南開大學(xué)2006級(jí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)模擬試題A答案

1、20XX級(jí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)模擬試題A答案一、填空題設(shè)A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件,p(A )=0.4, p(AB )=0.2, p(A|B )+ p(A| B ) = 1則 p(A + B )=.1.答案是:0.7.分析由于 P(A)=P(AB)+P( AB)=0.4,P(AB)=0.2，因此 P(AB )=0.2,可見，P(B)與P(B)均大于零，對(duì)于B，有P(A B)+P(A| B)=1.于是 P(A B)=P(A B).因此A與B相互獨(dú)立.P(B)=P(AB)-=0.5, P(A)P(A+B尸P(A)+P(B)-P(AB)=0.7.注:能夠考慮到條件概率的性質(zhì)P(A B)+P(A B)=1 (P

2、(B)>0),從而結(jié)合題設(shè)條件P(A B) +P(A| B)=1,導(dǎo)出等式P(A B)= P(A B).這是解題的首要一步，能從式中導(dǎo)出P(AB)=P(A)P(B),即A與B獨(dú)立需要用到 條件概率的概念.無論是式,還是式的成立應(yīng)首先考慮它們對(duì)于事件 A,B關(guān)系 的影響，即式或式的成立都可證明A與B是相互獨(dú)立的.2 .每天某種商品的銷售量(件)服從參數(shù)為九的泊松分布，隨機(jī)選取4天，其中恰 有一天的銷售量為5件的概率是。分析：本題涉及兩個(gè)離散型隨機(jī)變量的常見分布：二項(xiàng)分布和泊松分布。553解：c4 (7re-5) (1-e) 05!5!5設(shè)X為某商品每天的銷售量，則 Xn (九),于是p=P

3、(X=5)=5!九 1設(shè)Y為銷售量為5件的天數(shù)，則YB(4,p), 從而得所求的概率P(Y=1)= p4(i)=c4 p1(1- p)4"553=C4%不)(1-、e力f-112 、H X, M©2 0.2 0.6,515!3 .設(shè)相互獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量 X , Y具有相同的分布,Z=max(X2, Y2)。分析：本題參考兩個(gè)離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的極值分布，一般的方法是先求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布，再求函數(shù)的極值的分布?！? 14、解：。016 0.84 y方法1:由X , Y獨(dú)立同服從分布律-10.212、0.2 0.6 ,可推出x 2 ， Y2也獨(dú)立且114、C C同服從分

4、布律，于是得(X 2, Y2)的聯(lián)合分布律為<0.4 0.6JX YY2 X21410.160.2440.240.36.c n ( 14由此得 Z=max( v 2 , v2 )X Y ©16 0.84方法2: X的可能取值為-1,1, 2,則X2的可能取值為1,4。由于X, Y獨(dú)立同分布，故x2，Y2也獨(dú)立同分布，分布律為14©4 0.6,從而Z=max(x2 , Y2)的可能取值為1，4,且 P(Z=1)=P(X2 =1,丫2 =1)=P(X2 =1) P(Y2 =1)=0.4 0.4=0.16,P(Z=4)=P( X 2 =4,Y2 =1)+ P(X2 =1,Y

5、2 =4)=P（X2 =4）p（Y2 =1）+ P（X2 =1） P（Y2 =4）+ P（X2 =4）P（Y2 =4） =0.6 0.4+0.4 0.6+0.6 0.6=0.84。4.已知隨機(jī)變量Xi與X2相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為'0,x<000,x<0L11+XF 1 x ）二三4,0 三 x 1, F2 x = ,0 < x < 1,1,x ,11,x 1則X1 +X2分布函數(shù)F3（x） =.0,x <01 +x,0 <x<14.答案是：F3(x) =82 +3x y °,1 <x <281,x 之 2 .1分析 由

6、于F1(x)是階梯函數(shù)，故X星離散型隨機(jī)變量，其分布列為PX1=0=,4PX1=1 = 3,又X1與X2相互獨(dú)立，所以X1+X2的分布函數(shù)為 4F3（x） =P：X1 X2 Mx） = P：X1 X2 < x, X1 =0" P 乂 X2 Ex,X1 =1）"PM =0）PX2 _x“ P，：X1 =11P：X2 _x-1）1 _3,F2（ x）F2（x -1）440,x <01 +xx,0 <x <182+3x/,1 <x <281,x >2注：本題要求考生務(wù)必知道，對(duì)于離散型隨機(jī)變量而言，其分布列與階梯型分布函數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換.

