“多次相遇問題”解題技巧

1、“多次相遇問題”解題技巧“多次相遇”問題有直線型和環(huán)型兩種模型。相對來講，直線型更加復(fù)雜。環(huán)型只是單純的周期問題。一、直線型直線型多次相遇問題宏觀上分“兩岸型”和“單岸型”兩種?！皟砂缎汀笔侵讣?、乙兩人從路的兩端同時出發(fā)相向而行； “單岸型”是指甲、乙兩人從路的一端同時出發(fā)同向而行。（一）兩岸型兩岸型甲、乙兩人相遇分兩種情況，可以是迎面碰頭相遇，也可以是背面追及相遇。題意如果沒有明確說明是哪種相遇，對兩種情況均應(yīng)做出思考。1、迎面碰頭相遇：如下圖，甲、乙兩人從 A、B 兩地同時相向而行，第一次迎面相遇在 a 處，（為清楚表示兩人走的路程， 將兩人的路線分開畫出） 則共走了 1 個全程，到達對岸

2、 b 后兩人轉(zhuǎn)向第二次迎面相遇在 c 處，共走了 3 個全程，則從第一次相遇到第二次相遇走過的路程是第一次相遇的 2 倍。之后的每次相遇都多走了 2 個全程。所以第三次相遇共走了 5 個全程，依次類推得出：第 n 次相遇兩人走的路程和為（ 2n-1 ）S，S 為全程。而第二次相遇多走的路程是第一次相遇的用這個 2 倍關(guān)系解題。即對于甲和乙而言從2 倍，分開看每個人都是 2 倍關(guān)系，經(jīng)?？梢?a 到 c 走過的路程是從起點到 a 的 2 倍。相遇次數(shù)全程個數(shù)再走全程數(shù)111232352472n2n-122、背面追及相遇與迎面相遇類似，背面相遇同樣是甲、乙兩人從A、 B 兩地同時出發(fā)，如下圖，此時

3、可假設(shè)全程為 4 份，甲 1 分鐘走 1 份，乙 1 分鐘走 5 份。則第一次背面追及相遇在a 處，再經(jīng)過 1 分鐘，兩人在 b 處迎面相遇，到第 3 分鐘，甲走 3 份，乙走 15 份，兩人在 c 處相遇。我們可以觀察， 第一次背面相遇時， 兩人的路程差是 1 個全程，第二次背面相遇時， 兩人的路程差為 3 個全程。同樣第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2 倍，單看每個人多走的路程也是第一次的2 倍。依次類推，得： 第 n 次背面追及相遇兩人的路程差為（2n-1 ） S。（二）單岸型單岸型是兩人同時從一端出發(fā)，與兩岸型相似，單岸型也有迎面碰頭相遇和背面追及相遇兩種情況。1、迎面碰頭相遇：如下

4、圖，假設(shè)甲、乙兩人同時從 A 端出發(fā)，假設(shè)全程為 3 份，甲每分鐘走 2 份，乙每分鐘走 4 份，則甲乙第一次迎面相遇在 a 處，此時甲走了 2 份，乙走了 4 份，再過 1 分鐘，甲共走了 4 份，乙共走了 8 份，在 b 處迎面相遇， 則第二次相遇多走的跟第一次相遇相同， 依次類推，可得出： 當?shù)?n 次碰頭相遇時，兩人的路程和為 2ns。2、背面追及相遇與迎面相遇相似，假設(shè)全程為 3 份，甲每分鐘走 1 份，乙每分鐘走 7 份，則第一次背面相遇在 a 處， 2 分鐘后甲走了 2 份，乙走了 14 份，兩人在 b 處相遇。第一次相遇，兩人走的路程差為 2S，第二次相遇兩人走的路程差為 4S

