高中數(shù)學(xué)證明不等式的基本方法測評新人教A版選修45

1、第二講 證明不等式的基本方法測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.已知,則下列不等式成立的是()A.abB.C.D.0,即0,則qC.pqD.p0,且=(a2-a+1)(a2+a+1)=a4+a2+11,所以qp.答案C3.(2017江西二模)求證,p=(x1-)2+(x2-)2+(xn-)2,q=(x1-a)2+(x2-a)2+(xn-a)2,若a,則一定有()A.pqB.pqC.p,q的大小不定D.以上都不對解析設(shè)f(x)=(x1-x)2+(x2-x)2+(xn-x)2,則f(x)=nx2-2(x1+x2+xn)x+.當(dāng)x=時,f(x

2、)取得最小值,即pb與ab與ab與a0,則f(a1)+f(a3)+f(a5)的值()A.恒為正數(shù)B.恒為負(fù)數(shù)C.恒為0D.可正可負(fù)解析因為f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù),且a30,所以f(a3)f(0)=0,而a1+a5=2a3,所以a1+a50,則a1-a5,于是f(a1)f(-a5),即f(a1)-f(a5),所以f(a1)+f(a5)0,故f(a1)+f(a3)+f(a5)0.答案A6.要使成立,a,b應(yīng)滿足的條件是()A.abbB.ab0,且abC.ab0,且a0,且ab或ab0,且ab解析a-b+3-30時,有,即ba;當(dāng)aba.答案D7.設(shè)a,b,cR,且a,b,c不全相等

3、,則不等式a3+b3+c33abc成立的一個充要條件是()A.a,b,c全為正數(shù)B.a,b,c全為非負(fù)實數(shù)C.a+b+c0D.a+b+c0解析a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=(a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2,而a,b,c不全相等(a-b)2+(b-c)2+(a-c)20.故a3+b3+c3-3abc0a+b+c0.答案C8.設(shè)a,b,c,dR,若a+d=b+c,且|a-d|b-c|,則有()A.ad=bcB.adbcD.adbc解析|a-d|b-c|(a-d)2(b-c)2a2+d2-2adb2+c2-2bc,因為a+d=

4、b+c(a+d)2=(b+c)2a2+d2+2ad=b2+c2+2bc,所以-4adbc.答案C9.使不等式1+成立的正整數(shù)a的最大值是()A.10B.11C.12D.13解析用分析法可證當(dāng)a=12時不等式成立,當(dāng)a=13時不等式不成立.答案C10.已知a,b,c(0,+),若,則()A.cabB.bcaC.abcD.cba解析由可得+1+1b+cc+a.由a+bb+c可得ac,由b+cc+a可得ba,于是有can,m,nN+,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg x)n+(lg x)-n,其中x1,則()A.abB.abC.abD.a1,所以lg x0.當(dāng)lg x=1時,a-b=

5、0,所以a=b;當(dāng)lg x1時,a-b0,所以ab;當(dāng)0lg x0,所以ab.綜上,ab.答案B12.已知x,y0,且xy-(x+y)=1,則()A.x+y2(+1)B.xy+1C.x+y(+1)2D.xy+1解析由xy-(x+y)=1可得xy=1+x+y1+2,即()2-2-10,所以+1,則xy(+1)2,排除B和D;因為xy=x+y+1,解得x+y2(+1).故選A.答案A二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.當(dāng)x1時,x3與x2-x+1的大小關(guān)系是.解析因為x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1),且x1,所以(x

6、-1)(x2+1)0.因此x3-(x2-x+1)0,即x3x2-x+1.答案x3x2-x+114.設(shè)0mnab,函數(shù)y=f(x)在R上是減函數(shù),下列四個數(shù)f,f,f,f的大小順序是.解析1fff.答案ffff15.若a+ba+b,則a,b應(yīng)滿足的條件是.解析因為a+ba+b()2()0a0,b0,且ab.答案a0,b0,且ab16.設(shè)a,b為正數(shù),為銳角,M=,N=()2,則M,N的大小關(guān)系是.解析因為a0,b0,為銳角,所以N=ab+2+2,M=ab+ab+2當(dāng)且僅當(dāng)時,等號成立.又sin 21,所以Mab+2+2=N,當(dāng)且僅當(dāng)a=b,且=時,等號成立.答案MN三、解答題(本大題共6小題,共

7、70分)17.(本小題滿分10分)設(shè)ab0,求證.證明因為ab0,所以0,0.又=1+1,故.18.(本小題滿分12分)設(shè)a,b0,ab,求證a+b.證明-(a+b)=(a3-b3)=,因為a,b0,ab,所以a+b0,(a-b)20,a2+ab+b20,a2b20,所以0.故a+b.19.(本小題滿分12分)已知a2+b2=1,x2+y2=1,試用分析法證明ax+by1.證明要證ax+by1成立,只需證1-(ax+by)0,只需證2-2ax-2by0.因為a2+b2=1,x2+y2=1,只需證a2+b2+x2+y2-2ax-2by0,即證(a-x)2+(b-y)20,顯然成立.所以ax+by

8、1.20.(本小題滿分12分)設(shè)a,b,c,d是正數(shù),試證明下列三個不等式:a+bc+d;(a+b)(c+d)ab+cd;(a+b)cdab(c+d)中至少有一個不正確.證明假設(shè)不等式都正確.因為a,b,c,d都是正數(shù),所以兩不等式相乘并整理,得(a+b)2ab+cd.由式,得(a+b)cd0,(a+b)(c+d)ab+cd,所以4cdab+cd.所以3cdab,即cd.由式,得(a+b)2,即a2+b2-ab,與平方和為正數(shù)矛盾.故假設(shè)不成立,即不等式中至少有一個不正確.21.導(dǎo)學(xué)號26394042(本小題滿分12分)已知正數(shù)a,b,c滿足a+b+c=6,求證.證明由已知及三個正數(shù)的算術(shù)-幾

9、何平均不等式可得3=(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=2時,等號成立),故原不等式成立.22.導(dǎo)學(xué)號26394043(本小題滿分12分)設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項和,Sn=nan-3n(n-1)(nN+),且a2=11.(1)求a1的值;(2)求數(shù)列an的前n項和Sn;(3)設(shè)數(shù)列bn滿足bn=,求證b1+b2+bn.(1)解當(dāng)n=2時,由Sn=nan-3n(n-1),得a1+a2=2a2-32(2-1),又a2=11,可得a1=5.(2)解當(dāng)n2時,由an=Sn-Sn-1,得an=nan-3n(n-1)-(n-1)an-1-3(n-1)(n-2),整理,得an-an-1=6(nN,n2).又a2-a1=6,所以數(shù)列an是首項為5,公差為6的等差數(shù)列.所以an=5+6(n-1)=6n-1.故Sn=3n2+2n.(3)證明bn=),所以b1+b2+bn()+()+()+()=).故b1+b2+bn成立.予少家漢東，漢東僻陋無學(xué)者，吾家又貧無藏書。州南有大姓李氏者，其于堯輔頗好學(xué)。予為兒童時，多游其家，見有弊筐貯故書在壁間，發(fā)而視之，得唐昌黎先生文集六卷，脫落顛倒無次序，因乞李氏以歸。讀之，見其言深厚而雄博，然予猶少，未能悉究其義徒見其浩然無涯，若可愛。