7、為了計(jì)算F3(x) =PX1 +X2 Mx,我們應(yīng)用全概公式.由于題目給出的是相互獨(dú)立隨機(jī)變量的分布函數(shù)，而不是各自的概率密度，因而不能用求“和分布”的卷積公式,而只能應(yīng)用分布函數(shù)法， 直接計(jì)算概率.又F2(x)=PX2 Wx是分段函數(shù)，因而在計(jì)算概率 時(shí)務(wù)必對(duì)x的取值范圍加以討論.一般先將F2(x)的取值范圍在數(shù)軸上標(biāo)明，然后再讓變量從 -空變到+8,分情況討論結(jié)果.5.設(shè)二維隨機(jī)變量（X, Y） N （1,4; 1, 4; 1）, Z = X Y,則 Cov （X, Z）分析 本題主要涉及協(xié)方差的性質(zhì)以及協(xié)方差與方差=、相關(guān)系數(shù)三者之間的關(guān)系一 ，1 一I解 由(X ,Y ) gN(1,4

8、;1,4;)可得 2cov(X,Y) = D-X- D-Y-；y = ,4 4 4 2=2,cov(X,Z) =cov(X,X-Y) =cov(X,X) - = D X -cov(X,Y) =4-2=26.設(shè)隨機(jī)變量0 10 1Xg 3，Yg1 14 4 一 N 2 一且協(xié)方差cov(X,Y)=1,則X與Y的聯(lián)合分布為_.一 1故 EXY = - 2由于XY僅取山1兩個(gè)值，所以EXY = 1 pXY=1=pX=1,Y=1，再根據(jù) 2聯(lián)合分布與邊緣分布關(guān)系即可求出X與Y的聯(lián)合分布。注：本題主要考察聯(lián)合分布于邊緣分布的關(guān)系。我們知道，由聯(lián)合分布可以求出 邊緣分布，反之不然。但是在給出邊緣分布的條件

9、下，如果再附加些條件，如相 互獨(dú)立、相互系數(shù)值，或者某些概率值，則可求出聯(lián)合分布。7.設(shè)k個(gè)正態(tài)總體N(Ni,Q2)(i =1,k)相互獨(dú)立，從第i個(gè)總體中抽取容量為ni的樣本Xm, X i 2,Xm ,并且各樣本之間相互獨(dú)立，設(shè)一 1 n inXi % Xij(i =1,k),n c ni,ni j 1i 1k ni一則0=；，匕(Xj -Xi)2/。2的分布 i £ j T分析因?yàn)閃是隨機(jī)變量的平方和，是72分布的模式，利用72分布的性質(zhì)來討論解因?yàn)? ni_Vi22% (Xj -Xi)2 一一，2(ni 1), i =1,，k.二 j=4且V12, V22,Vk2相互獨(dú)立，由？

10、2分布的性質(zhì)知k ni 22W -、(Xj -Xi)2/-2i j 4kk-2 .=' Vi - -(-. (ni -1)i 1i 4=2(n - k).即W服從參數(shù)為nk的分布.二、選擇題1設(shè)A,B,C為隨機(jī)事件，若P(C)>0,且P(AU B|C尸P(A|C)+P(B|C),則下列結(jié)論正確的是()(A)P(A U B C 尸P(A |C )+P(B |C)( B)P(A U B尸P(A|C)+P( B|C)(C)P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)( D)P(C(A U B)+P(AC)+P(BC)分析 本題考查條件概率的定義和性質(zhì)的理解.若令事件A=B,則題

11、中條件與結(jié)論 都可以簡(jiǎn)化，便于選擇.解選D由題設(shè)可有 P(AU B C)=P(A C)+ P( B C)- P(AB C)=P(A C)+ P( B C)nP(AB C)=P(ABC)P(C)二 P(ABC)=0從而P(C(A U B)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=P(AC)+P(BC)所以選Do2. 一正立方體容器盛有3/4的液體，假設(shè)在其四個(gè)側(cè)面和底面隨機(jī)部位出現(xiàn)了一個(gè)小孔，液體經(jīng)此小孔流出，最后剩余液體液面的高度X是一隨機(jī)變量，則其分布函數(shù)Rx)()A是連續(xù)型的B至少有兩個(gè)間斷點(diǎn) C是離散型的 D恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)分析 應(yīng)該選(B)?？紤]事件X=0和X = 3/4,其中事件X=0