5、，依次類推，可以得出： 當?shù)?n 次追及相遇時，兩人的路程差為 2ns?！爸本€型”總結(jié)（熟記）兩岸型：第 n 次迎面碰頭相遇，兩人的路程和是（2n-1 ） S。第 n 次背面追及相遇，兩人的路程差是（2n-1 ） S。單岸型：第 n 次迎面碰頭相遇，兩人的路程和為 2ns 。第 n 次背面追及相遇，兩人的路程差為 2ns 。下面列出幾種今后可能會考到的直線型多次相遇問題常見的模型： 模型一 ：根據(jù) 2 倍關(guān)系求 AB兩地的距離?！纠?1】甲、乙兩人在 A、B 兩地間往返散步，甲從A，乙從 B 同時出發(fā)，第一次相遇點距B60 米，當乙從 A 處返回時走了 10 米第二次與甲相遇。 A、B 相距多

6、少米？A、150B、170C、180D、200【答案及解析】 B。如下圖，第一次相遇在 a 處，第二次相遇在 b 處， aB 的距離為 60，Ab的距離為 10。以乙為研究對象，根據(jù) 2 倍關(guān)系，乙從 a 到 A，再到 b 共走了第一次相遇的 2 倍，即為 602=120 米，Ab 為 10，則 Aa 的距離為 120-10=110 米，則 AB距離為 110+60=170 米。 模型二 ：告訴兩人的速度和給定時間，求相遇次數(shù)。【例 2】甲、乙兩人在長30 米的泳池內(nèi)游泳，甲每分鐘游37.5 米，乙每分鐘游 52.5 米。兩人同時分別從泳池的兩端出發(fā)，觸壁后原路返回，如是往返。如果不計轉(zhuǎn)向的時

7、間，則從出發(fā)開始計算的1 分 50 秒內(nèi)兩人共相遇多少次？A、2B、3C、4D、5【答案及解析】 B。題目沒說是迎面還是背面， 所以兩種相遇的次數(shù)都應(yīng)該計算。分開討論，如是是迎面相遇，則走的全程的個數(shù)為個，根據(jù)迎面相遇n 次，走的全程為2n-1=5，求得 n=3；如果是背面相遇，則走的全程數(shù)為，故在 1 分 50 秒內(nèi)，不能背面相遇。所以共相遇3 次。 模型三 ：告訴兩人的速度和任意兩次迎面相遇的距離，求AB兩地的距離?！纠?3】甲、乙兩車分別從A、B 兩地同時出發(fā)，在A、 B 間不斷往返行駛。甲車每小時行20 千米，乙車每小時行 50 千米，已知兩車第 10 次與第 18 次迎面相遇的地點相

8、距60 千米，則 A、B 相距多少千米？A、95B、100C、105D、110【答案及解析】 C。走相同時間內(nèi)，甲乙走的路程比為20 ：50=2 ：5 。將全程看成 7 份，則第一次相遇走1 個全程時，甲走 2 份，乙走 5 份。以甲為研究對象（也可以以乙），第10 次迎面相遇走的全程數(shù)為2 10-1=19個，甲走 1 個全程走 2 份，則走 19 個全程可走19 2=38 份。7 份是一個全程，則 38 份共有 38 7=5 3 份（當商是偶數(shù)時從甲的一端數(shù)，0 也是偶數(shù)；當商是奇數(shù)時從乙的一端數(shù)，比如第1 個全程在乙的一端，第2 個全程在甲的一端）從乙端數(shù)3 份。同理當?shù)?18 次相遇，甲

9、走的份數(shù)為（ 2 18-1 ）2=70 份。共有70 7=10 個全程， 10 為偶數(shù)在甲的端點。如下圖：則第 10 次相遇與第 18 次相遇共有 4 份為 60 千米，所以 AB 長為千米。點評：對于給定任意兩次的距離，主要是根據(jù)速度轉(zhuǎn)化為全程的份數(shù)，找一個為研究對象，看在相遇次數(shù)內(nèi)走的全程數(shù)， 從而轉(zhuǎn)化為份數(shù)， 然后根據(jù)一個全程的份數(shù)， 將研究對象走的總份數(shù)去掉全程的個數(shù)看剩余的份數(shù)，注意由全程的個數(shù)決定剩余的份數(shù)從哪一端數(shù)?！纠?4】甲、乙兩車分別從A、B 兩地同時出發(fā)，在A、 B 間不斷往返行駛。甲車每小時行45 千米，乙車每小時行36 千米，已知兩車第2 次與第 3 次迎面相遇的地點

