圓錐曲線習(xí)題及答案(理科)

1、2.已知橢圓(I )求橢圓E的方程;(n)設(shè)直線x = my- 1, (m? R)交橢圓E于A B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G(- 9,0)與以線段AB為直4徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.1.已知橢圓C: 9x2 + y x2、2 E： + +2 =1(a> b>0)過點(diǎn)(0, Y2),且離心率為 a b2 = m2(m a 0),直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸，l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A , B ,線段AB的中點(diǎn)為M .(I )證明：直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值；(n)若l過點(diǎn)(m,m),延長線段OM與C交于點(diǎn)P ,四邊形OAPB能否為平行四邊形？ 3若能，求此時(shí)l的斜率，若不能，說明理由.

2、x22 ., , ,1,3 .已知橢圓 一+y2 =1上兩個(gè)不同的點(diǎn) A, B關(guān)于直線y=mx + 對(duì)稱.22(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍;(2)求AAOB面積的最大值(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).x2 y234 .平面直角坐標(biāo)系 xoy中，已知橢圓C ：-2+2=1(a>b>0 )的離心率為 J ,左、右焦 a b2點(diǎn)分別是F1,F2,以F1為圓心以3為半徑的圓與以 52為圓心以1為半徑的圓相交，且交點(diǎn)在橢圓C上.(I )求橢圓C的方程;22x y(n )設(shè)橢圓E: 一2十三 =1, P為橢圓C上任意一點(diǎn)，過點(diǎn) P的直線y = kx+m交橢 4a2 4b2圓E 于A, B兩點(diǎn)，射線PO交橢圓E于

3、點(diǎn)Q .OQOP的值;(ii )求MBQ面積的最大值5.設(shè)橢圓E的方程為22x ya2b2= 1(a：>bA0),點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a, 0),點(diǎn)510B的坐標(biāo)為(0,b卜點(diǎn)M在線段AB上，滿足BM | = 2 MA ,直線OM勺斜率為(I )求E的離心率e;(II )設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-b卜N為線段AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求E的方程.26 .已知橢圓 q+1=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F(c,0),離心率為 回，點(diǎn)、M在橢圓上且位 a b3b44 3于第一象限，直線 FM被圓x2+y2= 截得的線段的長為 c, |FM|=d3.43(I

4、)求直線FM的斜率;(II)求橢圓的方程;(III)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，若直線 FP的斜率大于22 ,求直線OP (。為原點(diǎn))的斜 率的取值范圍22x y7 .如圖，橢圓亞+g=1(a Ab >0)的左、右焦點(diǎn)分別為 后尸2,過F2的直線交橢圓于 P,Q兩點(diǎn)，且PQ _ PF1(1)若PFi|=2+J2|PF2| = 2 m2 ,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程PFj = |PQ|,求橢圓的離心率e.8.如圖,22橢圓 E： Jx_ +_y_ =1(a>b>0)的離心率是 a b2t2 ,過點(diǎn)P (0,1)的動(dòng)直線2l與橢圓相交于A, B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l平行與x軸時(shí)，直線l被橢圓E截得的線段長為

5、22.Q,使得留=隹1恒成立?|qb| |pb(1)求橢圓E的方程;(2)在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)若存在，求出點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由22x y9 .已知橢圓E：-2+g=1( a >b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)0到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0), (0,b) 一 1的直線的距離為c .2(I )求橢圓E的離心率;225(II )如圖，AB是圓M : (x + 2 ) +(y 1 ) =|的一條直徑，若橢圓E經(jīng)過A , B兩點(diǎn), 求橢圓E的方程.2X10 .在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C： y=一與直線y = kx+ a ( a >0)父與M N兩點(diǎn),4

6、(I)當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；(n) y軸上是否存在點(diǎn) P,使彳導(dǎo)當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有/ OPM/ OPN說明理由2211.已知橢圓C： x2+.y2 =1(a>b>0 )的離心率為 正，點(diǎn)P(0, 1)和點(diǎn)A(m, n)(mw0)都 a b2在橢圓C上，直線PA交x軸于點(diǎn)M .(I )求橢圓C的方程，并求點(diǎn) M的坐標(biāo)(用m , n表示)；(n)設(shè)O為原點(diǎn)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對(duì)稱，直線PB交x軸于點(diǎn)N .問：y軸上是否存在點(diǎn)Q ,使得ZOQM =/ONQ ?若存在，求點(diǎn) Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.2212.已知拋物線Ci：x2=4y的焦點(diǎn)F也是橢圓C2 ：4 +