12、表示小 孔出現(xiàn)在底面，而X=3/4表示小孔出現(xiàn)在容器上部 1/4的側(cè)面上，因此130,25 4PX=0= _,PX ._=_從而隨機(jī)變量X的分布函數(shù)至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)，于是,B)是正確選項(xiàng)。此外，易見X既不是離散型的也不是連續(xù)型隨機(jī)變量，因?yàn)椴坏獸(x)有間斷點(diǎn)，且在區(qū)間(0,0.75)上的任意數(shù)都是 X的可能值，于是其余三個(gè)選項(xiàng)都不正確。說明：(1)不難寫出隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)F(x),不妨假設(shè)正立方體容器 的邊長為1。引進(jìn)事件： A=X=0,即事件A表示“小孔出現(xiàn)在容器的下底 面”。由于小孔出現(xiàn)在正立方體的6個(gè)側(cè)面是等可能的，易見RA)=1/5。從而,1 PX=0=P(A尸 5 對(duì)于任意x

13、<0,顯然F(x)=0;而F(0)=1/5,由于小孔出現(xiàn)的部位是隨機(jī)性的，可見 對(duì)于任意x w (0,0.75),有1 4x 1 4x F(x) =PX < 0+P0<X <x= 一二555該式中，4x表示容器的四個(gè)側(cè)面 x以下的總面積，而容器 4個(gè)側(cè)面和1個(gè)底面的總 面積等于5。對(duì)于任意x之0.75，顯然Rx)=1。于是，最后得0,x<0一、1+4x -F(x)=, 0 Mx ； 0.7551, x -0.75 由此可見x=0,x=0,75是F(x)的兩個(gè)間斷點(diǎn)。(2)該題是由1997年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試“數(shù)學(xué)四”的一道計(jì)題改編的，原題是 “假設(shè)隨機(jī)變量

14、X的絕對(duì)值不大于1, PX=-1=1 /8,PX=1 = 1/4;在-1<X<1條件下，X在任意區(qū)間(a, b)=(-1,。取值的I率與b-a成正 比。試求：X的分布函數(shù)F(x)=PX Wx;X取負(fù)值的概率”。3,設(shè)隨機(jī)變量X和Y在圓x2 +y2 E1上均勻分布，則()AX在區(qū)間-1,1止均勻分布B.X和Y不相關(guān)C.Y在區(qū)間-1,1比均勻分布D.X和Y相互獨(dú)立答案：選B4.假設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間-1,1上均勻分布，則U = arcsin X和V = arccosX的相關(guān)系數(shù)等于A-1B.0C.0.5D.1分析應(yīng)該選(A)。由于U = arcsin X和V = arccosX有明顯的線

15、性關(guān)系：.、，冗、，arcsin X = 一 arccosX, 2可見U = arcsinX和V = arccosX相關(guān)系數(shù)P的絕對(duì)值等于1.因?yàn)閍rcsinX和arccosX增減變化趨勢(shì)恰好相反，所以立即可以斷定P = -1。說明解該題應(yīng)靠直觀判斷選出正確選項(xiàng)，而要盡量回避計(jì)算。當(dāng)然，通過直接計(jì)算U =arcsinX和V = arccosX的相關(guān)系數(shù)可以得同樣 結(jié)果。事實(shí)上，cov(U ,V) = cov(arcsin X,arccosX) = cov(- - arccosX,arccosX)=-cov(arccosX, arccosX) = -D arccosXnD arcsinX = D

