標(biāo)，利用兩點間距離公式；由根與系數(shù)關(guān)系得到弦長公式|PQ=.： 1 +

24、 k2 Xp+ Xq_2 - 4xpXq.(2) A =0,直線與橢圓有一個公共點.(3) A <0,直線與橢圓無公共點.(六)課后強化作業(yè)一、選擇題 223,到右焦點的距離為1,則該橢圓的離心率為(2D.y1.設(shè)橢圓、+*二=1( m>1)上一點P到其左焦點的距離為 m m 11 A.31D.2答案解析由選項知e與m無關(guān)，令m= 6,a2=3, b2=2, c2 = 1,ce= 一 a23I3般解法:22x2 + 3y2 = n( n>0)化為 m2 c2-mL3.（2008 江西）已知Fi、F2是橢圓的兩個焦點,滿足 MF MF= 0的點M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值

25、范圍是（(0,1)B.(012(0,D.答案解析依題意得，c<b,c2<b2，c2<a2一c2,2c2<a2,故離心率 e= c<2,又 0<e<1,，0<e<坐. a 224.如圖Fi、F2分別是橢圓2x-24 a2>1（a>b>0）的兩個焦點,A和B是以。為圓心，以|。用為半徑的圓與該左半橢圓的兩個交點,EAB是等邊三角形，則橢圓的離心率為n3A. 21B.2C.D. ,3-1答案解析連接AF,由圓的性質(zhì)知，/FAF>=90 ,又F2AB是等邊三角形，/ AF>F1=30 ,c 2c2c，一 AF= c,

26、AE=a/3c,e= _ = =43-1.故選 D.a 2a c+ 3c5.已知橢圓白焦點是 F1、F2, P是橢圓上的一個動點，如果延長跡是（）A圓B.橢圓 C .雙曲線的一支F1P至ij Q使得| PQ=| PE| ,那么動點 Q的軌D.拋物線答案 A解析 .| PF|+| P同=2a, |PQ = |PE|,.| PF1| 十 | PF2| =| PF| +|PQ=2a.即 | FiQ = 2a.動點Q到定點Fi的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓.6.已知橢圓x2+2y2 = 4,則以（1,1）為中點的弦的長度為（）A 3 ,'2B. 2 -3 C. 母i2 -答案C解析依題

27、設(shè)弦端點 A（xi, yi）、B（X2y2),貝U xj+2yi2=4, X22+2y2?=4,.xi2 X22= 2( yi2 y22),此弦斜率k=M=xi + x22 yi+y22'，此弦所在直線方程y-i = -2（x-i）,即 y = - 2x+ J代入 x2+ 2y2= 4,整理得 3x2-6x+i = 0,i xi , x2=, xi + x2=2.|AE|=<xi + x2_2 4xix2 )i + k2=i 44X §i+41;0x2 y2227. (20i0 四川理改編)橢圓+ $= i(a>b>0, c2=a2b2）的右焦點為F,直線2

28、x=2 與 xc軸的交點為A,在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點F,則橢圓離心率的取值范圍是（A. 0,i8. 0, 2 C啦 T，i)iD. 2答案解析由題意得2|PF = |AF=：c,c, acw | pf w a+ ca- c< cwa+c, 2< e<i.8.（文）已知P是以Fi、F2為焦點的橢圓2 x a2+2y£= i(a>b>0)上的一點，若PF PF2=0, tan / PFF2=；,則此橢圓的離心率為()A. 2B.2 C. 3D*2333答案D解析PF PF2=0,PFXPE,又 tan / PFF2= 1,令 PE=&g

29、t;F= x3x= 2a則 5x2=4c2'3x a= a 2c =c.=克故選D.（理）設(shè)22M為橢圓a2+ b2=1上一點,F1、F2為橢圓的焦點，如果/MFE=75。，/ MFF1=15。，則橢圓的離心率為（）A.23B.-36C.答案解析,、一2c由正弦定理得Sin90-| MF| MF2| MF| 十| MF|sin15sin75sin15+ sin75sin152a+ sin75 °，c e=a sin15+ cos15°色sin60二、填空題9.若直線y=kx+1（kC R）與焦點在x軸上的橢圓=1恒有公共點，則t的取值范圍是答案1,5）解析用數(shù)形結(jié)合

