動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題練習(xí)(附答案解析解析)

1、動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題所謂“動(dòng)點(diǎn)型問(wèn)題是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開(kāi)放性題目.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想1、如圖1,梯形ABCD中,AD/BC,ZB=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AD邊以1cm/秒的速度移動(dòng),點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CB向點(diǎn)B以2cm/秒的速度移動(dòng),如果P,Q分別從A,C同時(shí)出發(fā),設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒.當(dāng)t=時(shí),四邊形是平行四邊形；6當(dāng)t=時(shí),四邊形是等腰梯形.82、如圖2,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)M在邊DC上,且DM=1,

2、N為對(duì)角線AC上任意一點(diǎn),那么DN+MN的最小值為53、如圖,在RtABC中,/ACB=90.,/B=60.,BC=2.點(diǎn).是AC的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線l從與AC重合的位置開(kāi)始,繞點(diǎn).作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),交AB邊于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)C作CE/AB交直線l于點(diǎn)E,設(shè)直線l的旋轉(zhuǎn)角為0.(1)當(dāng)=度時(shí),四邊形EDBC是等腰梯形,此時(shí)AD的長(zhǎng)為當(dāng)汽=度時(shí),四邊形EDBC是直角梯形,此時(shí)AD的長(zhǎng)為(2)當(dāng)«=90°時(shí),判斷四邊形EDBC是否為菱形,并說(shuō)明理由.解：(1)30,1;60,1.5;(2)當(dāng)=90°時(shí),四邊形EDBC是菱形.一/a=/ACB=900,BC/ED.丁CEAB,四邊

3、形EDBC是平行四邊形在RtABC中,ZACB=900,/B=600,BC=2,ZA=300.AB=4,AC=2石.50=2AC=£.在RtAOD中,/A=300,.AD=2.BD=2.BD=BC.又二.四邊形EDBC是平行四邊形,四邊形EDBC是菱形4、在ABC中,/ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD,MN于D,(1片直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),求證：ADCACEB;DE=AD+BE;(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),求證：DE=AD-BE;(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí),試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系

4、,并加以證實(shí).解：(1)/ACD=/ACB=90°.-/CAD+/ACD=90°./BCE+/ACD=90°/CAD=/BCEAC=BC,ADCACEB/AADCACEBCE=AD,CD=BE.DE=CE+CD=AD+BE(2) /ADC=/CEB=/ACB=90°/ACD=/CBE又AC=BCACDACBE.CE=AD,CD=BE.DE=CE-CD=AD-BE(3)當(dāng)MN旋轉(zhuǎn)至U圖3的位置時(shí),DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等)/ADC=/CEB=/ACB=90°/ACD=/CBE,又AC=BC,ACDACBE,AD=C

5、E,CD=BE,.DE=CD-CE=BE-AD.5、數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問(wèn)題：如圖1,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).ZAEF=90,且EF交正方形外角NDCG的平行線CF于點(diǎn)F,求證：AE=EF.經(jīng)過(guò)思考,小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M,連接ME,那么AM=EC,易證AMEAECF,所以AE=EF.在此根底上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：1小穎提出：如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)任意一點(diǎn),其它條件不變,那么結(jié)論"AE=EF仍然成立,出證實(shí)過(guò)程；如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由；改為“點(diǎn)E是邊BC上除B,C外的你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確,寫(xiě)2小華提出：如圖3,

6、點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上除C點(diǎn)外的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論"AE=EF"仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確,寫(xiě)出證實(shí)過(guò)程;解：1正確.證實(shí)：在AB上取一點(diǎn)M,使AM=EC,連接ME.二BM=BE.JBME=45,AME=135.；CF是外角平分線,DCF=45,ECF=135二/AME=/ECF.如果不正確,請(qǐng)說(shuō)明理由.°DFGBEC圖1*NAEB+/BAE=90,/AEB+/CEF=90,/BAE=/CEF./.AM®BCFASA).,AE=EF(2)正確.證實(shí)：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N.使AN=CE,:BN=BE.:上N=/PCE=45.v四

