第1章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)教案

1、精品文檔第一篇力學(xué)*齒：物體的機(jī)械運(yùn)動(dòng)是整個(gè)物理學(xué)基礎(chǔ)，力學(xué)規(guī)律將引入熱學(xué)、電磁學(xué)、波動(dòng)學(xué)等。分為：運(yùn)動(dòng)學(xué):討論物體運(yùn)動(dòng)的描述及規(guī)律性。動(dòng)力學(xué):討論物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化原因及物體間相互關(guān)系。第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)教學(xué)要求：*理解質(zhì)點(diǎn)模型和參照系等概念。*掌提位矢、位移、速度、加速度等物理量及其關(guān)系。*掌握笛卡兒坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)方程計(jì)算質(zhì)點(diǎn)速度和加速度。由微積分求解直線運(yùn)動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位置、速度和加速度。*理解自然坐標(biāo)中路程、速率、切、法向加速度等物理概念，*理解平面極坐標(biāo)中的角位置、角速度和角加速度等概念，*了解相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的位置、速度和加速度變換。教學(xué)內(nèi)容（學(xué)時(shí):4學(xué)時(shí)）：§1-1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述

2、7;1-2切向加速度和法向加速度自然坐標(biāo)系§1-3圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述平面極坐標(biāo)系§1-4相對(duì)運(yùn)動(dòng)作業(yè):1-05）、1-08）、1-10）、1-12）、1-16）、1-18）、1-19）、1-21）、1-23）、1-25)。1-1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述精品文檔位置和位移笛卡兒坐標(biāo)系1.位置矢量rxiyjzk。質(zhì)點(diǎn)的位置矢量：（簡(jiǎn)稱：位矢）* 大小(質(zhì)點(diǎn)到原點(diǎn)。的距離)：2222rrXxyz(1-2)* 方向余弦：cosx/rcosy/rcosz/r(1-3)* 斜率：tgy/x2 .運(yùn)動(dòng)方程：(質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其位矢r隨時(shí)間而變)rr(t)x(t)iy(t)jz(t)k(1-5)運(yùn)動(dòng)方程

3、*分量表示XX(t)yy(t)zz(t)(1-6)(質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程包含質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)全部信息,解決質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題關(guān)鍵所在)3 .軌道方程(軌道為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)在空間形成軌跡，其曲線方程稱軌道方程)從運(yùn)動(dòng)方程中消去t,即可得到軌道方程。例如：平拋運(yùn)動(dòng)XVot,y消去t,得:gx(拋物線方程)4 .位移：（描述在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中質(zhì)點(diǎn)位置的變化）質(zhì)點(diǎn)t時(shí)刻在pi,位矢ri,tt時(shí)刻在法，位矢2,位移矢量(定義)為：rr2ri(i-7)按運(yùn)動(dòng)方程(i-5)式有：rr2ri(x2xi)i(y2xiyj(i-8)*分量：xx2yy2zz2yi)j(z2zi)kzkxiyizi(1-9)*大小：/222rXxyz*方向余弦：

4、cosx/rcosy/rcosz/r二速度（速度描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)快慢和方向）X1.平均速度vr/t（矢量）（1-10）*方向?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)位移的方向*分量：vxx/tVyy/tvzz/t2.瞬時(shí)速度定義t0時(shí)的平均速度的極限為瞬時(shí)速度（簡(jiǎn)稱速度）.rdrvlimt0tdt（矢量）（1-12）（可見(jiàn)：速度為位矢對(duì)時(shí)間的變化率）*速度方向：可見(jiàn)：t0時(shí)r趨于軌道切線方向一速度方向沿著軌道切向，且指向前進(jìn)一側(cè)。把(1-5)式代入(1-12)式，注意i、j、k為常量，有：drv 一 dtdx, dy.i j dt dtdz dt(1-13)vVxiVyjVzk(1-14)*速度的大小和方向余弦由它的三個(gè)分量確定。