30、法，:y= kx+ 1恒過定點（0,1）,只要使（0,1）恒在橢圓內(nèi)或橢圓上，就能滿足題設(shè)條件.1產(chǎn)1,1<t<5.0<t <510.已知正方形 ABCD則以 A B為焦點，且過 C答案,'2-1D兩點的橢圓的離心率為解析令A(yù)B= 2,則AO 2m，橢圓中 c=1,2a=2+2>/2? a=1+ 啦一,r c 1可信e=&=/I，=啦T11. （2010 全國卷I ）已知F是橢圓C的一個焦點,B是短軸的一個端點， 線段BF的延長線交C于點D,且BF=29 -2FD,則C的離心率為2答案33解析解法1：設(shè)橢圓C的焦點在x軸上，如圖,R0 , b),

31、F(c, 0), D(xd, y>,貝U BF= (c, b), FD= (xd一c, y。， BF= 2FD>c= 2 XD-C3Xd= 2c一 b= 2yDbyD= 23 2 2c=1,解法 2： | BF =dbFc2 =a,作DDL y軸于點D,則由BF= 2FD導(dǎo),需=|黑=1，所以1 DD| =|OF = 2c3c 一 一一即xd=子 由橢圓的第二定義得|FD=e3c3c2c-T=a -t2a又由 |BF = 2|FD,得 c=2a-3c-,整理得 3c2-2a2+ac=0.a兩邊都除以a2,得3e2+e2=0,解得e=-1(舍去)，或e=2. 3三、解答題12. (2

32、010 福建理)已知中心在坐標(biāo)原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3),且點F(2,0)為其右焦點.(1)求橢圓C的方程;(2)是否存在平行于直線l的方程；若不存在,OA勺直線l ,使得直線l與橢圓C有公共點，且直線說明理由.解析解法1：(1)依題意，可設(shè)橢圓1(a>b>0),且可知左焦點為f 'OA與l的距離等于4?若存在，求出(-2,0) .c= 2, 解得a=4.c= 2從而有 2a=|AF+|Af ' | =3+5=8,又 a2=b2+c2,所以 b2= 12,22故橢圓c的方程為x+=1.(2)假設(shè)存在符合題意的直線l ,其方程為3y = 2x + t.3得 3x

33、2+3tx +t212 = 0.y=2x+t, 由22x yw+17=1因為直線l與橢圓C有公共點，所以 =(3t)24X3(t212) >0,解得一 4，3wt w 4y3.另一方面，由直線 OA與l的距離d=4可得|t IV=4,從而 t =即± 2 13.由于土 2網(wǎng)? -4/3, 4y3,所以符合題意的直線 l不存在. 解法2:(1)依題意，可設(shè)橢圓 C的方程為a2+ b2=1(a>b>0),且有:49牙+可=1，a2-b2=4.解得b2= 12或b2= 3(舍去).從而a2= 16.22所以橢圓C的方程為套+*1.(2)同解法1 :點評求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

34、可以用定義法，也可以用待定系數(shù)法，兩種方法比較.定義法計算簡單，但又 不易想到，待定系數(shù)法計算較多.但方法易于掌握，是常規(guī)方法.對于探究性問題，我們的方法都是假設(shè)存在.若 真的存在，則一定能確定參數(shù)的值.若不存在，則一定能推出矛盾，所以可以大膽假設(shè).13. (2010 北京文)已知橢圓C的左、右焦點坐標(biāo)分別是 (-® 0),(夷，0),離心率是當(dāng)，直線y=t與橢 圓C交于不同的兩點 M N,以線段MNK/直徑作圓P,圓心為P.(1)求橢圓C的方程；(2)若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo).解析本題考查了圓和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.，*且 c= V2，a=yJ3, b= 1.x22.橢圓C的方程