16、(- - arccosX) = D arccosX” _ cov(U ,V) _ - D arccosX _1DUDV D arccosX5.設(shè)Xi,X2，Xn(n之2 )是來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體N (0, 1)的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，又是樣本均值，S2是樣本方差，則()A. nX服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N (0, 1)B. nS2服從自由度為n的x2分布C,此士工服從自由度為n-1的t分布SD.伙12服從自由度為(1, n-1)的F分布'、X12 i=2分析 應(yīng)該選(D)。該題宜用直選法，因?yàn)檫x項(xiàng)(D)顯然成立，亦可用排除法， 但是后者運(yùn)算量較大。(1)直選法 由服從F分布的隨機(jī)變量的典型模式知，隨機(jī)變量

17、 F服從自由度為(f1, fz)的F分布，如果它可以表示為FXi2/fiX2 f2自幅度分別為fl和f2。由于其中隨機(jī)變量Xi2和X2相互獨(dú)立，都服從X2分布,X1,X2，Xn獨(dú)立同服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，故服從x2分布隨機(jī)變量的典型模式知,隨機(jī)變量nX12 =X2和 X2=Z X12 i 2都服從x2分布，自由度分別為fi=1和f2=n-1,并且相互獨(dú)立。因此22n -1 X12 X2 / f1 =Fn、，2V X12X2/f2i =2服從自由度為(1, n-1)的F分布。于是，(D)是正確選項(xiàng)。（2）排除法 對(duì)于選項(xiàng)（A）,易見X N（0,n）nX N（0,n）,因此選項(xiàng)（A）錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)（B

18、）中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的樣本方差 S2,熟知n -1 S2n-1 S22(J服從自由度為n-1的X2分布，因而選項(xiàng)（B）錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)（C）,由服從t分 布的隨機(jī)變量的典型模式短，隨機(jī)變量X-EX nXS/ . n - S服從自由度為n-1的t分布，從而選項(xiàng)（C）錯(cuò)誤。于是，只有（D）是正確選項(xiàng)。【例714】6.設(shè)總體XN （N產(chǎn)2）,其中數(shù)學(xué)期望>0;已知X1,X2，,Xn 是來自X的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，雙樣本均值，統(tǒng)計(jì)量是總體標(biāo)準(zhǔn)差。的無偏估計(jì)量，則k=（）A.B. 2n(n-1) c.D.n(n 1)ji分析 應(yīng)該選（B）。這是一道計(jì)算性單項(xiàng)選擇題。為確定正確答案，只需計(jì)算統(tǒng)計(jì)量D的數(shù)學(xué)期望。

19、設(shè) Yi = Xi X(i =1,2，,n)則1 n1 n不 j11XjYi =Xi 不Xj n j 1n_jn -11FXi Xnn j4EYi = E(Xi-X)=EXEX 一-02二 y =DYi =D(X=X)2(n-1)一2n2(n-1)一2n1 iJDXi 21DXn j2 n -12 n -1二 '-2-1二二1-2n2；DXj =1 12由此可見Yi(i =1,2,n)服從正太分布N (0,仃y),其中2 n -12二 y =2 二n此外,有2_ I 1產(chǎn)|_丫一E XXI = E Yi =72Uye26dyy.2二二22二 -y-22 0 y 二-y_20 ye 2V

20、dy = 2G * e "；d±J2二 y2_ 2二 y _y 2 二 _ 萬 _ 2(n -1)._2 二 e 2' y 0 "二 一 y n 二因此，如果k =2n(n-1)ji則統(tǒng)計(jì)量D是總體標(biāo)準(zhǔn)差。的無偏估計(jì)量.于是,(B)是正確選項(xiàng).7.關(guān)于泊松隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)流的強(qiáng)度（每分鐘出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)的期望數(shù)）上有兩個(gè)必居其一的假設(shè)，H0 :九= 0.5和H1:人=1；以皿10）表示10分鐘出現(xiàn)的隨機(jī)質(zhì)點(diǎn)數(shù)。設(shè)檢驗(yàn)規(guī)則為：當(dāng) 以10廣7時(shí)否定H0接受H1。以 支和陰別表示檢驗(yàn)的第一類錯(cuò)誤概率和第二類錯(cuò)誤概率，則（a J 0.5k 型A.二二” e k 8 k!C.

