第3章--振動系統(tǒng)的運動微分方程題解

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上習(xí) 題題3-1圖3-1 復(fù)擺重P，對質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為，質(zhì)心距轉(zhuǎn)動軸的距離為a，復(fù)擺由水平位置無初速地釋放，列寫復(fù)擺的運動微分方程。解:系統(tǒng)具有一個自由度，選復(fù)擺轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)，原點及正方向如如題4-1圖所示。復(fù)擺在任意位置下，根據(jù)剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程 其中 得到復(fù)擺運動微分方程為或 3-2均質(zhì)半圓柱體，質(zhì)心為C，與圓心O1的距離為e，柱體半徑為R，質(zhì)量為m，對質(zhì)心的回轉(zhuǎn)半徑為，在固定平面上作無滑動滾動，如題3-2圖所示，列寫該系統(tǒng)的運動微分方程。題3-2圖解：系統(tǒng)具有一個自由度，選為廣義坐標(biāo)。半圓柱體在任意位置的動能為：用瞬心法求：故 系統(tǒng)具有理想約束，重力的元功為

2、應(yīng)用動能定理的微分形式 等式兩邊同除， ，等式兩邊同除故微分方程為 若為小擺動，并略去二階以上微量，上述非線性微分方程可線性化，系統(tǒng)微擺動的微分方程為要點及討論（1）本題也可以用平面運動微分方程求解。系統(tǒng)的受力圖與運動分析圖如圖（b）所示。列寫微分方程上述方程包含，五個未知量，必須補充運動學(xué)關(guān)系才能求解。建立質(zhì)心坐標(biāo)與廣義坐標(biāo)之間的關(guān)系，所以運動學(xué)方程式與方程聯(lián)立，消去未知約束力，就可以得到與式相同的系統(tǒng)運動微分方程。因為在理想約束的情況下，未知約束力在動能定理的表達(dá)式中并不出現(xiàn)，所以用動能定理解決已知力求運動的問題更簡便、直接。（2）本題也可用機械能守恒定律求解。系統(tǒng)的動能 選半圓柱體中心O

3、1所在平面為零勢面，系統(tǒng)的勢能由兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)，即可得到與式相同的運動微分方程。3-3 均質(zhì)桿AB，長l，質(zhì)量為m，沿光滑墻面滑下，如題3-3圖所示。設(shè)水平面也為光滑的。列寫該系統(tǒng)的運動微分方程。題3-3圖解：系統(tǒng)具有一個自由度，選為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)在任一位置的動能為由瞬心法求質(zhì)心的速度，所以系統(tǒng)的主動力圖為圖（a）所示。重力的元功為由動能定理所以系統(tǒng)的運動微分方程為 要點及討論（1）平面運動剛體可用式計算剛體動能，式中為剛體對瞬心的轉(zhuǎn)動慣量，為質(zhì)心與瞬心間的距離。在本題中質(zhì)心的速度也可用式計算。其中 （2）所謂廣義坐標(biāo)應(yīng)包含坐標(biāo)值（線位移或角位移）、坐標(biāo)原點、坐標(biāo)正方向。廣義坐標(biāo)的選擇一般不

4、是唯一的，例如在本題中也可選桿與水平線的夾角為廣義坐標(biāo)，正方向如圖（b）所示（順時針），廣義坐標(biāo)選定后其它運動量（位移及位移的一階、二階導(dǎo)數(shù)）都根據(jù)廣義坐標(biāo)確定（包括大小與正方向）。如質(zhì)心C的位移與速度，正方向應(yīng)如圖所示，大小分別為，系統(tǒng)的動能主動力的元功根據(jù)動能定理建立的方程為所以“”號說明當(dāng)取正值時為負(fù)，即反時針方向。（3）本題也可用平面運動微分方程求解，讀者試列出方程。3-4 如題3-4圖所示，均質(zhì)圓柱體質(zhì)量為m，半徑為r，沿傾斜角為的三角塊作無滑動滾動，質(zhì)量為M的三角塊置于光滑的水平面上。列寫該系統(tǒng)的運動微分方程。題3-4圖解：系統(tǒng)具有兩個自由度，選為廣義坐標(biāo)。系統(tǒng)具有理想約束，且在水