5、dxdtdydtdzdt(1-15)*速率：平均速率定義為:svt瞬時(shí)速率(速率)定義為路程對(duì)時(shí)間的變化率：dsvdt由于在t0時(shí)心尿而dt是正量，所以：dsdrIdrIVdtdtIdtIV（即：速率等于速度矢量的大小）3.位移公式由式（1-12）可得drvdt積分rtdrvdtro0t即r r r00 vdt（1-位移公式把（1-5）式和（1-14）式代入（1-16）式,可得：txx0vxdt00xttyy00Vydt,zz00Vzdt(1-17)加速度1 .平均加速度av/t(1-18)2 .瞬時(shí)加速度vdvdalim-t0tdtdt(1-19)注意；加速度a的方向?yàn)閠0時(shí)速度變化v的極限

6、方向。在直線運(yùn)動(dòng)中：加速度方向與速度方向相同或相反，相同時(shí)速率增加，如自由落體運(yùn)動(dòng)，相反時(shí)速率減小，如上拋運(yùn)動(dòng)。在曲線運(yùn)動(dòng)中：加速度方向與速度方向并不一致，如斜拋運(yùn)動(dòng)。把(1-14)式代入(1-19)式可得分量：dvvx出ddt ddtdvydtdvzdt(1-20)(由加速度三個(gè)分量可以確定加速度的大小和方向余弦)3 .速度公式由adv/atdvadt積分：vvv0分量形式為:tadto(1-21)tVxvox0axdttvyv0y0aydttVzV0z0azdt(1-22)*勻加速運(yùn)動(dòng)速度公式:tvv0adtat0或vv0at位移公式:tt12rr0vdt(v0at)dtv0tat002+

7、1+2(1-24)r”vot2at4.質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題分類(lèi)*第一類(lèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程rr(t),求質(zhì)點(diǎn)速度v和加速度a。，按速度和加速度的定義通過(guò)求導(dǎo)來(lái)解決。*第二類(lèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題已知質(zhì)點(diǎn)加速度aa(t)及初始條件t=0時(shí)位矢0和速度V0,求質(zhì)點(diǎn)速度v和位矢ro,通過(guò)速度公式和位移公式通過(guò)積分來(lái)解決。份Q1.1一質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)方程為rAcostiAsintj(A、為正常量)，求:質(zhì)點(diǎn)的軌道方程及質(zhì)點(diǎn)在任意t時(shí)位矢、速度和加速度的大小和方解：（第一類(lèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題）*質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程的分量形式為:xAcost,yAsint聯(lián)立消去t可得到軌跡方程222xyA（圓的方程，圓心O,半徑A,

8、質(zhì)點(diǎn)在作圓周運(yùn)動(dòng)）*位矢:rAcostiAsintj大小為：rXx2y2A方向?yàn)?tgy/xtgt*3K：vdr/dtAsinti分量為:vxAsintvyAcost速度大?。ㄋ俾剩?vJv2vya速率圓周運(yùn)動(dòng)）Acostj（常量，勻速度方向?yàn)?tgVy/Vxctgt（比較（1）（2）式，可知速度v和位矢直，速度沿圓周的切線方向）*加速度:adv/dt2 A costi2 /A sin（可見(jiàn)加速度方向與位矢相反,即指向圓心）加諫度大小為:22AarA（常量）仞01.2如圖，河岸有人在h處通過(guò)定滑輪以速度V0收繩拉船靠岸。求：船在距岸邊為x處時(shí)的速度和加速度。解：（第一類(lèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題）如圖建立坐

9、標(biāo)，小船到岸邊距離為X,繩子長(zhǎng)度為l,則有I2.22lhX（1）得：xh小船運(yùn)動(dòng)方程（l是t的函數(shù)）*小船的速度為：dx vdtldx © dl dtxx/ x 2 h 2v 0x（推導(dǎo)中用到 表示繩子的長(zhǎng)度在縮短 *小船的加速度為dl dt )v0 ,負(fù)號(hào)dv adtddtx 2 llx 2203（推導(dǎo)中用到dx出為小船的速度）（如把（1）式按隱函數(shù)求導(dǎo)求速度和加速度更簡(jiǎn)便）將（1）兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得:-dx2xdtdl（注意到上式中dV0dxdT=vlv0xv解得：lv0Vx2h2v-Voxx再將（2）式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到：dldxdv一v0一vx一dtdtdtdv（其中dra