7、 ?2=1(a:>b:>0)的一個(gè)焦點(diǎn)，C1 a b與C2的公共弦的長為2J6.(1)求C2的方程;(2)過點(diǎn)F的直線l與C1相交于A , B兩點(diǎn)，與C2相交于C , D兩點(diǎn)，且AC與BD同向(i )若| AC目BD |,求直線l的斜率(ii)設(shè) G在點(diǎn)A處的切線與x軸的交點(diǎn)為M ,證明：直線l繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)時(shí)，AMFD總是鈍角三角形1.【解析】(I )設(shè)直線 l : y =kx+b (k #0,b #0), A(x1,y1), B(x2,y2), M (xM , yM ).將 y=kx+b 代 入 9x2 所以橢圓E的方程為 + - = 1 . 2+y = m2 得 (k2+9)x2

8、+2kbx +b2 m2 = 0x1 x2kb2 2 k2 99b.于是直線。"的斜率上”9即加質(zhì)二九 所以直線。U的斜率與/的斜率的乘積為定值,（II）四邊形。TFE能為平行匹邊形.因?yàn)橹本€，過點(diǎn)（二;析），所以?不過原點(diǎn)且與U有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k>0, k3.9由【：，得。n的方程為丁二一三丫 k,設(shè)點(diǎn)戶的橫坐標(biāo)為工丁由f得入扁，即.將點(diǎn)（二內(nèi)。的坐標(biāo)代入直線的方程得后二四二?，因此口跑上二3.四邊形3(k+9)二km2.【解析】解法一：（I ）由已知得OAPB為平行四道形當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段9P互相平分.即樂=2士于是2x mk(k -3) 解得=4_，7 k2 =

9、4 + y7.因?yàn)?ki0,ki #3, i =1 , 2 ,所以當(dāng) l3(k2 9)的斜率為4<7或4 +J7時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形.b c a2 ai?3?l?oo.:2, 產(chǎn)22,解得?b = <2 ,2?b2+c2,?c= 2(n )設(shè)點(diǎn) A(x y)B(x2,y2),AB中點(diǎn)為 H(Xo,y°).? x = my- 1由 iX2 y2 _ 得(m2+2) y2-2my-3 = 0, ? 4 . 2 12m32所以yi + y2 = ,yiy2 = 一，從而 y。=m +2 m +2m +2所以GH|2 = (x。+ 9)2 + y。2 = (myo +

10、5)2 +y。2 = (m2 +1)yo2 + 5myo +442251622222|AB|2 = (xi - X2)2 +(yi - y2)2 =(m2+i)(yi - y2)2444/2222=(m +i)(y。- yi 2 ,(m +i)(yi +y2) - 4yi y242|GH|2-|AB|25:2.4 = 2myo + (m +i)yi255m2、2+=2i6 2(m2+2)3(m2+i) 25 _ i7m2 +2 m2+2 i6 -i6(m2+2)>0所以|GH|> 1ABi,故G(- 9,0)在以AB為直徑的圓外.24解法二：(I)同解法一.99、(n )設(shè)點(diǎn) A(

11、x y),B(x2,y2),則 GA =(為 +, y1),GB =3+, y2).442m-)2 =m +2 m +2? x = my- 1由 ix2 y2得(m2+2) y2-2my - 3 = 0，所以 y1 + y2 二? + =1? 429.9.5.5.從而 GAGB = (x+ )(x2 + ) + y1y2=(my1+ )(my 2+ ) + y1y24444217m2+2 八2>016(m2+2)2_,2一/ 25 / 255m23(m2+1) 25=(m +1)yi y2+ m(yi +72)+=2-2+416 2(m2 + 2)m2+216所KsGAGB >0,