5、平方向的外力為零，所以系統(tǒng)機械能守恒： ，水平方向動量守恒。整理后可分別列寫兩個方程式中為系統(tǒng)微分方程的首次積分，對時間求導(dǎo)后，即可得到系統(tǒng)運動微分方程。要點及討論（1）在理想約束的情況下，動能定理建立了系統(tǒng)的動能與主動力之間的關(guān)系，直接給出了系統(tǒng)的速度（或角速度）與位移（或角位移）之間的關(guān)系，對時間求導(dǎo)一次可得到系統(tǒng)的運動微分方程。（2）用動能定理建立系統(tǒng)運動微分方程的步驟為：分析系統(tǒng)受力，在理想約束的情況下只有主動力作功，所以一般在受力圖上只畫主動力。建立廣義坐標(biāo)，確定其原點和正方向；分析系統(tǒng)運動，重點是分析速度（角速度），將速度（角速度）用廣義速度表示。計算系統(tǒng)在任意位置的動能，將動能表

6、示為廣義坐標(biāo)、廣義速度的函數(shù)。計算力的功，若用積分形式動能定理，則計算主動力在有限路程上的功，若用微分形式的動能定理，則計算力的元功。應(yīng)用動能定理建立系統(tǒng)的受力與運動間的關(guān)系。（3）在理想約束、主動力又為勢力的情況下，可用機械能守恒定律建立系統(tǒng)運動微分方程。（4）對于多自由度系統(tǒng)，如兩個自由度系統(tǒng)，動能定理只給出一個方程，必須與其他定理，如動量定理或動量矩定理聯(lián)合應(yīng)用，才能得到另外一個方程。3-5題3-5圖所示為剛性建筑模型。剛性基礎(chǔ)質(zhì)量為m，剛性建筑的質(zhì)量為M，對質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量為IC。兩剛體在O處鉸接并附有剛度系數(shù)為k1的扭轉(zhuǎn)彈簧。其他參數(shù)如圖示。設(shè)地基有水平運動z(t)，試建立系統(tǒng)微幅運

7、動微分方程。圖中。題3-5圖 解：應(yīng)用牛頓矢量力學(xué)建立剛體運動的微分方程時，首先要畫出每個剛體的受力圖，如題3-5圖(b)、(c)所示。對于圖(b)，建立剛體的水平運動微分方程為(1)對于圖(c)：建立剛體在鉛垂平面內(nèi)的運動微分方程為(2)(3)(4)其中xC、yC及x均是對固定坐標(biāo)系的坐標(biāo)，同時考慮到微小運動的假說，于是有(5)(6)由方程(1)、(2)消去未知力，F(xiàn)Ox并考慮式(5)得(7)又由方程(2)、(3)和(4)消去未知力FOy、FOx，并考慮式(5)和(6)，得(8)方程(7)和(8)為系統(tǒng)微幅運動微分方程，若令x和q為確定系統(tǒng)位置的廣義坐標(biāo)，寫為矩陣形式那么，方程(7)和(8)

8、改寫為矩陣形式如下：(9)由此例題可以看出，應(yīng)用牛頓矢量力學(xué)建立系統(tǒng)的運動微分方程，一定要畫受力圖，于是必然要涉及未知約束力，因此較為繁瑣，特別是該例中的組合剛體系統(tǒng)更是如此。然而對于多自由度系統(tǒng)，應(yīng)用拉格朗日方程建立運動微分方程較為簡單。另解：由動靜法得,以整體為研究對象以M為研究對象： 又忽略高階小量，所以以上兩式化簡后得：化成矩陣形式為：3-6 題3-6圖所示兩端簡支的均勻梁，已知彎曲剛度為EI，單位長度的質(zhì)量為m，分布載荷為F(y, t)。試用哈密頓原理求運動方程。解：若梁的撓曲函數(shù)為w(y, t)，則動能為 (a)應(yīng)變（勢能）為題3-6圖 (b)外力功為 (c)將式(a)、式(b)與

9、式(c)代入變分式(d)得到(e)對式(e)進(jìn)行分部積分運算，得到(f)由于，時，哈密頓原理要求dw = 0，因而式(f)變?yōu)?f)因為，t1與t2區(qū)間的虛位移dw不可能為零，由此，得到梁的邊界條件(h)與運動方程(i)兩端簡支的梁，顯然是滿足邊界條件式(h)的。3-7 應(yīng)用拉格朗日方程導(dǎo)出題4-7圖所示系統(tǒng)的運動微分方程。題3-7圖解：取各質(zhì)量偏離其平衡位置的x1、x2、x3、x4為廣義坐標(biāo)。即(1)則系統(tǒng)的動能(2)系統(tǒng)的勢能為(3)計算拉格朗日方程中的各項導(dǎo)數(shù)如下：將以上各項導(dǎo)數(shù)代入拉格朗日方程得(4)寫成矩陣形式(5)其中 質(zhì)量矩陣 剛度矩陣 位移列陣（a） （b）題3-8圖3-8 在