7、邊形ABCD是正方形,ADIIBE.,DAE=NBEA.二小AE=NCE.FANEAECF(ASA).:AE=EF.MB的距離為DAF6、如圖,射線MB上,MB=9,A是射線MB外一點(diǎn),AB=5且A到射線MB方向以1個(gè)單位/秒的速度移動(dòng),設(shè)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.求1PAB為等腰三角形的t值；2PAB為直角三角形的3,動(dòng)點(diǎn)P從M沿射線t值;(3)假設(shè)AB=5且/ABM=45,其他條件不變,直接寫(xiě)出PAB為直角三角形的t值7、如圖1,在等腰梯形ABCD中,AD/BC,E是AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作EF/BC交CD于點(diǎn)F.AB=4,BC=6,/B=601求：i求點(diǎn)E到BC的距離；2點(diǎn)P為線段EF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),

8、過(guò)P作PM_LEF交BC于點(diǎn)M,過(guò)M作MN/AB交折線ADC于點(diǎn)N,連結(jié)PN,設(shè)EP=x.當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上時(shí)如圖2,APN的形狀是否發(fā)生改變？假設(shè)不變,求出PMN的周長(zhǎng)；假設(shè)改變,請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上時(shí)如圖3,是否存在點(diǎn)P,使4PMN為等腰三角形？假設(shè)存在,請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由圖1圖2圖3圖4備用圖5備用1BEAB=2.解1如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EG_LBC于點(diǎn)G.E為AB的中點(diǎn),/.2BG=1BE=1,EGkJ'22-12=、.3.在RtEBG中,/B=60:./BEG=30°2即點(diǎn)E到BC的距離為瓜(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),4PM

9、N的形狀不發(fā)生改變.PM_LEF,EG_LEF,PM/EG.EF/BC,EP=GM,PM=EG=V3-同理MN如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PH_LMN于H,MN/AB,一,一,一1,/NMC=/B=60%/PMH=30s.,PH=PM23一3MH=PMLCos30*=.那么NH=MN-MH=4-=AB=4.25=2r/524l在RtPNH中,PN=VNH'+ph,I-+=«丫v2)CCAPMN的周長(zhǎng)=PM+PN+MN=J3+J7+4.當(dāng)點(diǎn)N在線段DC上運(yùn)動(dòng)時(shí),APMN的形狀發(fā)生改變,但4MNC恒為等邊三角形.當(dāng)PM=PN時(shí),如圖3,作PR_LMN于R,那么MR=NR,3類似,MR=.MN

10、=2MR=3.AMNC是等邊二角形,MC=MN=3.2此時(shí),x=EP=GM=BC-BG-MC=6-1-3=2.當(dāng)MP=MN時(shí),如圖4,這時(shí)MC=MN=MP=j3.此時(shí),x=EP=GM=61J3=5J3.當(dāng)NP=NM時(shí),如圖5,/NPM=/PMN=30°那么/PMN=120口,又/MNC=60*,/PNM+/MNC=1806因此點(diǎn)P與F重合,PMC為直角三角形.MC=PMLtan30©=1.此時(shí),x=EP=GM=611=4.綜上所述,當(dāng)x=2或4或(5-J3)時(shí),APMN為等腰三角形.8、如圖,ABC中,AB=AC=10厘米,BC=8厘米,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).(1)如果點(diǎn)P在線

11、段BC上以3cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等,經(jīng)過(guò)1秒后,BPD與CQP是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理由;假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度不相等,當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí),能夠使BPD與CQP全等？(2)假設(shè)點(diǎn)Q以中的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)C出發(fā),點(diǎn)P以原來(lái)的運(yùn)動(dòng)速度從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā),都逆時(shí)針沿4AbC三邊運(yùn)動(dòng),求經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在ABC的哪條邊上相遇？解：(1)t=1秒,BP=CQ=3>d=3厘米,AB=10厘米,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),BD=5厘米.又.PC=BCBP,BC=8厘米,PC=83=5厘米,PC=BD.Vp#Vq

