CT系統(tǒng)參數(shù)標定

1、CT系統(tǒng)參數(shù)標定問題研究摘要本文通過對體模系統(tǒng)和投影點坐標的分析，提出了較為充分合理的假設，并對數(shù)據(jù)進行了擬合處理。先后建立了三個模型（理想狀態(tài)下的模型，只考慮載物臺傾斜的模型，考慮載物臺傾斜與探測器的俯仰角的模型）來求解CT系統(tǒng)參數(shù)標定的問題。在對問題一的分析中，只考慮在理想情況下：即載物臺水平和探測器無偏轉(zhuǎn)，并不考慮機械誤差的情況下各個參數(shù)之間的關系，以X光放射源為原點建立坐標系，沿水平方向射向探測器的水平直線為X軸,豎直方向為Y軸,建立模型一,繪出側(cè)視圖如一所示。運用幾何知識作圖，通過建立相似圖形的等比例方程來研究確定幾個系統(tǒng)參數(shù)之間的關系（X射線源的位置參數(shù)、載物中心線的位置參數(shù)和探測

2、器的位置參數(shù)）。同時求出載物臺半徑等參數(shù)，最后討論了引入像素、載物臺偏角、觀測器俯仰角和數(shù)據(jù)不確定度對誤差的影響。在分析問題二時，考慮到所給橢圓點集可能有偏差，于是首先運用擬合的方法對數(shù)據(jù)行處理，得到更為確信的數(shù)據(jù)并由此求出修正后的“橢圓”方程（觀察均方根誤差,得知此方程能符合條件，可以使用）。由于考慮多個誤差因素將使模型計算變得極為復雜，在此不同時考慮。假設探測器無偏轉(zhuǎn)，只有載物臺傾斜，建立模型二。易知傾斜的載物臺與安裝沒有偏差的水平觀測器可以等效為水平的載物臺與只縱向傾斜的觀測器。然后根據(jù)擬合后的數(shù)據(jù)求出兩類橢圓長軸斜率，從而求出載物臺傾斜角為0.1146°,并依據(jù)此進一步修正數(shù)

3、據(jù)。在模型二修正數(shù)據(jù)的基礎上，考慮探測器的俯角因素（易知0不影響模型二的求解）建立模型三。由修正后的圖知兩“橢圓”長軸長等。由上方長軸長大于下方長軸長知探測器向前倒。經(jīng)過一定數(shù)據(jù)近似后，再根據(jù)等比例關系可求得探測器俯角q為1.623。近一步推導可得坐標及光源到旋轉(zhuǎn)臺的旋轉(zhuǎn)軸的距離為263.97mm,光源在成像平面上的水平直射點，光源到探測器水平直射點的間距為688.57mm,。最后在問題三，對模型三的機械誤差進行了分析計算。機械誤差主要來源為像素、載物臺偏角，探測器的俯仰角，圓心距離的誤差。并進行了靈敏度分析。關鍵詞：坐標修正載物臺偏角探測器俯仰角機械誤差一、問題的重述掃描物件圍繞某一固定轉(zhuǎn)軸

4、旋轉(zhuǎn)，每隔一定角度采集一張圖像，然后根據(jù)采集的圖像采用3D圖像重建算法即可將原始3D物件重建出來。在實際中，由X射線源發(fā)出X射線，經(jīng)過掃描物體衰減后照射在探測器上，探測器根據(jù)接收到的光子數(shù)的計數(shù)實現(xiàn)光電轉(zhuǎn)換,從而形成灰度圖像。一般平板探測器大小為3000X2000像素，每個像素為0.127mm。在CT系統(tǒng)安裝過程中往往存在機械誤差，而這些誤差對于物件重建的準確性往往是致關重要的，實際中就需要對安裝好的CT系統(tǒng)進行參數(shù)標定，系統(tǒng)參數(shù)主要包括X射線源的位置、載物中心線的位置和探測器的位置參數(shù)等。對于CT系統(tǒng)參數(shù)標定精度要求是不夠的（通常CT重建過程中系統(tǒng)參數(shù)的機械誤差不允許超過一個像素）。通過掃描

