2019屆江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查(一)數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、蘇錫常鎮(zhèn)四市2019 屆高三教學(xué)情況調(diào)查（一）數(shù)學(xué)注意事項:1. 本試卷考試時間為120 分鐘，試卷滿分160 分，考試形式閉卷.2. 本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分。3. 答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5 毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上。一、填空題（本大題共14 小題，每小題5 分，共 70 分，請將答案填寫在答題卷相應(yīng)的位置上）1 已知集合A 0 ， 1， 2， B x 1 x 1 ，則 AB2 i 為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)（1 2i）2的虛部為23拋物線y 4x的焦點坐標(biāo)為4箱子中有形狀、大小都相同的3 只紅球、1 只白球，一次摸出2 只球，則摸到的2

2、 只球顏色相同的概率為5如圖是抽取某學(xué)校160 名學(xué)生的體重頻率分布直方圖，已知從左到右的前3 組的頻率成等差數(shù)列，則第2 組的頻數(shù)為6如圖是一個算法流程圖，則輸出的S 的值是log2(3 x)， x 017已知函數(shù)f (x)2，若 f ( a 1) ，則實數(shù)a2x 1， x 028中國古代著作張丘建算經(jīng)有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700 里那么這匹馬在最后一天行走的里程數(shù)為9已知圓柱的軸截面的對角線長為10 設(shè)定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)2，則這個圓柱的側(cè)面積的最大值為y 3 3si

3、n x的圖象與y 3cos2x 2的圖象交于點P，則點 P 到 x軸的距離為11在 ABC 中，角A， B， C 所對的邊分別為a， b， c，已知5a 8b， A 2B，則sin(A ) 2212若直線l： ax y 4a 0 上存在相距為2 的兩個動點A， B，圓 O： x y1上存在點 C， 使得 ABC 為等腰直角三角形( C 為直角頂點)， 則實數(shù) a 的取值范圍為13在ABC 中，已知AB 2， AC 1，BAC 90°， D， E 分別為BC， AD 的中點，過點 E 的直線交AB 于點P，交AC 于點Q，則BQ CP 的最大值為14 己知函數(shù)f (x) x2 x a

4、， g(x) (2a 1)x aln x，若函數(shù)y f (x) 與函 數(shù)y g (x) 的圖象恰好有兩個不同的交點，則實數(shù)a 的取值范圍為二、解答題(本大題共6 小題，共計90 分，請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15（本小題滿分14 分）如圖，三棱錐D ABC 中，己知AC BC， AC DC， BC DC， E， F 分別為 BD， CD的中點（ 1）求證：EF平面ABC ；（ 2） BD 平面ACE16（本小題滿分14 分）已知向量a （ 2cos ， 2sin ） ， b （ cos sin ， cos sin ）（ 1）求向量a 與 b 的夾角；（

5、 2）若（ b a） a ，求實數(shù)的值17（本小題滿分14 分）某新建小區(qū)規(guī)劃利用一塊空地進(jìn)行配套綠化已知空地的一邊是直路AB ，余下的外圍是拋物線的一段弧，直路AB 的中垂線恰是該拋物線的對稱軸（如圖）擬在這個空地上劃出一個等腰梯形ABCD 區(qū)域種植草坪，其中A， B， C， D 均在該拋物線上經(jīng)測量，直路AB 長為 40 米，拋物線的頂點P 到直路 AB 的距離為40 米設(shè)點C 到拋物線的對稱軸的距離為 m 米，到直路AB 的距離為n 米（ 1）求出 n 關(guān)于 m 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）當(dāng)m 為多大時，等腰梯形草坪ABCD 的面積最大？并求出其最大值18（本小題滿分16 分）E：22xy2

6、21(a b 0) 的離心率為ab3 ，焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為323（ 1）求橢圓E 的標(biāo)準(zhǔn)方程；（ 2）已知P（t， 0）為橢圓 E 外一動點，過點P 分別作直線l1 和 l2，直線l1 和 l2分別交橢PA PBE 于點 A， B 和點C， D,，且l1和 l 2的斜率分別為定值k1和 k2，求證：PA PB 為定值PC PD19(本小題滿分16 分)已知函數(shù)f ( x) ( x 1)ln x ax(a R) ( 1)若 y f (x) 在 (1， f (1)處的切線方程為x y b 0，求實數(shù)a， b 的值；( 2)設(shè)函數(shù)g (x) f (x) ， x 1 ， e(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)