10、相距40 千米，則 A、B 相距多少千米？A、90B、180C、270D、110【答案及解析】 A。法一： 同上題。相同時間，甲、乙路程比為45 ：36=5 ：4，則將全程分成 9 份。則一個全程時甲走5 份，乙走 4 份。以甲為研究對象，第2 次相遇，走的全程數(shù)為 2 2-1=3個，則甲走的份數(shù)為3 5=15 份，一個全程為9 份，則第 2 次相遇甲走的份數(shù)轉(zhuǎn)化為全程的個數(shù)為15 9=1 6 份，則從乙端數(shù)6 份。第 3 次相遇走的份數(shù)為（ 2 3-1 ）5=25 份，轉(zhuǎn)化為全程的個數(shù)為25 9=2 7，則從甲端數(shù) 7 份。如下圖：由圖第 2 次和第 3 次相遇之間共有4 份為 40 千米，

11、則 AB 相距=90 千米。法二：在此引入“沙漏模型”。利用沙漏模型解題的前提是題干中已知兩人的速度。將速度轉(zhuǎn)化為相同路程的條件下兩人的時間比，則以時間為刻度，畫出兩人到達對岸的路線圖，兩人走的路線圖相交的點即為兩人相遇的地點。s-t 圖中的路線因像古代記時間的沙漏故稱為“沙漏模型”。本題中，甲、乙走到端點用的時間比為36 ：45=4 ： 5。如下圖：根據(jù)路線圖看出甲乙第2 次相遇和第 3 次相遇的交點 E 和 O，根據(jù)三角形相似，可得CE:EG=3:6=1:2 ，則求得第 2 次相遇距 A 地的比例為 S/3 ，同理 DO:ON=7 ：2，則第 3 次相遇距 A 地的比例為 7S/9 ，則兩

12、次相遇比例為為 40 千米，則 S=90 千米。點評：考生如果能掌握“沙漏”模型，則會直觀快速的提高解題速度。用交點判斷是迎面相遇還是背面相遇的技巧： 看相交的兩條線是由同一岸引出還是兩岸，同一岸則說明是背面相遇，不同岸則說明是迎面相遇。用時注意：一般題干涉及到的相遇次數(shù)較少時可畫，相遇次數(shù)太多，則會花費大量時間，不利于提高速度；畫時的單位刻度要看時間比，如果時間比中的數(shù)據(jù)較大可把刻度畫大。 模型四 ：告訴兩人的速度，相遇次數(shù)較少時，利用s-t 圖形成“沙漏”模型速解?！纠?5】A、B 兩地相距 950 米。甲、乙兩人同時由 A 地出發(fā)往返鍛煉半小時。甲步行，每分鐘走 40 米；乙跑步，每分鐘

13、行150 米。則甲、乙二人第幾次迎面相遇時距B 地最近。A、1B、2C、3D、4【答案及解析】 B。利用“沙漏模型”。甲乙走到端點用的時間比為150 ： 40=15 ：4，半小時兩人共走的全程數(shù)為個。對于單岸型，相遇6 個全程，則是迎面第三次相遇（由前邊公式推出）畫出s-t 圖：觀察上圖可知，可第3 次迎面相遇的過程中，甲乙有一次背面相遇（交點由同一點引出）。而在三次迎面相遇中第2 次相遇離 B 地最近，并且可根據(jù)三角形相似求出離B 地的距離。【例 6】河道賽道長 120 米，水流速度為2 米/ 秒，甲船靜水速度為6 米/ 秒，乙船靜水速度為 4 米 / 秒。比賽進行兩次往返，甲、乙同時從起點