5、已知參數(shù)的體模，分析投影數(shù)據(jù)，估計系統(tǒng)參數(shù)的方法。針對工業(yè)CT要求解決如下問題：（1）建立合適的坐標系，正確描述CT系統(tǒng)的各種參數(shù)和機械誤差，并建模分析這些參數(shù)的關系和可能的機械誤差。（2）通常采用軸承鋼球作為CT參數(shù)標定體模。因為它具有各向投影一致，邊緣清晰等優(yōu)點，在里采用兩個鋼球?qū)崿F(xiàn)CT的參數(shù)標定實驗.兩個鋼球置于有機玻璃管中（X射線容易透過有機玻璃，容易后期球心獲取的圖像處理），鋼球直徑為8mm±0.0008mm,兩球心距離約為100mm±lmmo將有機玻璃管固定在旋轉(zhuǎn)載物臺上，載物臺攜帶有機玻璃管以均勻速度旋轉(zhuǎn)，與此同時X射線源發(fā)出的射線，探測器采集數(shù)據(jù)（旋轉(zhuǎn)一周，

6、等間距采集180張）。兩個鋼球球心投影的軌跡是兩個橢圓。試根據(jù)實驗數(shù)據(jù)估計該CT系統(tǒng)的參數(shù)值，給出CT系統(tǒng)的標定。（3）在參數(shù)標定過程中可能存在多種可能的機械誤差，對參數(shù)標定可能的誤差進行分析。二、問題的分析問題一：本題誤差主要來源于工業(yè)CT系統(tǒng)安裝過程。除了裝置本身的由于在裝系統(tǒng)時，可能會導致探測器扭轉(zhuǎn)、前后俯仰，載物臺的傾斜等，都會導致機械誤差的存在。我們在計算時會考慮這些因素,并建立相應的模型。所以，在標定時應該給出其機械誤差大小?？梢愿鶕?jù)體模的投影數(shù)據(jù)，利用幾何知識來求解主要包括X射線源的位置、載物中心線的位置和探測器的位置并求出他們的關系。對于載物臺來說，由于載物臺要進行旋轉(zhuǎn)，所以其

7、傾斜方式只有一種。問題二：根據(jù)分析，載物臺的傾斜可以等效為探測器投影繞一個點在豎直方向旋轉(zhuǎn)（圖三所示）。由附錄一中圖分析可知，兩個橢圓的長軸不是水平的，這是由于載物臺的傾斜造成的：上橢圓與下橢圓的長軸不一樣長，這是由于探測器的前后俯仰造成的:“橢圓”圖形左右不對稱，是由于探測器的扭轉(zhuǎn)造成的。我們分別建立模型將數(shù)據(jù)一步一步進行處理，得到機械誤差來源，再進行修正，從而給出準確的CT參數(shù)標定。問題三：本題中考慮的機械誤差來源有兩圓心距離誤差，載物臺傾斜，探測器前俯后仰，利用問題二中所得數(shù)據(jù)，可求得總機械誤差。三、模型的假設與符號說明1 .模型的假設（1）考慮到此處光子的波動不明顯，故忽略光的衍射現(xiàn)象

8、，以光的直線傳播進行處理；（2）忽略X光輻射源的體積和形狀，將其視為質(zhì)點：（3） 一些題目中未說明但實際易得的參數(shù)，如載物臺的半徑等，假設可以測量得到，此處不考慮具體方法及相關誤差；（4）數(shù)據(jù)能客觀反映實際情況：（5）載物臺與有機玻璃管始終垂直；（6）兩小球圓心視為質(zhì)點；（7）在數(shù)據(jù)采集過程中，放射源點，載物臺，探測器參數(shù)不再變化。2 .符號說明X光射線源到載物臺中心垂線的距離；12：X光射線源到探測器的距離；13：探測器俯仰偏轉(zhuǎn)后下方橢圓最下沿點到Y(jié)軸距離：14：探測器俯仰偏轉(zhuǎn)后上方橢圓最上沿點到Y(jié)軸距離；r：有機玻璃管和小球的軌跡圓半徑；h：兩個小球重心之間的距離；%：橢圓間最近兩點的距離

9、：h,：橢圓間最遠兩點的距離：n1：上投影橢圓短軸長度；n2：上投影橢圓短軸長度；m：投影的豎直方向最大長度；載物臺的傾斜角；探測器偏轉(zhuǎn)的俯仰角；tl：大橢圓的長軸長度；t2：小橢圓的長軸長度；口2：兩橢圓中心之間的距離；的：當偏差為一個像素時候，探測器的俯仰角度：At1：當偏差為一個像素時候片的變化量；At3：當偏差為一個像素時候t?的變化量；At12：當偏差為一個像素時候G的變化量四、模型的建立和求解問題一：1、模型一的建立首先考慮在理想情況下，即載物臺水平和探測器無偏轉(zhuǎn)和不考慮機械誤差的情況下各個參數(shù)之間的關系。建立坐標系時選定X光輻射源為坐標原點，沿水平方向射向探測器的水平直線為X軸，