10、為船的加速度）有:v0vxa解得：X.22hv03x快j1.3如圖，一質(zhì)點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)斜上拋，忽略空氣阻力，加速度為1、-g 9.8ms ，方向向下。t= 0 時(shí)X0 10.2m, yo質(zhì)點(diǎn)位置在12.4m 處，1初速度大小為vo23.2ms,仰角為30。求：質(zhì)點(diǎn)在任意t時(shí)的速度和位矢的兩個(gè)分量。精品文檔解：（第二類(lèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題）質(zhì)點(diǎn)加速度的兩個(gè)分量為：ax0,ayg初速度的分量為：1v0xv0cos20.1ms,iv0yv0sin11.6ms按速度公式有：tVxvoxaxdtvox20.1mso（常數(shù)）精品文檔精品文檔t1、VyV0yaydt'0Vgt”69.81t(ms)0按位移公

11、式有：txx00vxdtx0vxt10.220/ttyy00VydtVo0(v0ygt)dtyO12.411.6t4(此題可直接用勻加速運(yùn)動(dòng)公式(1-23)和(1-24)的分量式得結(jié)果)仞01.4一質(zhì)點(diǎn)沿x軸運(yùn)動(dòng)，其速度與位置的關(guān)系為vkx,其中k為一正常量。若t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)在xx0處，求任意t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度。觸：（第二類(lèi)運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題）按題意有vkx,按速度定義改寫(xiě)為：dx,一kxdt（一階微分方程）dx可以通過(guò)分離變量法求解，有：kdtx對(duì)方程積分，按題意t =0時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置在x0, 又設(shè)t 有：時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置在x,x dxx0 xkdt積分得:In-x-k t精品文檔精品文檔解出質(zhì)點(diǎn)位置

12、為:ktxx0e質(zhì)點(diǎn)速度為:dx/dtkx0ekt質(zhì)點(diǎn)加速度為:dv/dtk2x0ekt§1-2切向加速度和法向加速度自然坐標(biāo)系笛卡爾坐標(biāo)系使用普遍，但在有的問(wèn)題中并不是最簡(jiǎn)捷的方法。自然坐標(biāo)系采用軌道切向和法向分解運(yùn)動(dòng)（特適于描述圓周運(yùn)動(dòng)）。精品文檔精品文檔圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度精品文檔如圖，把V分解為兩個(gè)分矢量：V(V)n(V)t除以過(guò)程的時(shí)間間隔t,并令t0,有：dv(dV八(dv)tdtdtdt記作：aanat(1-25)其中：an(dV)n/dt(1-26)法向加速度at(1-27)(d v )t / dt切向加速度討論1 .法向加速度（與勻速率圓周運(yùn)動(dòng)中討論8)

13、向心加速度過(guò)程相同）圖中(a)r和r的等腰與圖(b)中v和(v)n構(gòu)成等腰相似，有：1(v)nlIrIv|r式中：IvI為質(zhì)點(diǎn)在pi處速率v,rI為位矢大小即圓半徑R記作：(v)nVR兩邊同除以t,并令t0,得： (d V)n dt按式(1-26)d r dt(dv)n / dt為法向加速度大小an,1dr/出|為速率v,因而簡(jiǎn)化為：anVvR于是法向加速度大小為：2Van一r方向：與速度V垂直即指向圓心(故an稱為向心加速度)2 .切向加諫度按上圖可看到V的分量(v)t的大小等于速率的增量，記作：(v)t|V同除以t并令t0有：(dV)tdVdtdt若質(zhì)點(diǎn)速率減少，則增量分解按下圖。若令t0

14、則（v）t極限方向應(yīng)與速度v方向相反，綜上，其值表示為：dvdt當(dāng)質(zhì)點(diǎn)速率增加時(shí)at0,表示at沿著速度v的方向；當(dāng)質(zhì)點(diǎn)速率減小時(shí)at0,表示at逆著速度v的方向。*注意：（自然坐標(biāo)坐標(biāo)描述的好處清晰）切向加速度描述質(zhì)點(diǎn)速度大小變化的快慢，法向加速度描述質(zhì)點(diǎn)速度方向變化的快慢。3.質(zhì)點(diǎn)加速度22大小為：aVatan方向?yàn)椋嘿|(zhì)點(diǎn)加速度與速度的夾角滿足：tgan/at二一般曲線運(yùn)動(dòng)的切向加速度和法向加速度（軌道的曲率圓）自然坐標(biāo)系（曲率圓曲率中心曲率半徑等概念）1 .路程：s(t)(1-32)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程2 .速度速度大小(速率)dsvdt(1-33)速度方向：為軌道的切向3 .加速度法向加速度

