1991考研數(shù)三真題與解析

1、、填空題（本題滿分15分，每小題3分.把答案填在題中橫線上.）(1)設(shè)z=esinxy,則dz=設(shè)曲線f（x）=x3+ax與g（x）=bx?+c都通過(guò)點(diǎn)（-1,0）,且在點(diǎn)（1,。）有公共切線則a=,b=,c=處取極小值設(shè)f(x)=xex,則f(kx)在點(diǎn)(4)設(shè)A和B為可逆矩陣，X=''0IB為分塊矩陣，則X(5)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為0,x："1,0.4,F(x)=PX牧=0.8,1，-1土x：1,1<x：3,x_3.則X的概率分布為、選擇題（本題滿分15分，每小題3分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).）（1）

2、下列各式中正確的是x(B)lim1L=exR.x1(C)lim11-一=-exx(D)lim1ex、1設(shè)0an壬一（n=1,2,|ID則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是noo（A）'、'ann=1(B)w(-1)nanCO(C)ann1(D)、(T)na；nd（3）設(shè)A為n階可逆矩陣，入是A的一個(gè)特征根，則A的伴隨矩陣A的特征根之一是（）(A)疽An(B)疽A(C)可A(D)兀An（4）設(shè)A和B是任意兩個(gè)概率不為零的不相容事件，則下列結(jié)論中肯定正確的是(A)A與B不相容(B)A與百相容(C)PAB=PAPB(D)PA-B=PA(5)對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y,若E(XY)=E(X).E(

3、Y),貝U()(A)D(XY)=D(X)D(Y)(B)（C）X和Y獨(dú)立（D）（本題滿分5分）D(XY)=D(X)D(Y)X和Y不獨(dú)立求極限其中n是給定的自然數(shù)四、（本題滿分5分）計(jì)算二重積分I=ydxdy，其中D是由x軸，y軸與曲線戶+*=1所圍成的區(qū)域，a0,b0.五、（本題滿分5分）求微分方程xy阪=x2+y2滿足條件yj=2e的特解.dx心六、（本題滿分6分）假設(shè)曲線L1:y=1x2（0'x、1卜x軸和y軸所圍區(qū)域被曲線L2:y=ax2分為面積相等的兩部分，其中a是大于零的常數(shù)，試確定a的值.七、（本題滿分8分）某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時(shí)在兩個(gè)市場(chǎng)銷(xiāo)售，售價(jià)分別為p1和p2;銷(xiāo)售量

4、分別為勺1和q2;需求函數(shù)分別為q=240.2P1和q?=10-0.05P2，總成本函數(shù)為C=35+40（q+q2）.試問(wèn)：廠家如何確定兩個(gè)市場(chǎng)的售價(jià)，能使其獲得的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？八、（本題滿分6分）1.-試證明函數(shù)f（x）=（1+）在區(qū)間（0,危）內(nèi)單調(diào)增加九、（本題滿分7分）設(shè)有三維列向量一1+孔_1_1_0%=1,口2=1十九，二3=1,0=%.一1_En（1）0可由,。2,口3線性表示，且表達(dá)式唯一？E可由口102，口3線性表示，且表達(dá)式不唯一？P不能由,0（2,口3線性表示？十、（本題滿分6分）2,2,2考慮一次型f=x+4x2+4x3+2菽兇2X1X3+4X2X3.I可

5、丸取何值時(shí)，f為正定次型.十一、（本題滿分6分）試證明n維列向量組ot1t2otn線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是1:：”川："nTTT：'2：122川，2n i i+<TTT"1：n2川：nn其中電丁表示列向量?jī)吹霓D(zhuǎn)置，i=1,2,|,n.十二、（本題滿分5分）一汽車(chē)沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等，以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù).求X的概率分布.十三、（本題滿分6分）222假設(shè)隨機(jī)變量X和Y在圓域X+y<r上服從聯(lián)合均勻分布.求X和Y的相關(guān)系數(shù)P;（