10、豎直方向為Y軸，繪出側(cè)視圖如一所示。圖二理想模型下的俯視圖由平面幾何中相似圖形成比例可以得出下列方程：hL+rm-(n1+n2)12(2)若考慮引入機械誤差，則可能存在以下幾種機械誤差：（1）載物臺與地面有一定傾斜角，此角會使投影偏轉(zhuǎn)。（2）探測器地面間存在一定俯仰角，此偏角的存在會使原本應是橢圓的投影產(chǎn)生一定偏差：（3）x放射點與載物臺軸線成面與探測器成角不成90度，會使原本應是橢圓的投影產(chǎn)生一定偏差：（4）像素不夠大引起的誤差，一般平板探測器大小為3000x2000,每個像素為0.127nin,若兩個投影點之間的水平或豎直距離小于0.127in】，在探測器上就會區(qū)分不出，例如以下2組數(shù)據(jù)：

11、上方球心坐標（X,Y）：（1415,1639）,（1375,1639）；（5）題目中給出的數(shù)據(jù)（小球半徑、球心距離等）不精確產(chǎn)生的誤差：問題一.1、誦二的建立暫只考慮載物臺的傾斜角。的情況下，建立此模型。傾斜的載物臺與安裝沒有偏差的觀測器可以等效為水平的載物臺與只縱向傾斜的觀測器，如圖二由于數(shù)據(jù)可能有較大的誤差，我們用matlab對數(shù)據(jù)進行擬合。2000180016001400120010008006003000圖四：修正前的圖形2000修正后1800160014001200100080060040020050010003000150020002500圖五：擬合修正后的圖形再由圖中所示方法求出

12、長軸短軸大小及對應各個切點?！捌叫星芯€之間的距肉最短為短軸圖六：橢圓的切線與橢圓軸的關系再根據(jù)對應切點確定長軸斜率tanx=(lxj-rxj)/(lx-rx);%下方橢圓長軸斜率tans=(Isj-rsj)/(Is-rs);專上方橢圓長軸斜率tan=(tans+tanx)/2;得q)2=arctaiiO.OO2根據(jù)相應切點求出圓心軌跡所成圓之圓心，水平射于探測器的點橫縱坐標xsO=(ls+rs)/2;ysO=(lSj4-rsj)/2;%上方圓心軌跡圓圓心水平射于探測器的點橫縱坐標xxO=(lx+rx)/2;yxO=(lxj+rxj)/2;%卜方圓心軌跡圓圓心水平射于探測器的點橫縱坐標bili=

13、(gs-ds)/(gs-ds)+(gx-dx);根據(jù)附件一中所給數(shù)據(jù)，計算出X放射點水平射于探測器的橫縱坐標yO=ds-(gx-ds)*乂放射點水平射于探測器的縱坐標xO=dsi-(gxi-dsi)放射點水平射于探測修正后坐標軸不聲前坐標軸、(Xo.Vo>1/cos6=y2圖七修正的原理圖再根據(jù)對應切點確定長軸斜率h=abs(sqrt(tanA2+l)-(tan*(x(izj)-Is)-y(irj)+lsj)/sqrt(tanA2+l);%上方橢圓上任意一點至上方橢圓長軸的距離y(irj)=yO+(ysO-yO)*sqrt(tanA2+l)-(tan*(x(izj)-Is)-y(irj)

14、+lsj)/sqrt(tanA2+l);%核正后的縱坐標x(i,j)=xO+fuhao*hh;宅修正后的縱橫坐標修正后圖形如圖五。詳細數(shù)據(jù)見附錄一。2、模型三的建立我們可以建立在模型二的基礎上考慮探測器的俯仰角度W，如圖八所示，由于載物臺的偏轉(zhuǎn)角度c與探測器俯仰角度W不影響，所以可以把他們結(jié)合起來計算?？紤]他們偏轉(zhuǎn)角的誤差。由圖八和圖可知，探測器向前偏轉(zhuǎn)了0,導致上橢圓和下橢圓大小不一樣，根據(jù)幾何知識，可以求得方程(4)和方程(5)：于是，我們就可以求出在探測器前后俯仰時候的偏轉(zhuǎn)角q與體模投影點坐標之間的關系。找出偏轉(zhuǎn)角q與其他參數(shù)之間的關系，進行修正。得到準確的載物中心線的位置和探測器的位置

15、參數(shù)，較精確對CT進行標定。而“與t2的值非常相近，即q非常小。相似三角形對應邊要小于對應1cos/,但由與W非常小，相差不大，二者可約等于。則由圖三和圖四可以得到下列方程如下：21=皿叫)hjcos弘h2cos.(tjt)lnll(4)(6)w非常小。則可以將L，h，。的長度看成一樣。即式子可改為:Acos（flh2cos.（tt»）L%5m.二J-；ll于是，我們就可以求出在探測器前后俯仰角例=1.62%由模型三的修正，我們可以得到準確的數(shù)據(jù)，就可以求得：h=787m=1905=347n2=215%=2708t3=2685=1625.5帶入模型一的方程,由模型一，X射線源的位置在