21、；Ek 0 k!二二 5kB. ： =ek z8 k!8 10k0 D.-ek z0 k!ck5_0.5e ；k!k0-eQO=P口(10 廣 7 人= 0.5=工分析：應(yīng)該選（B > u（10膽從參數(shù)為10，一的泊松分布，則k =87 101:=P： 10 <1，=1,，八 k. k!由此可見，（B限正確選項(xiàng)，（C濁口（D以及（A ）都是錯(cuò)誤選項(xiàng)。二、計(jì)算題1、在某通信渠道中傳送的字符為 AAAA , BBBB, CCCC三者之一。假定傳送 這三組字符的概率分別為0.3, 0.4, 0.3.由于通道噪聲的干擾，每個(gè)字母被正確接 收的概率為0.8,而被錯(cuò)接收為其他兩個(gè)字母的概率均為

22、0.1。假定前后字母是否被歪曲互不影響。若接收到的字母為 ABCD,求被傳送的字符為BBBB的概率, 分析本題考查全概率公式和貝葉斯公式的應(yīng)用，前一公式用于求復(fù)雜事件的概率，后一公式用于求條件概率.解 設(shè)事件A為接收到字母ABBC ,事件Bi （i = 1,2,3）分別為傳送字符 AAAABBBB,CCCC,于是BUb2Ub3 =G,且P Bi ）：=0.3,P A Bi ） = 0.8 0.13;P B2 =0.4,P A B2 = 0.82 0.12;P B3 =0.3,P A B3 =0.8 0.13;由全概率公式可得3P A =" P Bi P A Bi =0.00304;

23、i3由貝葉斯公式可得所求條件概率P A B2 =P(B2 )P(A|B2)_256_16 P A 304 19點(diǎn)評(píng)本題雖然得分率較高，但還會(huì)出現(xiàn)一些不應(yīng)有的錯(cuò)誤。例如，誤認(rèn)為傳送1每種字符時(shí)等概率的：P(Bi )=3(i=1,2,3)。這是由于讀題不仔細(xì)造成的失誤。又如，、2，、，、,P(A B1 )=0.8 (0.1+0.1 +0.1) , P(A B2 )=0.8 (0.1+0.1) , P(AB3 )=0.8 (0.1 +0.1+0.1),錯(cuò)誤接收字母的概率為何還要相加？若每個(gè)字母正確接收和錯(cuò)誤接收的概率都是0.5,按上述方法計(jì)算將出現(xiàn)概率大于1的嚴(yán)重錯(cuò)誤：P A B1 =0.5 0.5

24、 0.5 0.5 0.5 0.5 =1.25這里假設(shè)字符有6個(gè)字母組成，僅一個(gè)被正確接收。Ae2.設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)p(x,y)= 0,“2x3y),x 0,y 0其他試求(1常數(shù)A;(2) X的邊緣密度；(4)條件密度 p(xy); (5)pX <2Y<1.p x y ： 230.解(1閃為,十二+，、2x 1 3yA1二-p(x，y) dxdy = A0 e dx0 e dy = -,1-AJ l-AJuuA所以A = 6(2)px(x)= j-p(x, y)dy- 0 6e 02x 3y)dy =6e'xe'ydy = 2/x(x 0)P，：X Y ：

25、二2)=6 :廠e,2x3y)dx=6e'y2_xo0 e ydy2 -2x 13x _64 - _6=6 e -(1 -e )dx=1-3e 2e03(4)因?yàn)閜y(y) = ；6e<2x3y)dx=6e'y 030一 e'xdx =3e4y(y 0),所以當(dāng)y-0時(shí),p(x y)=p(x, y)py(y)(2x 3y)6e3e"y ?,0,x<02e-x 00,x < 0(5)因?yàn)閜x<2y>1 = px；2,y，而 ply 121。 o、2.1。.opx<2,y<1=1 (6e'y)dydx = 6 e-

26、xdxfoe-ydy = (1-e-)(1-e-)1px <2 y <1= 3e2ydy1 -e，所以p x<2 y<1 ：，=(1-e&)(1 -e，)1 -e,43.設(shè)隨即變量（X, Y 1勺聯(lián)合密度函數(shù)； x y 2,x <2, y <2, f x, y = 20其他.求：Z = X-Y的分布密度函數(shù)。分析 本題考查兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量之和的分布密度的計(jì)算，一般有兩種方法求解：分布函數(shù)法和公式法。解方法1分布函數(shù)法。Fz =PZMz =PX YMz = f x, y dxdy,X Y <z當(dāng)z<2時(shí)F(z)=0;當(dāng)z "時(shí)F