35、為-+ y2=1.3(2)由題意知點 P(0 , t)( -1<t<1),y=t由Ay = 131-t2圓P的半徑為73 1 t又圓P與x軸相切，.t = 43 1 t2 ,解得 t = ±：32，故P點坐標(biāo)為0, 士喙._X2 12由 A = (4k) -4(k +40 X 3=4k -3>0,得k>乎,或k<乎.又 0 </AOB90 ? cos Z AOB0? OA OB>0.214.設(shè)Fi、F2分別是橢圓 + y =1的左、右焦點.4（1）若P是該橢圓上的一個動點，求 PF PF2的最大值和最小值；求直線l的斜（2）設(shè)過定點 M0,2

36、）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B,且/ AO斯銳角（其中O為坐標(biāo)原點）率k的取值范圍.解析（1）方法 1 易知 a=2, b=1, c=y3,所以 F1（ ，3，0），F(xiàn)2（W，0） 設(shè) Rx, y）,則PF PF2=（一十x, -y） -（V3-x, -y）= x2+y23=x2+ 1 » 3= 3x28）.因為xC2,2,故當(dāng)x= 0,即點P為橢圓短軸端點時,PF 床有最小值2;當(dāng)x=± 2,P為橢圓長軸端點時，PF PF2有最大值1.方法 2 易知 a=2, b=1, c=y3,I PF|2+|PF12| FF2|22| PF1| - |PF2|所以 F1（水，0

37、） , F2（，3, 0）,設(shè) Rx, y）,則PF , PR= | PF| , | PR|cos / PPF = | PF| , | PF>|1=/ x+<3)2 + y2+(x 43)2 + y212 =x2+y23.(以下同萬法一)（2）顯然直線x = 0不滿足題設(shè)條件，可設(shè)直線l y=kx+2.A（x1, y”, B（x2, y2）.y= kx + 2,聯(lián)立x22消去y,整理得4 + y =1，(k2+4)x2+ 4kx + 3 = 0.4k3. x1 + x2= , x1x2=k2+!k2+!44.OA- OB=xx2+ 丫以2>0.又 yy = ( kxi+ 2)

38、( kx2+ 2) = k X1X2 + 2k(xi + X2)+ 43k28k2-k2+14 =.k2+ - k2+-k2+-3-k2+ 1k，4>0.444即 k2<4. 2<k<2.故由得2<k< 乎或3<k<2.15.如圖所示，已知圓 C (x+1)2+y2=8,定點A(1,0) , q 1,0) , M為圓上一動點，點P在AM上，點N在cm匕 且滿足AM/k2AP, NP-XMzo, Np-XM; n的軌跡為曲線 e.經(jīng)過點(o,小)且斜率為k的直線與曲線 e有兩個 不同的交點P和Q(1)求曲線E的方程；(2)求k的取值范圍；(3)設(shè)曲

39、線E與x軸、y軸正半軸的交點分別為 D B,是否存在常數(shù) k,使得向量OkOQtD共線？如果存在， 求k的值；如果不存在，請說明理由.解析(1) 2Ah . P為 AM勺中點. - -> >-> >又. NP- AMh 0,NPLAMNP為AM勺垂直平分線.|NA = |NM, . |NC+|NM = 2也.|Nq + | NA=2 ,;2>2，動點N的軌跡是以點 q1,0)A(1,0)為焦點的橢圓，且 2a=272, 2c=2 2a=啦,c= 1, b2=1, 1- E的方程為 2 + y2=12(2)由已知條件設(shè)直線l的方程為y=kx + 42,代入橢圓方程得

40、22+(kx+V2)2=1,整理得(1+ k2) x2+ 242kx + 1 = 0直線l與橢圓有兩個不同的交點 P和Q等價于_ 2.12_2_A = 8k -4(2+ k) =4k 2>02. 2解得 k<- -2_或 k>_2_,22 .k 的范圍為(一8,一予 U (丁, +OO )(3)設(shè) Rx1, y。、Qx2, y2)則OpOq= (X1 + X2, yi + y2)由 方程得 X1 + X2 = zj-gr 1十2K又 yi + y2= K( xi + X2) + 212而 D(宓,0)、B(0,1)Db= (-pi)O丹 OQIDB曲線等價于 X1 + X2=