16、扇點，即坐標為（0：0）,由射區(qū)源到載物中心線的距離為1=2078.55（像素）=263.97皿，即位置坐標為（0,263.97）,由射線源到探測器的距離為12=5421.85（像素）=688.5711111】，即位置坐標為（0,688.57）,我們還求出在載物臺上物體繞載物臺中心線旋轉(zhuǎn)的半徑,由于小球在載物臺邊緣，則旋轉(zhuǎn)半徑約等于載物臺半徑r戶468.56（像素）=59.5mm問題三：根據(jù)前面的描述，誤差的來源主要有三種：像素、偏轉(zhuǎn)角和球心距。對于CT系統(tǒng)參數(shù)標定精度要求是其機械誤差不超過一個像素，而由式（1）（2）（5）知球心距只與1?有直接聯(lián)系，與像素無直接聯(lián)系，故此處主要研究偏轉(zhuǎn)角與投

17、影像素之間的關系。有次可進一步推出它們的關系如下：-tjTAt9;（8）cos一%=倏；（9）.（tj+Atj1->At、）1,tj2sin%=-=二-G+M；（10）計算（8）得到=2.009。；傷一%=0.386。：H算（10）得藥價=1.764°：的一%=0.1410；比較兩次結(jié)果，取最小值0.141。，即要保證投影在探測板上的點位誤差不超過一個相位，探測板的俯仰角浮動范圍最大不能超過0.141。五、模型的推廣與改進方向考慮三維直角坐標系，能更精確的求出機械誤差，具有更好的實際應用?？紤]探測器的扭轉(zhuǎn)角對體模投影圖像的影響?？紤]多種誤差同時影響。六、模型的優(yōu)缺點優(yōu)點：1、建

18、立多個模型，模型的建立由易到難，比較有層次，能更清晰的分析問題，找到它們之間的關系：2、對體模的投影點坐標進行數(shù)據(jù)的修正，計算的結(jié)果更加準確：3、考慮到的誤差比較合理，有較大的實際意義；缺點：1、對探測器的扭轉(zhuǎn)角考慮不全面，僅在理論上進行分析。2、由于像素造成的機械誤差比較大，像素精度不高，此方法解決這個問題效果欠佳；七、參考文獻1姜啟源.數(shù)學模型Ml.北京：高等教育出版社，1999.2韓中庚.數(shù)學建模方法及其應用M.北京：高等教育出版社，2009.八、附錄附錄一：投影點坐標的修正zhen=zeros(2000,3000);fori=l:180forj=l:2zhen(y(i,.i),x(i,

19、i)=l:endend%矩陣之生成rs=1000;lx=1000;rx=1000;fori=l:3000forj=l:2000ifzhenfj,i)=1ifi<lsifj>1400ls=i;lsj=j;endendifi<lxifj<500lx=i;lxj=j;endendifi>rsifj>1400rs=i;rsj=j；endendifi>rxifj<500rx=i;rxj=j;endendendendendgs=1800;ds=1800;fori=l:3000forj=l:2000ifzhenij,i)=1ifj>1000ifj<

20、dsds=j;dsi=i;endendendifzhen；j,i)=lifj>gsss=j;gsi=i；endendendendgx=200,dx=200；fori=l:3000forj=1:2000ifzhen;j,i)=1ifj<dxdx=j;dxi=i;endendifzhen'.j,i)=1ifj<1000ifj>gxgx=j；gxi=i;endendendendend%下方橢圓長軸斜率%上方橢圓長軸斜率%上方圓心軌跡圓圓心水平射于探測器的點橫縱坐%下方圓心軌跡圓圓心水平射于探測器的點橫縱tanx=(lxj-rxj)/(lx-rx);tans=(lsj-rsj)/(ls-rs);tan=(tans+tanx)/2;xs0=(ls+rs)/2;ys0=(lsj+rsj)/2;林xxO=：1x+rx)/2;yxO=(lxj+rxj)/2;坐標bili=(gs-ds)/(gs-ds)+(gx-dx);yO=ds-(gx-ds)*bili;%x放射點水平射于探測器的縱坐標forj=l:2xO=dsi-(gxi-dsi)*bi1i;%x放射點水平射手探測器的橫坐標fori=l:180if(y(i,j)>1500)h=(tan*(x(i,j)-xsO)