6、2）問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？十四、（本題滿分5分）設(shè)總體X的概率密度為aa-1一xaxe,x0,P（x；）=0,x&0,其中九>0是未知參數(shù),a>0是已知常數(shù).試根據(jù)來(lái)自總體X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1,X2,IH,Xn,求丸的最大似然估計(jì)量兄所以【解析】一、填空題(本題滿分15分，每小題3分.)【答案】esinxycosxy(ydx+xdy)方法一：先求出兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)和,然后再寫(xiě)出全微分dz,ex:y_L，zsinxysinxy=ecosxyy=yecosxy:x-Zsinxysinxy=ecosxyx=xecosxyzzsinxysinxy_dz=dxdy=yecosxydxxecos

7、xydy:x:y=esinxycosxy(ydxxdy).方法二：利用一階全微分形式不變性和微分四則運(yùn)算法則直接計(jì)算dz.sinxysinxysinxysinxydz=deedsinxy=ecosxydxy=ecosxyydxxdy【答案】a=1,b=1,c=1【解析】由于曲線f(x)與g(x)都通過(guò)點(diǎn)(-1,0),則f一1)=一1a=0,芬-1=bc=0又曲線f(xg(x祚點(diǎn)(1,0)有公切線，則f'(1)=g'(1),即f'(-1片方+aj=3+a=g'(-1)=2bxxj=-2b,ix=1、'x=_i亦即3+a=2b,解之得a=1,b=1,c=1.

8、【答案】x=-(n+1)；-etn*)n【解析】由高階導(dǎo)數(shù)的萊布尼茲公式(uv戶=，C：u(kv(n)可知，k=0(n)/、c°x、(n)1x、(n_1)2x、(n_2)n(n)xf()(x)=Cnx(e)()Cnx(e)()Cnx(e)()山Cnx()e=xexnex0山0=(xn)ex.對(duì)函數(shù)gx=fnx)求導(dǎo)，并令g'(x)=0，得gx=f(n1)(x)=(xn1)ex=0,解之得駐點(diǎn)x=-(n+1),且；g'(x)<0,'<-(或),函數(shù)g(x)嚴(yán)格單調(diào)遞減；、g'(x)A0,xa(n+1),函數(shù)g(x)嚴(yán)格單調(diào)遞增；故x=-(n+

9、1)是函數(shù)g(x)=f(n樵)的極小值點(diǎn)，極小值為g(-nT)=f()(-n-1)=(-n-1n)e-e(4)【答案】0B400/【解析】利用分塊矩陣，按可逆矩陣定義有0AXX2、'E0'lB0J*X4；<0E>由對(duì)應(yīng)元素或塊相等母3=E,即<必4=0，BXi=0,BX2=E.從A和B均為可逆矩陣知X3=A%X4=0,Xi=0,X2=BJ.故應(yīng)填x無(wú)關(guān)，所以(5)【答案】x-113PX=x0.40.40.2【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)在各區(qū)間上的解析式都與自變量在F(x)的連續(xù)點(diǎn)，PX=x=0,只有在F(x)的間斷點(diǎn)處X取值的概率才大于零，且PX=

10、x=PX4xPX<x=F(x)F(x0),則PX-1=F(-1)-F(-1-0)=0.4,PX=1=F(1)-F(1-0)=0.8-0.4=0.4,PX=3=F(3)-F(3-0)=1-0.8=0.2.因此X的概率分布為x-113PX=x0.40.40.2二、選擇題(本題滿分15分，每小題3分.)【答案】(A)1v【解析】由重要極限以1+)=e可知,極限州(1-與=州1(*«)=e,lim(1)孩=lim_(1)"')=e.x-xx-x1ln(1l)xlimln(11)xlimxln(11)而極限lim(1)x=limex=ex0x=ex0xxj0xx0,1令

11、t=】，則1ln(1t)1limgln(1+-)=m-晝見(jiàn)=0，所以lim(1x)0-1limxln(1_)."e'ox=e0=1.x故選項(xiàng)(A)正確.【答案】(D)c1°°100【解析】因?yàn)?_1)na2=a2，由，土收斂及比較判別法可知z(-1)na2絕對(duì)收斂nnnn4即(D)正確.另外，設(shè)an=t(n=1,2川)，則可知2n二二11二1(A).二.an='廠=-,(C)、:一_；_M、an一,喝一。1n=4n22n2n=；一一一n2都不正確.、._1,設(shè)a?n=0,a2n=(n=1,2川)，則可知(B)不正確.(2) 4n【答案】(B).【解