7、)當(dāng)a1 時，x求 g(x) 的最大值；若h(x)g(xx) 是單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)a 的取值范圍20(本小題滿分16 分)定義：若有窮數(shù)列a1 ， a2 ，an 同時滿足下列三個條件，則稱該數(shù)列為P 數(shù)列首項a11 ；a1a2an ；對于該數(shù)列中的任意兩項ai和aj (1i<jn)，其積ajaiaj或商 仍是該數(shù)列中的項ai( 1)問等差數(shù)列1 ， 3， 5 是否為 P 數(shù)列？( 2)若數(shù)列a， b， c， 6 是 P 數(shù)列，求b 的取值范圍；3)若n>4，且數(shù)列b1，b2，bn是 P數(shù)列，求證：數(shù)列b1，b2，bn是等比數(shù)列2018 2019學(xué)年度蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況

8、調(diào)查（一）數(shù)學(xué) II （加試）21 【選做題】本題包括A， B， C 三小題，請選定其中兩題作答，每小題10 分共計 20 分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟A選修4 2：矩陣與變換1 x 1已知x， y R，是矩陣A的屬于特征值1 的一個特征向量，求矩陣2 0 yA 的另一個特征值B 選修4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在極坐標(biāo)系中，已知直線l：sin（ ） 0 ，在直角坐標(biāo)系（原點與極點重合，3x軸1yt正方向為極軸的正方向）中，曲線C 的參數(shù)方程為4t （ t 為參數(shù)）設(shè)l 與 C 交于xt14tA， B 兩點，求AB 的長C選修4 5：不等式選講若不等式x 1 x a 5 對任意的x

9、 R 恒成立，求實數(shù)a 的取值范圍【必做題】第22 題、第 23 題，每題10 分，共計20 分，解答時應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟22(本小題滿分10 分)從批量較大的產(chǎn)品中隨機取出10 件產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測，若這批產(chǎn)品的不合格率為0.05，隨機變量X 表示這10 件產(chǎn)品中的不合格產(chǎn)品的件數(shù)( 1)蚊：這10 件產(chǎn)品中“恰好有 2 件不合格的概率P(X 2)”和“恰好有 3 件不合格的概率P(X 3)”哪個大？請說明理由；( 2)求隨機變量X 的數(shù)學(xué)期望E(X) 23(本小題滿分10 分)C234n4C6C8C2nf (n)4345n 1 ，C6C8C10C2n 2g(n)C4C5C4C

10、6C86n2C2nC63C84C150n1C2n 2n N ， n 21)求 f(2) ， f(3)， g(2)， g(3)的值；2)記h(n) f (n) g (n)，求證：對任意的m N，m 2，總有h(2 m)m12018-2019 學(xué)年度蘇、錫、 常、 鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查(一)數(shù)學(xué)參考答案14 小題，每小題5 分，共 70 分3(1,0)1425 4010248.二、解答題：本大題共6 小題，共計7001271390 分9 210 314 a15(1)三棱錐D ABC 中， E 為 DC 的中點，F(xiàn) 為 DB 的中點，EF BC， BC 平面 ABC， EF 平面 ABC， EF

11、平面 ABC( 2) AC BC ， AC DC ， BC DC C ， AC 平面BCD， BD 平面BCD，AC BD ， DC BC,E 為 BD 的中點，CE BD ， AC CE C ， BD 平面 ACE3分6分8分 10分 12分 14分16(1)設(shè)向量a 與 b 的夾角為，a 2，b (cos sin )2 (cos sin )22 ，4分22考慮到0剟 ，得向量2)若( b a ) a ，則因為 b a 2 ， a2a b (2cos ,2sin ) (cos sin ,cos sin )cosab222cos22sin 2272a 與 b的夾角9 分4( b a) a 0