10、地震研究中，建筑物可簡化為支承在兩彈簧上的質(zhì)量為m的剛體，其中直線彈簧的彈性系數(shù)為k，扭轉(zhuǎn)彈簧的彈性系數(shù)為kT，如題3-8圖所示。設(shè)IG為建筑物相對質(zhì)心G的轉(zhuǎn)動慣量，試?yán)米鴺?biāo)x（相對于平衡位置的直線運動）及描述建筑物轉(zhuǎn)動的坐標(biāo)q，求出運動方程。解：運動的分離體圖如圖（b）所示。地震中可設(shè)q為微小角度，因此因此運動方程為如果則則頻率方程為即或另解：動靜法得。以剛體m為研究對象： 又忽略高階小量，所以以上兩式化簡后得：圖中：kx、m應(yīng)反向。方程應(yīng)為 3-9 為了使結(jié)構(gòu)隔離機器產(chǎn)生的振動，將機器安裝在一很大的機座上，機座由彈簧支承，如題3-9圖所示。試求機座在圖示平面內(nèi)的運動方程。題3-9圖解：選

11、擇坐標(biāo)q1、q2、q3，這些坐標(biāo)已能完全描述該系統(tǒng)的運動，并相互獨立。設(shè)機器和機座的總質(zhì)量為M，總質(zhì)量對質(zhì)心G點的慣性矩為IG，則式中，V為貯存在彈簧中的勢能。有： 由拉格朗日方程得 則運動方程為因此系統(tǒng)具有三坐標(biāo)耦合的運動方程。假定，由頻率方程可求出系統(tǒng)的各階固有頻率。3-10 題3-10圖是一個帶有附有質(zhì)量m1和m2上的約束彈簧的雙擺，采用質(zhì)量的微小水平平動x1和x2為坐標(biāo)，寫出系統(tǒng)運動的作用力方程。解：利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設(shè)，分別畫出與的受力圖，并施加二物塊力，列平衡方程，對：， 題3-10圖 ，對： ， ， 設(shè)，分別畫出與的受力圖，并施加二物塊力，列平衡方程，對： ， ， 對

12、： ， ， 由， 解得，得作用力方程為3-11 題3-11圖為一剛性桿豎直支承于可移動的支座上，剛桿頂面和底面受水平彈簧的約束，質(zhì)心C上受水平力PC和扭矩MC的作用。設(shè)剛桿長度、橫截面積和質(zhì)量密度分別為l、A及，以質(zhì)心C的微小位移xC與為坐標(biāo)，列出系統(tǒng)運動的作用力方程。題3-11圖解：設(shè)質(zhì)心的水平位移與相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設(shè)，畫出受力圖，并施加物體力與力偶，列平衡方程， ， 設(shè)，畫出受力圖，并施加物體力與力偶，列平衡方程， ， ， ， ，得作用力方程為題3-12圖 3-12 題3-12圖是兩層樓建筑框架的示意圖，假設(shè)梁是剛性的，框架中各根柱為棱柱形，下層彎曲剛度為EJ1，上層為EJ2，采用微小水平運動x1及x2為坐標(biāo)，列出系統(tǒng)運動的位移方程。解：由材料力學(xué)知，當(dāng)懸臂梁自由端無轉(zhuǎn)角時，其梁的等效剛度為，由此可將題3-12圖等效為(a)圖，其中，廣義坐標(biāo)如圖（a）示。利用剛度影響系數(shù)法求剛度矩陣。設(shè)，畫出受力圖，并施加物體力，列平衡方程，可得到，同理可求得。最后求得剛度矩陣為=由剛度矩陣求逆得到柔度矩陣為得到系統(tǒng)的位移方程為也可由柔度影響系數(shù)法求柔度矩陣。即，對圖（a）中的施加單位力，而不受力，此時第一個彈簧變形為，第二個彈簧變形為零。由此可得位移為， ，同理求出，。最后得到柔度矩陣為另解：（1）求剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M在各樓層處附加水平