12、又GAGB15線，所以DAGB為銳角.一， 9故點(diǎn)G( ,0)在以AB為直徑的圓外. 13.解析：（1）由題息知 m00,可設(shè)直線 AB的萬程為y = x+b, mx222 y =1 由2.1 一y - - x bm11c 2b c消去 y ,得(一 +1)xx+b -1=0, 二直線 y =2x 2.x + b與橢圓一 + y = 1有兩24個(gè)不同的父點(diǎn)，2 = -2b2 +2 + 2- >0 ,，將AB中點(diǎn)M（m2mb2.m bm2 2' m2 2）代入直線2 m m6人；（2）令42cc方程y =mx +一解得b =2一,。由得 m < 一 J 或 m >22m

13、236o(0,),則 | AB|=4t2 +12-2t4 2t2 3且O到直線AB2t2 12t2 1的距離為d =2 ,設(shè) MOB的面積為S(t), t2 121AB1d=2 -2(t2-2)2 2當(dāng)且僅當(dāng)t21.=一時(shí)，等號(hào)成立，故AAOB2_ ，上2面積的最大值為22 又仁也j+Byj=1即'勾+ y令 m 2 =t，將y=kx + m代入橢圓C的方程可得(1+4k2 )x2+8kmx +4m2-41 4k2由 蘭0 ,可得 m2 <1 +4k2由可知0 :二t三1因此 S =2（4 t X =21t2 +4t，故 SM2x3當(dāng)且僅當(dāng)t =1，即m2 =1 +4k2時(shí)取得最

14、大值2M3由（i ）知，MBQ 面積為3S ,所以AABQ面積的最大值為 63 .=1 ,所以 =2 ,即四=24.解析：（I）由題意知2a=4 ,則a = 232一 2 ,a22-c = b 可彳導(dǎo)b = 1 ,一 , 一 、一 x2 2 所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + y24=1.（II ）由（I ）知橢圓E的方程為22x y16 4=1,(i)設(shè) P(xo,y° ),OQop2由題意知Q（九刈，因?yàn)椋?#176; + y2=1, 41644 14|OP(ii)設(shè)A(X,yi灑海年)將y = kx + m代入橢圓E的方程，可得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 -16 =024m2

15、 -161 4k2由:>0 ,可得 m2 <4 + 16k28km則有 X| x2,x1x2 =1 4k2. 4416k2+4-m2所以x1 x2 =21+4k2因?yàn)橹本€y =kx +m與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為0,m_ 1所以AOAB的面積S=-|m| x2 -x22 16k2 4 -m2 m21 4k22 (16k2 4 -m2) m21 4k2=22 A, m4 -2.1 + 4k,1 4k25.7 1t解析(i>由題諛條件知，點(diǎn)n的坐標(biāo)為(三日與J：bJ：又匕修二土,從而_L=上，進(jìn)而得1024?10a a/5*.c =V： _t*； = 故。由題設(shè)條件和的計(jì)算結(jié)果可得,直線初

16、的方程為點(diǎn)的坐標(biāo)為(丑也-L), 顯b22設(shè)點(diǎn)X關(guān)于直線一鋁的對(duì)稱點(diǎn)S的坐標(biāo)為(孫，則線段A5的中點(diǎn)T的坐標(biāo)為:亞方一、一工方，1)又 "14 "1,-T點(diǎn)丁在直綾上，且他父長疝二L從而有一芻-工-L+二A2+Ll=1J55 b7 1解得5 = 3,所以口 二 3在，曲橢b叔巧一_圖E的方程為三十二=1.45 9C6.【解析】(I)由已知有a1.222.一2222一,又由 a =b +c，可得 a =3c , b =2c , 3設(shè)直線FM的斜率為k(k >0),則直線FM的方程為y = k(x + c),由已知有kc、2k2 +1122喧噸卜解得k=5322(II)由

17、(I)得橢圓方程為 一+匕=1,直線FM的方程為y = k(x+c),兩個(gè)方程聯(lián)立, 3c2 2c2消去y ,整理得3x2 +2cx 5c2 =0 ,解得x = 5 c或x = c,因?yàn)辄c(diǎn)M在第一象限，可得 M的坐標(biāo)為 3c, c，由 FM =(c + c)2 + p23c-0 13 J4 3 . - 一， 、一竺°，解得C = 1 ,所以橢圓方程為3(III)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),直線FP的斜率為t,得1 =_y_ ,即y =t(x+1) (x¥1), x 1y =t(x 1)與橢圓方程聯(lián)立x2 y2 ，消去y ,整理得2x2+3t2(x+1)2 =6,又由已知，得