41、2(yi+y2)將代入上式得K=g由(2)知K<-乎或盛故沒有符合題意的常數(shù)K.第六節(jié)雙曲線（一）高考目標(biāo)考綱解讀1. 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡單幾何性質(zhì).2. 了解雙曲線的實際背景及雙曲線的簡單應(yīng)用.3. 理解數(shù)形結(jié)合的思想.考向預(yù)測1 .雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率、漸近線等知識是高考考查的重點；直線與雙曲線的位置關(guān)系有時也考查，但 不作為重點.2 .主要以選擇、填空題的形式考查，屬于中低檔題目.（二）課前自主預(yù)習(xí)知識梳理1 .雙曲線的概念我們把平面內(nèi)到兩定點 F1, F2的距離之差的 等于常數(shù)（大于零且小于 ）的點集合叫做雙曲線，這兩個定點 叫雙曲線的,兩

42、焦點間的距離叫 -集合 P= M| FM1| -| MI2| =2a, |F1F2|=2c,其中 a、c 為常數(shù)且 a>0, c>0：（1）當(dāng) 時，P點的軌跡是;（2）當(dāng) 時，P點的軌跡是;（3）當(dāng)時，P點2 .雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) （如下表所示）標(biāo)準(zhǔn)方程x y孑2= 1( a>0, b>0)y x孑b2= 1( a>0, b>0)性質(zhì)住日Fi, F2F1, F2焦距| F1F2I =2c =范圍|x| >a, yC R|y| >a, xC R對稱性關(guān)于和對稱頂點(a,0) , (a,0)(0 , - a), (0 , a)軸實軸長_,虛軸

43、長_離心率c e= " (e>1)3 .基礎(chǔ)三角形如圖， AO升,|OA=a, | AB =_, |OB = c, tan/AOB=, Of2D 中，| F2D| =（三）基礎(chǔ)自測1. （2010 新課標(biāo)文）中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點（4, 2）,則它的離心率為（）A.岷B. C *D.學(xué)答案D解析本題考查了雙曲線的漸近線方程，離心率的計算，在解題時應(yīng)首先考慮根據(jù)題意求得參數(shù)a, b的關(guān)系，然后利用c2=a2+b2求得離心率，題目定位于簡單題.22U設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 a2-b2=l（a>0, b>0）,所以其漸近線方程為 y=±

44、ax,因為點（4, -2）在漸近線上，所以一=不，根據(jù) c2= a2+ b,可得 2=解得 e = rr, e=3,故選 D.a 2a 442222.設(shè)P是雙曲線'9. = 1上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x-2y=0, Fi, F2分別是雙曲線的左、右焦點，若| PF| =3,貝U | PE| 等于（）A 1 或 5B. 6 C .7D. 9答案C3解析由漸近線方程y=2x,且b=3,得a=2,由雙曲線的定義，得| PE| -| PF| = 4,又|PFi| =3,|PF|=7.223. （2009 江西文）設(shè)Fi和F2為雙曲線" b2=1（a>0, b>0

45、）的兩個焦點，若 Fi, F2, P（0,2 b）是正三角形的三個頂點，則雙曲線的離心率為（）D. 3A.3B. 2C.522答案B解析考查三角形中的邊角關(guān)系及雙曲線離心率的求法. 由題意可得c=23b,即c2=$2,又 b2=c2a2,c2=4(c2-a2),解得ce= _= 2.a24.設(shè)F1, F2分別是雙曲線 x2-y= 1的左、A.9 .1010B +道CB士 10C9 , 1010D 士噂右焦點，若點P在該雙曲線上，且PFPF2=0,則P點的縱坐標(biāo)為（）答案B解析數(shù)學(xué)高考命題重視知識的相互滲透，往往在知識點的交匯處設(shè)計試題.平面向量作為代數(shù)和幾何的紐帶, 素有“與解析幾何交匯，與立

46、體幾何聯(lián)姻，與代數(shù)牽手”之美稱，它與解析幾何一脈相承，都涉及到數(shù)和形，對于解析幾何中圖形的重要位置關(guān)系（如平行、相交、三點共線、三線共點等）和數(shù)量關(guān)系（如距離、面積、角等），都可以通過向量的運算而得到解決.設(shè) P（x。，y。），由題意可知F（詬，0）,F2（訴，0）,則 PF = （五一x。，一y。），PF2=（西一x。，一 y。），PF PUGy。210=喑9”2 81 y0=w5yc= ±9 :1010225. （2010 天津卷）已知雙曲線，=1（a>0, b>0）的一條漸近線方程是y=V3x,它的一個焦點與拋物線y2= 16x的焦點相同，則雙曲線的方程為 爐心x