12、析】由兀為A的特征值可知，存在非零向量X,使得AX=人X.兩端問(wèn)時(shí)乘以A,有A(赤X)=AAX,由公式AA=A得到兀AX=AX.于是按特征值定義知疽A是伴隨矩陣A的特征值.故應(yīng)選(B).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】矩陣特征值與特征向量的定義：設(shè)A是n階矩陣，若存在數(shù)九及非零的n維列向量X使得AX=XX成立，則稱(chēng)人是矩陣A的特征值，稱(chēng)非零向量X是矩陣A的特征向量.(3) 【答案】(D)【解析】AB=AUB，如果aUB=Q，則AB=0,即A與B互不相容；如果AUB，則AB#0,即A與B相容.由于A、B的任意性，故選項(xiàng)(A)(B)均不正確.任何事件A一定可以表示為兩個(gè)互不相容事件AB與AB的和.又因AB=0,從而

13、A-B=AB=A,另外要注意區(qū)分獨(dú)立與互不相容兩個(gè)概念，不要錯(cuò)誤地把A、B互不相容等同于A、B相互獨(dú)立而錯(cuò)選(C).A,B不相容，P(A),P(B)均不為零，因此PAB)=P：")=0,PAB=PAPB.即(C)不正確.用排除法應(yīng)選(D).事實(shí)上，PA-B=PA-PAB=PA.(4) 【答案】(B)【解析】由于E(XY)=E(X)E(Y),因此有cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,D(XY)=D(X)2cov(X,Y)D(Y)=D(X)D(Y).故應(yīng)選(B).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】若兩個(gè)隨機(jī)變量X,Y的方差都大于零，則下面四個(gè)命題是等價(jià)的:1) E(XY)=E(X)E(Y)；

14、D(X+Y)=D(X)+D(Y);cov(X,Y)=0;X和Y不相關(guān)，即X和Y的相關(guān)系數(shù)P=0.三、(本題滿分5分)【解析】方法一：這是1藝型未定式極限limX*1eX+e2x+W+enx'x匕、也xh*nx>In:=limen=eX_0IXnlimM八"：X0,x方法二：由于e2x.川enxlim甌e2X可enx)nn=ex0x其中指數(shù)上的極限是0型未定式，由洛必達(dá)法則，有0In(exe2x山enx)Tnnlimxox_|iex+2e2x+nenx1+2+nn(n+1)n+1-xm°exe2x山enx一n一2n-2所以1、停x2xee記y=土艾-1,則當(dāng)XT

15、0時(shí)y-*0,從而-1limX0/X,2x.j.e+e+e摩+y)匚蚣(1+y)而眄（1頊七e,所以蚣J(1y)xlim注0X.又因limnimF崎一1)"«')x】0xx-0nx1ex-1e2x_1="忡0丁耽二T川既遂(1+2+川+n)=%所以limx_01%x+e2x+川+enx玉n-1二e2四、（本題滿分5分）【解析】積分區(qū)域D如圖陰影部分所示.'2X由得y=bl"a因此I=ydxdy=dxDb22a12ydy=.0dx-ydx.令t=1一寸X,有x=a(1t)2,dx=2a(1t)dt,故b2I=2a01-X4b204dx&qu

16、ot;t2a(t-1)dt.2=ab0"-t5)dt.2=abJ""6；ab2030【解析】將原方程化為2.2dyxydxxy五、（本題滿分5分）y2X.,由此可見(jiàn)原方程是齊次微分方程Xdy令y=ux,有一=udxdux志，將其代入上式2dydu1u,得=u+x=dxdxu化簡(jiǎn)得x空=1,即ud.積分得】u2=lnx+C.dxux2將u=-代入上式,得通解y2=2x2(ln|x+C).由條件yxq=2e,即4e2=2e2(Ine+C)求得C=1.所以y2=2x2(lnx+1)所求微分方程的特解.六、（本題滿分6分）【解析】先求出曲線Li和L2的交點(diǎn)，然后利用定積分