18、一 + =1,326 -2x23(x 1)2>v 2 ,解得3 <XM1 或一1<XM0,2設(shè)直線OP的斜率為m ,得m = 丫，即y = mx(x = 0),與橢圓方程聯(lián)立，整理可得x2 _2 x2 3_ ,3當(dāng) x：J 3,-1,2,有 y=t(x+1)<0,因此 m>0,于當(dāng) xw(1,0)時(shí)，有 y =t(x+1)A0,因此 m<0,于2 3oO -,3綜上，直線OP的斜率的取值范圍是od7.【解析】 (1)由橢圓的定義，2a =|PF | + |PF2 |=(2 + 及)+(2-72)=4,故a=2.設(shè)橢圓的半焦距為 c,由已知PF_LPE,因此2

19、c =阡21=)PF |2+|PF2|2=(2+ 2)2 +(2- 2)2 =2 3*C 3.從而 b = a2 - c2 =12故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x +y2=1.4(2)解法一：如圖(21)圖，設(shè)點(diǎn)P(Xo,y0)在橢圓上，且PF_LPFh則22x0 , y02,2 _22 + 2 =1，X0 +y0 =C a b求得 x0 = ±CVa2 -2b2,y0 =±. ac PR |2 = i C a2 -2b2+ca<,2 %2bc由 |PFi| = |PQ|>|PF2|,得Xo>0,從而2=2 a2 -b22a a2 - 2b2 = a a2 -2

20、b2 .由橢圓的定義，|PF | + |PFd=2a,|QFi | + |QF2 |=2a ，從而由I PF | = |PQ| = |PF 1+ |QF ,1 有 IQFi |=4a- 2|PF |又由 PF J-PF>, |PF | 二 |PQ|知 IQ弓 I=M2|PF I,因此(2+&)|PF I=4a解法二：如圖二D圖由慚圓的定義，PFl + PF? QS+QE=2g從而由PFL = PQ = PE I* QR ,有 QFP月又由PF】_PF：, PE = PQ 知 QE_ =W PF，因此4a-2 PE =0 PFPF1從而 PE =%- PF- = - Q-J5加=2

21、(工由電 _L電:知 PF. : - PE PE :=(2c): =4r,因此e = = ' P"-=Q-+= Jg-瓜-出8.【解析】(1)由已知，點(diǎn)(<2,1)在橢圓E上.因此,a2+b2=1<a2 -b2 =c：c v2=a 2解得 a = 2, b = 2 .22所以橢圓的方程為 x y -1.42(2)當(dāng)直線l與x軸平行時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于 C D兩點(diǎn).如果存在定點(diǎn)Q滿足條件，則|QC|QD|PC|PD|=1,即 |QC|=|QD|.所以Q點(diǎn)在y軸上，可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,y0).當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，設(shè)直線l與橢圓相交于 M N兩點(diǎn).則 M (0,

22、冉 N (0, 72),解得 y0 = 1 或 y0 = 2.由 |QM |_|PM |V。-亞 | _ 四-1|QN | 一 |PN |y0 2 - 2 1所以，若存在不同于點(diǎn)P的定點(diǎn)Q滿足條件，則 Q點(diǎn)的坐標(biāo)只可能為 Q(0,2).下面證明：對(duì)任意的直線l ,均有QAJ = 1PAJ.QB PB當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，由上可知，結(jié)論成立.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線l的方程為y = kx+1,A、B的坐標(biāo)分別為(為，必),(“，丫2).-22x y .1聯(lián)立42，得(2k2+1)x2+4kx 2 = 0.y = kx 1其判別式 =16k2+8(2k2 + 1)>0,4k2所以，x