47、y答案 412- 1解析本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì).由拋物線y2=16x的焦點坐標(biāo)為(4,0),得c=4.一 b 又由雙曲線的漸近線方程為y= 土 承 得a=、J3? b=#a，又 c2=a2+b2,解得 a=2, b=2淄.36.雙曲線的漸近線方程為y=± 4X,則雙曲線的離心率為 .5 5答案4或3 4 33 b 3 a 3 b 3c2a2 9解析:雙曲線的漸近線方程為y=± 4X,，3=4或b=4.當(dāng)a=4時，a2=彳6,一-2-c 5 r a 3 , a 9 c 5 e= a=不當(dāng) 6= 4'時,。=而， - e = a=3.7.如圖，已知圓 A的

48、方程為(x + 3)2+y2=4,定點Q3,0),求過定點 C且和圓A外切的動圓的圓心 P的軌跡方程.解析依題意得| PA | PC = 2.又| PA>| PC,且|AC =6>2.由雙曲線的定義，知點 P的軌跡是以 A C為焦點的雙曲線的右支，故點P的軌跡方程為x2-y- = 1(x>1).8(四)典型例題1 .命題方向：雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程例1 已知動圓 M與圓C1: (x+4)2 + y2=2外切，與圓C2： (x4)2 + y2 = 2內(nèi)切，求動圓圓心 M的軌跡方程.分析 設(shè)動圓M的半徑為r,則| MC| =r + r1, | MC| =r r2,則| MC| |

49、 MC| =r1 + r2 =定值，故可用雙曲線定 義求解軌跡方程.解析如圖，設(shè)動圓 M的半徑為r,則由已知得| MC =r+ 42,|MC = r -轉(zhuǎn).| MC| | MC =2也又 C(4,0) , G(4,0),| CiC2| =8,2聲| GC2|.根據(jù)雙曲線定義知，點 M的軌跡是以Ci(4,0) , G(4,0)為焦點的雙曲線的右支.a=木,c=4,b2= c2 a2= 14,2 2.點M的軌跡方程是X2- *1(x>?).跟蹤練習(xí)1:22,一 > ,x v由雙曲線§ : = 1上的一點P與左、右兩焦點 Fi、F2構(gòu)成 PFF2,求 PFF2的內(nèi)切圓與邊 F1

50、F2的切點坐標(biāo) N分析要求切點N的坐標(biāo)，關(guān)鍵在于求 N到兩焦點距離之差.根據(jù)圓的切線長定理，轉(zhuǎn)化為P到兩焦點距離之差.解析由雙曲線方程知 a=3, b=2, c=>/l3.如右圖，根據(jù)從圓外一點引圓的兩條切線長相等及雙曲線定義可得|PF| | PF>| =2a.由于 | NF| | NE| = | PF| | PF =2a|NF| 十| NF =2c.2a+ 2 c由得| NF| = = a+c,| ON = | NF| | OF| = a+ c c= a= 3.故切點N的坐標(biāo)為(3,0).根據(jù)對稱性，當(dāng) P在雙曲線左支上時，切點N的坐標(biāo)為(一3,0).2.命題方向：雙曲線的幾何性質(zhì)例2已知雙曲線的中心在原點，焦點 F, F2在坐標(biāo)軸上，離心率為 亞，且過點(4, -V10) .(1)求雙曲線方程；(2)若點 M3 , m在雙曲線上，求證： MF - MF = 0;(3)求 F1MF的面積.分析由離心率為42可看出它是等軸雙曲線；從此隱含條件入手，可使運算變得簡單.解析(1) e=42, .可設(shè)雙曲線方程為x2y2=入(入W0).過(4 ,一皿)點，. 1610=入，即入=6,，雙曲線方程為x2-y2=6.(2)證