17、求出平面圖形面積§和S2,如圖:.2-.y=1-x0_x_1由'2'得y=axa0所以iS=S1+S2=0ydx=i20(1-x2)dxx頊311s=01a1-x2-ax2dx=o1a1-1ax2dx11a31a2=x一x=_3o3.Ta又因?yàn)镾=2S1,所以2=2,即J1+a=2，解得a=3.33；1a七、(本題滿分8分)【解析】方法1:總收入函數(shù)為_(kāi)2._2R=pq1P2q2=24p一0.2p10p0.05P2,總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=R-C=1小門(mén)p?q2)3540qq?-一_2一-2一=32白-0.2口12p2-0.05p2-1395.由極值的必要條件，得方程組=32

18、0.4a=0,弟:L=12-0.1p2=0,"2即p1=80,p2=120.因駐點(diǎn)的唯一，且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn).故當(dāng)p1=80,p2=120時(shí)，廠家所獲得的總利潤(rùn)最大，其最大總利潤(rùn)為L(zhǎng)5切0=(32?-Og2+12p2-°.05p22-1395)口心之。=605方法2:兩個(gè)市場(chǎng)的價(jià)格函數(shù)分別為p1=120-5q,p2=200-20q2,總收入函數(shù)為R=茶1p?q2=120-5qq200-20q2q?,總利潤(rùn)函數(shù)為L(zhǎng)=R-C=i120-5qq200-20q2q|3540qq22280q-5q160q2-20q2-35.由極值的必要條件，得方程組cLE5C=80-

19、10q1=0,衡1:q=8,q2=4.IiL一=160-40q2=0,因駐點(diǎn)的唯一，且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn).故當(dāng)q1=8,q2=4,即p1=80,p2=120時(shí)，廠家所獲得的總利潤(rùn)最大，其最大總利潤(rùn)為L(zhǎng)%孫2Y=605.八、(本題滿分6分)一一一1.【解析】因?yàn)閤亡(0,*c),所以f(x)=(1+)x>0.1x|n(1衛(wèi))f(x)=(1+【)x=e、nx,兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得xxln(141)|xln(141)1''(一疽)111f(x)=.|ex=exln(1+)+】)一芯1入11、，、令g(x)=ln(1+一)廠廠，為證函數(shù)f(x)為增函數(shù)，只需f'

20、(x)0在(0,e)上成立，即g(x)>0*(0,危).方法一：利用單調(diào)性.由于x2-1x1.1一(1x)2x(1x)x1且x(0,*c),故g(x)=9<0,所以函數(shù)g(x)在(0,十笆)上單調(diào)減少.x(1x)21又limg(x)=limln(1-)1=0,于是有g(shù)(x)>0,xW(0,kc).從而1x一.1.f(x)=(1【)xg(x)0,x(0,二),于是函數(shù)f(x)在(0,E)單調(diào)增加.方法二：利用拉格朗日中值定理./1x1令ln(1)=ln()=ln(1x)Tnx=u(x1)-u(x),xx所以在區(qū)間(x,x+1)存在一點(diǎn)E,使得.1u(x1)-u(x)=u()(x

21、1-x)=u()=,即ln(1+1)=1.又因?yàn)?<x土<1+x,所以-<4<1，所以x1xx111<：ln(11)='1xx-,1x.1v11故對(duì)一切xw(0,E),有f(x)=(1+_)ln(1+)A0.函數(shù)f(x)在(0,E)單倜增加.九、(本題滿分7分)【解析】設(shè)xM+x2%+乂3%=',將分量代入得到方程組(1+兀)x+x2+x3=0,x1x2x3=*,N+x2+(1+兀*3=%2.對(duì)方程組的增廣矩陣作初等行變換.第一行分別乘以有(-1)、-(1十九)加到第二行和第三行上，有1+舄1121-1+舄11。11+Z1以T一九0；九:.1121