27、(z ) = 1；當(dāng)2 Wz<4時(shí)，由左圖可得z 22 12 z-x 10"ZESz-2dx.2-x2dy21 z21 2zxdx (z-2)dx = 2z - - 3.2 02 z-24'0(z<2),2即有 F(z)=42z-二-3 (2<z<4)41 z-4 ,z-22P 93故Z的分布密度函數(shù)c 1f（z）=F'2-z（2 z：4）0（其他）方法2公式法.f (z)= Jf (x,z -x)dx.x z - x 2,考慮被積函數(shù)取非零值的區(qū)域 x M2, 解得0<z-2 <x<2,z - x < 2,Z軸上的分界

28、點(diǎn)為2和4.當(dāng)zW2或z"時(shí)，不等式組無解，f(z)=0,當(dāng) 2 <z <4時(shí)，f （z）=2 1_ 1dx = 2 乙x22所以Z=X+Y的分布密度函數(shù)f（z） =F2 -1z （2 :z：4）0（其他）點(diǎn)評(píng)顯見方法2優(yōu)于方法1.本題得分率不高，尤其是用方法1求解時(shí)錯(cuò)誤百出 主要是不會(huì)劃定正確的積分范圍以及分限定錯(cuò).4.設(shè)隨機(jī)變量 X服從指數(shù)分布，EX=5 ,求隨機(jī)變量 Y=minX , 2的分布函數(shù)。【思路點(diǎn)撥】由XE (九)，EX=知九=1 , Y=minX,2不單調(diào)，因此用分布5函數(shù)定義來計(jì)算即可解 當(dāng)X<2時(shí) Y =X <2 當(dāng)X之2時(shí) Y=2由于、

29、，L/、L、，11X E( . ), EX = = 5, =5x5PX ；x = 1 -e ， x 00,x < 0因此，隨機(jī)變量Y的取值一定大于0且不大于2,即Pl。二 Y 三21= 1從而當(dāng)yM0時(shí)FY(y) =PY y =PX ： y =0當(dāng)y>2時(shí)FY(y) =PY : y =PY M2 =1當(dāng)0 < y E 2時(shí)yFY(y) =PY y =PX 二 y =1 -故Y的分布函數(shù)為0, 廠0yFY(y )=1 -e, 0< y <21, y >25.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域(x, y，0 <x <2,0 <y <口服從均勻分布

30、。令0( X 二 Y) 0(X ；2Y) U,V =1(X -Y) 1(X -2Y).求：(1)(U ,V)的聯(lián)合分布律；(2)U ,V的相關(guān)系數(shù)PUV。分析：本題是關(guān)于離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的綜合題。題設(shè)離散型隨隨機(jī)變量U, V是連續(xù)型隨機(jī)變量 X, Y勺函數(shù)，求(U, V)的聯(lián)合分布律時(shí)，需將有關(guān)U, V的事件等價(jià)地轉(zhuǎn)化為X, Y的事件，從而求出U, V的聯(lián)合概率。解：（為由題設(shè)可知（X, Y）的聯(lián)合密度函數(shù)1f(x, y) = 20二維隨機(jī)因變量（U , V）可能取（0,0）,（1,0）, （1,1）四對(duì)值,取這些值的概率分別是P(UP(UP(U=0,V =0) =P(X 二 Y

31、,X ：2Y)=P(X 二 Y)11 11= f (x, y)dxdy = 0dx x-dy =-,x ：y24-0,V -1) -P(X :二Y, X _2Y) =P(._ ) =0,= 1,V =0) =P(X _Y, X ： 2Y) = P(Y _X ：2Y)1 2y 11f (x, y)dxdy =：0dy x -dx =-, y ：x：2y24P(U=1,V =1) =P(X _Y,X _2Y) =P(X _2Y)= f(x, y)dxdy x 2y2 x=0 dx 02所以(U,V)'(0,0)1< 4(0,1)(1,0)14(1,1)12 )由題（1）求得的聯(lián)合分布律易得如下分布律:UV（0 :二 x ： 2,0 ： y ：1）, （其他）。則有 E(U)=3, E (V ) - 31cov( U ,V ) = E (