15、和切向加速度：2V_7(r曲率半徑)dvdt度大小：/22aVatan加速度方向：與速度的夾角tgan/at傷j1.5一質(zhì)點(diǎn)沿一半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，412，路程svot2bt，其中vo和b為正常量,求任意時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的速率和加速度的大小。解：質(zhì)點(diǎn)的速率為：vds/dtv0bt質(zhì)點(diǎn)的切向加速度為：atdv/dtb質(zhì)點(diǎn)的法向加速度為：anv2/R(v0bt)2/R質(zhì)點(diǎn)加速度的大小為:a a an2 b b2 (Vobt)4 / R2例1.6一質(zhì)點(diǎn)作斜上拋運(yùn)動(dòng)，初速率為v0 ,仰角為，見(jiàn)圖, 求：質(zhì)點(diǎn)軌道在起點(diǎn)Pi和頂點(diǎn) P2的曲率半徑。解：質(zhì)點(diǎn)的法向加速度anv2/R（其中R為曲率半徑）對(duì)pi點(diǎn)，加

16、速度g向下，法向加速度angcos速率為v0,故有：2/gcosv0/1由此求得P1點(diǎn)軌道的曲率半徑為：2v01gcos對(duì)于P2點(diǎn)，加速度g向下，ang質(zhì)點(diǎn)速率為：vv0cos22,故有：gv0cos/2解得P2點(diǎn)的曲率半徑為：22v0cos2008/02/28/§1-3圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述平面極坐標(biāo)系圓周運(yùn)動(dòng)的角量描述(平面極坐標(biāo)系的概念)1 .角位置:(1-34)角量運(yùn)動(dòng)方程2 .角位移：(tt)(1-35)(通常取逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的角位移為正值)3 .平均角速度：/t4.瞬時(shí)角速度（角速度）:5.dlim一t0tdt角加速度：(1-36)6.ddJ2dtdt2角位移公式：(1-37)t

17、0dt007 .角速度公式：t00dt8 .勻角加速運(yùn)動(dòng):*角速度公式為:(1-38)(1-39)0t(1-40)把(1-40)式代入(1-38)式得：*角位移公式為:0t2t2(1-41)(1-40)和(1-41)稱為勻角加速運(yùn)動(dòng)公式)二角量和線量的關(guān)系(質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)常用平面極坐標(biāo)系和自然坐標(biāo)系描述）*角量描述:角位置、角速度和角加速度等描述圓周運(yùn)動(dòng)（極坐標(biāo)系）；*線量描述:路程、速率、切向法向加速度等描述圓周運(yùn)動(dòng)（自然坐標(biāo)）。P21.路程和角位置的關(guān)系:sR若tt時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)到P2點(diǎn)，路程為s,角位移為則有:sR(對(duì)t求導(dǎo)得到質(zhì)點(diǎn)速率)2.速率和角速度的關(guān)系:dsR(再對(duì)t速度)3.切向加速

18、度：dt(1-43) 求導(dǎo)得質(zhì)點(diǎn)的切向加atdv-Rdt4.法向加速度:2(1-45)中和可能為2_-an-RR注意:方向變化！式(1-42)和(1-43)負(fù)值，式中s和-也為負(fù)值,若s、-及at為負(fù)表示與所設(shè)正方向反向。仞01.7一質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程為.120t-kt2)其中0和k為正常量,求任意t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的速率、切向加速度和法向加速度。解：任意t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的角速度為：ktddt角加速度為:dt速率為:vRR(0kt)切向加速度為:精品文檔Rk法向加速度為:22anR2R(0kt)2例1.一質(zhì)點(diǎn)沿半徑R1.61 m圓周運(yùn)動(dòng)，t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)位置00,i角速度03-14s,若質(zhì)點(diǎn)2、角加速度1.24t(S),求：t2.0s時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速率，切向加速度和法向加速度。t00 dt解：按角速度公式，質(zhì)點(diǎn)在t2s時(shí)的質(zhì)點(diǎn)的角速度為：23.141.24tdt5.62s0速率