22、+人:人1'舄22舄一舄20：舄再第二行加到第三行上，所以有1，110T一九島0：舄、2_2一赤一3丸00：赤+%若舄#0且丸2+3人,0,即兀#0且赤尹一3,則r(A)=r(M)=3,方程組有唯一解,即E可由%,%,%線性表示且表達(dá)式唯一若九=0,則r(A)=r(A)=1<3，方程組有無(wú)窮多解，P可由。皿氏線性表示，且表達(dá)式不唯一.若舄=3,則r(A)=2,r(A)=3，方程組無(wú)解，從而E不能由,%,%線性表示.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】非齊次線性方程組有解的判定定理：設(shè)A是mxn矩陣，線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣A=(A：b)的秩，即是r(A)=r()(

23、或者說(shuō)，b可由A的列向量,0(2,川，線表出，1,亦等同于電*2，川,與魯，口2,111,%由是等價(jià)向量組).設(shè)A是mxn矩陣，線性方程組Ax=b，則有唯一解r(A)=r(A)=n.有無(wú)窮多解r(A)=r(A):n.無(wú)解r(A)+1=r(A).ub不能由A的列向量,0(2,川，otn線表出.十、(本題滿分6分)【解析】關(guān)于判定二次型正定這類(lèi)題目時(shí),用“順序主子式全大于0”的方法最為簡(jiǎn)捷.1二次型f的矩陣為A=*,其順序主子式為上1=1,上2=4_A*2,d=A=-4*24九+8.正定的充分必要條件是各階順序主子式都大于0,所以有>0,山2=1=（2赤）（2+丸）0,土=A=4Q1）O”2

24、）a0.舄411解出其交集為（2,1）,故?勇（2,1）時(shí)，f為正定二次型.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】二次型的定義：含有n個(gè)變量,x2|,xn的二次齊次多項(xiàng)式（即每項(xiàng)都是二次的多項(xiàng)式）nnf（Xi,X2,HI,Xn）=££aijXXj,其中aij=aji,i4j4稱(chēng)為n元二次型，令x=（Xi,X2,|】l,XnT,A=（aij），則二次型可用矩陣乘法表示為fXi,X2，川,Xn=XTAx,其中A是對(duì)稱(chēng)矩陣（AT=A）,稱(chēng)A為二次型f（x，凌，|,冷）的矩陣.（本題滿分6分）【解析】記A=（%,c（2,HI,an），則,%,川,有線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是A#0.由于t:'n：&#

25、39;2HI川必ndi"%E】成To(TF.a%,AA=.虹,0(2,|1|,%=rraa%從而取行列式，有D=ATA=ATA=A2.由此可見(jiàn)ai2lan線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是D=0.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】m個(gè)n維向量電%«m線性相關(guān)的充分必要條件是齊次方程組一廠X2-（%。2川4）：=。&一有非零解.特別地，n個(gè)n維向量ai,c（2jH,an線性相關(guān)的充分必要條件是行列式十二、（本題滿分5分）【解析】首先確定X的可能值是0,1,2,3，其次計(jì)算X取各種可能值的概率.設(shè)事件A=“汽車(chē)在第i個(gè)路口首次遇到紅燈”，i=1,2,3,且A相互獨(dú)立.1P(A)=P(A)=；.事件A發(fā)生表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)為i-1.所以有pIx=0i=PA)=12,PX=1.；=PA1A2=pA1pA,=122,p<x=2：=pA172a3=p&pA2p&=123,pIx=3=p瓦君瓦=pAp瓦p=產(chǎn)則X的概率分布為x0123PX=x121221歹13注：此題易犯的一個(gè)錯(cuò)誤是將px=3計(jì)算為%4，這是由于該街道僅有三個(gè)設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，X=3僅表示所有三個(gè)信號(hào)燈路口均為綠燈，而不存在第四個(gè)有信號(hào)燈路口問(wèn)題.十三、(本題滿分6分)(x,y)D,(x,y)-D,1I【解析】二維均勻分布(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為f(