12、.BP#CQ又.AB=AC,ZB=/C,.BPDCQP又.ABPDACQP/B=/C那么BP=PC=4,CQ=BD=5CQ515VQBP4Qt44t=一二一一點(diǎn)P,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間33秒,3厘米/秒.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次相遇,15x=3x210由題意,得4,解得80x=3秒.803=80點(diǎn)P共運(yùn)動(dòng)了3厘米.80二2'28+24,.點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AB邊上相遇,80.經(jīng)過(guò)3秒點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在邊AB上相遇.9、如下圖,在菱形ABCD中,AB=4,ZBAD=120,4AEF為正三角形,點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC.CD上滑動(dòng),且E、F不與B.C.D重合.(1)證實(shí)不管E、F在BC.C

13、D上如何滑動(dòng),總有BE=CF;(2)當(dāng)點(diǎn)E、F在BC.CD上滑動(dòng)時(shí),分別探討四邊形AECF和4CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變,求出這個(gè)定值；如果變化,求出最大(或最小)值.A【答案】解：1證實(shí)：如圖,連接AC四邊形ABCD為菱形,/BAD=120,/BAE+/EAC=60°,/FAC+/EAC=60°,./BAE=ZFACo.ZBAD=120,./ABF=60.ABC和ACD為等邊三角形./ACF=60,AC=ABo./ABE=/AFC.在ABE和AACF中,./BAE=/FAC,AB=AC,/ABE=/AFC,.ABE,ACFASA.,BE=CF.(2)四邊形AECF

14、的面積不變,CEF的面積發(fā)生變化.理由如下:由1得ABEAACF,那么Saabe=Saacf°S四邊形AECF=SaAEC+SaaCF=SaaEC+SaABE=Saabc,是定值.作AHBC于H點(diǎn),那么BH=2,S四邊形AECF=SBC1-BCAH=1BCAAB2-BH2=4百.22由里線段最短可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí),邊AE最短.故4AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化,且當(dāng)AE最短時(shí),正三角形AEF的面積會(huì)最小,又Sacef=S四邊形AECFSaaef,那么此時(shí)4CEF的面積就會(huì)最大.-1SacEF=S四邊形AECFSaAEF=4、312x32.32-百2.CEF

15、的面積的最大值是、3.菱形的性質(zhì),等邊三角形的判定和性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),勾股定理,垂直線段的性質(zhì).【分析】(1)先求證AB=AC,進(jìn)而求證ABC、4ACD為等邊三角形,得ZACF=60°,AC=AB,從而求證ABEACF,即可求得BE=CFO(2)由ABEACF可得SaABE=SaACF,故根據(jù)S四邊形AEcF=S4AEc+SCF=S4AEc+S4AbE=SaaBC即可得四邊形AECF的面積是定值.當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí),邊AE最短.4AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化,且當(dāng)AE最短時(shí),正三角形AEF的面積會(huì)最小,根據(jù)SaCEF=S四邊形AECFSaaef,那

16、么CEF的面積就會(huì)最大.1R如圖,在AOB中,ZAOB=90°,OA=OB=6,C為OB上一點(diǎn),射線CDXOB交AB于點(diǎn)D,OC=2.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒加個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿CD方向運(yùn)動(dòng),P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)P到到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q也隨之停止.過(guò)點(diǎn)P作PEXOA于點(diǎn)E,PFLOB于點(diǎn)F,得到矩形PEOF.以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)向下作等腰直角三角形QMN,斜邊MN/OB,且MN=QC.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位：秒).(1)求t=1時(shí)FC的長(zhǎng)度.(2)求MN=PF時(shí)t的值.(3)當(dāng)4QMN和矩形PEOF有重疊局部時(shí),求重疊(陰影)局部圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式.(4)直接寫(xiě)出4QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值.考點(diǎn)：相似形綜合題.分析：(1)根據(jù)等腰直角三角形,可得AP=V2t,OF=EP=t,再將t=1代入求出FC的長(zhǎng)度；(2)根據(jù)MN=PF,可得關(guān)于t的方程6-t=2t,解方程即可求解；(3)分三種情況：求出當(dāng)14磴時(shí)；當(dāng)2Vt復(fù)時(shí)；當(dāng)包vt小時(shí)；求出重疊(陰影)局部圖形面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；(4)分M在OE上；N在PF上兩種情況討論求得4QMN的邊與矩形PEOF的邊有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)t的值.解答：解：