12、，即 b a a2 0，12 分4，所以 24 0，解得214 分17. ( 1 )以路 AB 所在的直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，1 分則 A( 20,0) ， B (20,0) ， P(0,40) ，2 分曲線段APB 為拋物線的一段弧，可以設(shè)拋物線的解析式為y a(x 20)( x 20) ，14分將點 P(0,40) 代入得：40400a，解得 a 1 ，1012拋物線的解析式為y (400 x2)，5 分101點 C 在拋物線上，n (400 m ) ， 0 m 0 6 分102)設(shè)等腰梯形ABCD的面積為S，1 12則 S (2m 40)(400 m2 ) ，

13、8 分2 10132S ( m3 20m2 400m 8000)，9 分10121 S ( 3m2 40m 400)(3m 20)( m 20) ，10 分101020令 S 0，得 m 20，11 分3m20 m (0, 3 )20 m320 m (,20)SS0S0S0S增極大值減13 分2025600當(dāng) m 時，等腰梯形ABCD的面積最大，最大值為平方米14 分32718 (1)設(shè)橢圓的半焦距為c， 由已知得，c 3a23222，則c ， c a b ，3 分a2 c 3解得 a 2 ， b 1 ， c 3 ，5 分2橢圓 E 的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2 1 6 分4(2)由題意，設(shè)直線l1 的方

14、程為y k1(x t)，代入橢圓E的方程中，并化簡得，( 1k142x2)1k82 t x 1 42k 2 t ， 4 08 分設(shè) A(x1, y1) ， B(x2,y2) 224k12t2 41 4k1228k12 t則 x1 x21， x1x2121 4k121 2PA 1 k12 x1 t ， PB 1 k12 x2 t ，10 分所以 PA PB (1 k12) x1 t x2 t (1 k12)t2 (x1 x2 )t x1 x213分(1k12 ) t28k12t 2 4k1 t 2 42221 4k121 4k12PC PD1k22) |t2 4|21 4k221k12) |t2

15、 4|1 4k1214分16分所以 PA PB (1 k122)( 1 4k222)為定值PC PD (1 k22)( 1 4k12)x119(1)f (x) ln xa ， f (1) a 21 ， a 3 ，1 分xf( 1 )a ， 3(1, 3) 代入 x y b 0 解得 b 22分1lnx x 1 x lnx 1( 2)g(x) ( 1)ln x 1 ，則 g (x)2223 分xxx x令(x)xln x 1 ，則(x)11 0，(x)在 1,e 單調(diào)遞增，5分x(x) (1) 0 ，6 分 g (x) 0， g(x) 在 1,e 單調(diào)遞增，g(x) 的最大值為g(e) (1 )

16、ln x a1 若 a 0， g(x) 0， h(x) x xe 8分e同理，單調(diào)遞增函數(shù)g(x) f(x) a,a 1 1 ，9分xe111 1x 12 ln x 2(1 )ln x axxxh (x)xe22(1 x x )ln x ax x 12x xe, 0，則 h(x) ( 1)ln x a x xex22令 u(x) (1 x x )ln x ax x 1 ，1則 u (x)(1 2x)ln x (2 a 1)x 0 x即 u(x) 在 1,e 單調(diào)遞減，umax(x) u(1) a 2, 0 ， a 2 11 分1e 1(1 )ln x a2 若 a ,， g(x) , 0 ，

17、h(x) x x ，ee由 1 知， h (x)u2(xx) ， 又 h(x) 在區(qū)間 1,e上是單調(diào)減函數(shù)，xe所以 u(x) (1 x x2 )ln x ax2 x 1 0對 x 1,e 恒成立，即ax2 x 1 (1 x x2)ln x對 x 1,e恒成立，1111即 a 2 ( 2 1)ln x 對 x 1,e 恒成立，xx x x1111令 (x)=2 ( 2 1)ln x,x 1,e，xx x x122111132121(x)23 (32 )ln x ( 21)32( 32 )ln xxx xx xx x xxxxx1 1x記 (x) ln x x 1(1 x e) ，又 (x)1