23、1 x2,x1x2 = - ？1 2 2k2 1 1 2 2k2 1因此 1 . 1 = x1 ;x2 =2k.x1x2x1 x2易知，點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為 B'(-x2,y2).所以紅工修,附。且存三點(diǎn)共線 U.11*故存在與？不同的定點(diǎn)2(0.2),使得與 =3-恒成立, QB PB9 .【解析】bca(I)過點(diǎn)(c,0 ), (0,b)的直線方程為 bx+cy-bc = 0,一 .一， bc則原點(diǎn)O到直線的距離d = b2 c2由 d = 1c,得 a = 2b = 2。a2 - c2 ,解得離心率-=. 2a 2(II)解法一：由(I)知，橢圓E的方程為x2+4y2=4

24、b2.(1)依題意，圓心 M (2,1 )是線段AB的中點(diǎn)，且|AB |=、10 .易知，AB不與x軸垂直，設(shè)其直線方程為y = k(x + 2)+1 ,代入(1)得22一一 22(1+4k )x +8k(2k + 1)x + 4(2k+1) -4b =08k(2k+1)4(2k+1)2- 4b設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),貝 U X+x? =-2 ?也=-711+4k1+4k,/口 8k(2k + 1)1由 x1 + % = - 4 ,得-2 = - 4,斛信 k =-.1+4k2從而 x1x2 =8 - 2b2.于是 |AB |=（1 + 1 |x1 -x2 | =當(dāng)（為 +x2

25、 2 -4x1x2 =0（b22） .由 |AB |二4而，得 10（b2- 2）=、彳0 ,解得 b2 =3.22故橢圓E的方程為+ - = 1.12 3解法二：由（I）知，橢圓E的方程為x2 +4y2 = 4b2.（2）依題意，點(diǎn)A, B關(guān)于圓心上|一2對(duì)稱,且AB =J10.設(shè)總沖力16（孫立工則xj +4城=* 均+打:二*兩式相誠并結(jié)合壬十與=7；宜+1 二 2;得T（司-a；） + 其一0.易知，AB不與k軸垂直，則上于七，所以AB的斜率二上二至二1苞一兩 因此AB直線方程為j =（+2）+1,代入得:二+4r+8-2i2 =0.所以演-七二I,- S-2h;于是AB=|金一盯1=

26、4為三=久上-2）,由 AB=Jf5,得J10®-2）=版,解得/=3, Y* L*故橢圓E的方程為三十匕二1一12 310 .【解析】(I)由題設(shè)可得 M(2ja,a), N(2U2,a),或 M(2、2, a) , N(2<a,a).y' = lx,故y =在x=2''2a處的到數(shù)值為、；a , C在（2、：2a,a）處的切線方程為 24y -a = %'a（x -2va）,即 4x - y -a = 0 .2故y=人在 x=-2。2a處的到數(shù)值為-品,C在（2，'2a, a）處的切線方程為4y a = Ga(x + 2<a),

27、即 axx + y +a = 0.故所求切線方程為 <ax -y-a =0或<ax+y+a = 0.(n)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P(0,b)為復(fù)合題意得點(diǎn)，M(,y1),N(x2,y2),直線PMPN的斜率分別為k1,k2.將y = kx + a代入C得方程整理得x2 4kx-4a = 0.X x2 =4k,x1x2 - -4a.k1k2 =y1 -b y2 -b 2kxix2 (a -b)(x1 x2) k(a b) =-x1x2x x2a當(dāng)b =此時(shí)，有k1+k2=0,則直線PM勺傾斜角與直線 PN的傾斜角互補(bǔ),故/ OPM= OPN所以P(0, -a)符合題意.11.【解析】(I)由于橢ISC1工三_1=1|口，巾0；過點(diǎn)P|Q, 1|且離心率為正, k *-、-)1 = 1, 工 - h = = = 1 i = 才=2,陶?qǐng)A C 的方程為 - y* = L 紛22v R0,1),以地蓊，直線打的方程為:y =巳匚虜+ 1,令了 = 0,，= ，二期一3 0); 的1 - Z71 J7(II) '/ A0,1),-n),直線用的方程為 y=三三工+1,直線P3與汽軸交于點(diǎn)、，令歹 =0,，= 必 ,貝II N( 酬 0).1 n1-2?t an 1 JJ匕tan 二0閡=V ZW =