18、 0 ，xx所以 (x) 在區(qū)間 1,e上單調(diào)遞減，故(x)max (1) 0，即 ln x x 1 ，所以321213212151(x)32( 32)ln x32( 32 )( x 1)32 0xxxxxxxxxxxx1111即 (x)在區(qū)間 1,e上是單調(diào)遞減，所以(x)min (e) 112 (112 1)lne 1 ，eeeee1所以 a(x)min1，又a ,，ee1a ,13 分ee 1f ( x) 13 若a 0 ，因為 g ( x)(1 )ln x a ，exxln x x 1 x ln x 1 x 1 x 12g (x)222220，xx xx x所以 g(x) f(x) 在

19、 1,e上單調(diào)遞增，x1又 g (1)g (e) a(a 1) 0，e11則存在唯一的x0 (1,e)，使h(x0) ( 1)ln x0 a) x 0，x0ex015分16分 h(x) 在 1,e上不單調(diào)綜上所述，a , 1 12,20（1）3 5 15， 5 均不在此等差數(shù)列中，e3等差數(shù)列1,3,5 不是 P數(shù)列；2分2)數(shù)列a， b， c， 6 是 P數(shù)列，所以1 a< b<c< 6，3 分6b 或 6 是數(shù)列中的項，而6b 大于數(shù)列中的最大項6，b5分-也是數(shù)列中的項,C考慮到 1 v 9 < 9 <6,于是 9 =b, - =c, c bc bbc=6,

20、又 1 < b< c,所以 1vb<綜上，b的取值范圍是（1, V6）.(3) :數(shù)列bn是 P數(shù)列，所以 1 = bi<b2< b3<- < bn?由于b2bn或殳是數(shù)列中的項，而b2bn大于數(shù)列中的最大項5,b2'是數(shù)列bn中的項, b210分同理, %,b3 b4,口也都是數(shù)列bn中的項,bn J.考慮到1旦 bn J.<V < bn,且 1 ,b2bnbnn項的增數(shù)列1, b2, ,以中的項,從而 bn=bibn+i i(i=1, 2, 又如-1 b3> g-加2= bn ,所以n-1）,bn加3不是數(shù)列12分%中的項

21、,是數(shù)列bn中的項，同理 b3白， 3 也都是數(shù)列3中的項, b4 b»考慮到1 <<Vbn J2< -< =bn 2<bn-i<bn,b4bn lb4星，b1, bn這n個數(shù)全是共 b3有n項的增數(shù)列1,b2,加中的項，于是，同理有,bn i=bibn i(i=1, 2,，n-2),14分在中將i換成16分i+1后與相除，得旦=與土，i = 1, 2,，n-2, bn 。bn是等比數(shù)列.2018-2019 學(xué)年度蘇、錫、 常、 鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)查(一)數(shù)學(xué)(附加題)參考答案21 【選做題】本題包括A， B， C，三小題，每小題10 分A(選修

22、4 2：矩陣與變換)解：1 是矩陣 A x201 的屬于特征值1 的一個特征向量，y0x 1y 2112，x 21, 解得 x 3, y 1 ，2y 2,4分A03116分特征多項式為f ( )0 ，即 (3)(1) 0，8分10分B(選修4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)解：以極點為直角坐標(biāo)系原點，極軸為x 軸建立坐標(biāo)系，直線 sin( ) 0的直角坐標(biāo)方程為y 3x，2 分31yt ,曲線4t 的普通方程為y2 x2 1 ，4 分1xt , 4t則直線與曲線的交點為A( ,) 和 B( ,)，7 分 AB 2 6 2 2 10 分C(選修4 5：不等式選講)解： x 1 x a x 1 x a 1

23、 a ，4 分x 1 x a 5 對任意的x R 恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)1 a 5，7 分10分a 4或 a, 622， 23 題，每小題10 分，計 20 分22解：由于批量較大，可以認(rèn)為隨機變量X B(10,0.05) ,2分1 )恰好有2 件不合格的概率P(X 2) C120 0.052 0.958，恰好有 3 件不合格的概率P(X 3) C130 0.053 0.957 ，4分P(X 2)C120 0.052 0.958 57337P(X 3) C130 0.053 0.9571，P(X 2) P( X 3) ，即恰好有2 件不合格的概率大；6分2)P(X k)pk C1k0pk(1 p)10 k， k 0,1,2, ,10.X01210pkC100 p0(1p)10119C10 p (1