14、出發(fā)，先順水航行，問多少秒后甲、乙船第二次迎面相遇？A、48B、50C、52D、54【答案及解析】 C。由題知，得出如下關(guān)系：順流逆流甲8（15）4（30）乙6（20）2（60）注：（ ）中為走完全程的時間。假設(shè) A 到 B 是順流，由上表可知甲、乙兩人第2 次迎面相遇共有 4 個全程。由于甲的速度快，則第 2 次相遇前甲已走了2 個全程。共 15+30=45秒。當?shù)?45 秒時乙走了一個順流全程 20 秒和 25 秒的逆流， 走的路程為 25 2=50 米，則在剩余的 70 米內(nèi)，甲乙分別以順流和逆流相遇時間為t，則有 70= （8+2 ）t ，求得 t=7 秒，則共用時間45+7=52秒。

15、本題同樣可用 “沙漏模型” 解決。根據(jù)上表中的速度關(guān)系， 可得出一個全程時的時間關(guān)系如下：順流逆流甲36乙412根據(jù)時間的關(guān)系，得出s-t 圖像，如下：觀察上圖，可看出第二次迎面相遇在P 點，以甲為研究對象計算時間，此時甲走了一個順流，一個逆流，另外EP 段為順流，根據(jù)三角形相似可求出走EP 用的時間EP:PN=EF:MN=7:8，由上表，求出走EP 用的時間為，則甲共走的時間為15+30+7=52。二、環(huán)型環(huán)型主要分兩種情況，一種是甲、乙兩人同地同時反向迎面相遇（不可能背面相遇），一種是甲、乙兩人同地同時同向背面追及相遇（不可能迎面相遇）。分開討論如下：（一）甲、乙兩人從A 地同時反向出發(fā)：

16、如下圖，一個周長分成 4 份，假設(shè)甲是順時針每分鐘走 1 份到 B，乙是逆時針每分鐘走 3 份到 B，則第一次相遇兩人走了 1 個周長，則再過 1 分仲，甲再走 1 份到 C，同樣乙走 3 份也到 C，則第二次相遇共走了 2 個周長，依次類推，可得出：第 n 次迎面相遇共走了 n 圈。（二）甲、乙兩人從A 地同時同向出發(fā)：如下圖，全程分成 4 份。假設(shè)甲、乙兩人都是順時針同時出發(fā)，甲每分鐘走 1 份，乙每分鐘走 5 份，則 1 分鐘后兩人在 B 處第一次背面追及相遇， 兩人走的路程差為 1 個周長。再過 1 分鐘后，甲到 C 處，乙也到 C 處，兩人第二次背面追及相遇， 多走的路程差同樣為一個

17、周長，依次類推，可以得出： 第 n 次背面追及相遇，路程差為 n 圈。環(huán)型多次相遇問題相對比較簡單， 當甲、乙不在同一地點出發(fā)時相對具有難度。 比如在直徑兩端出發(fā)?？忌赏ㄟ^下面的例題把握?！纠?1】老張和老王兩個人在周長為400 米的圓形池塘邊散步。老張每分鐘走9 米，老王每分鐘走 16 米?，F(xiàn)在兩個人從同一點反方向行走，那么出發(fā)后多少分鐘他們第三次相遇？A、33B 、45C、48D、56【答案及解析】 C。第一次迎面相遇時間為400 （9+16 ） =16 ，則第三次迎面相遇時間為16 3=48 ?！纠?2】小明、小亮從 400 米環(huán)形跑道的同一點出發(fā)，背向而行。當他們第一次相遇時，小明轉(zhuǎn)

18、身往回跑；再次相遇時，小亮轉(zhuǎn)身往回跑；以后的每次相遇分別是小明和小亮兩人交替調(diào)轉(zhuǎn)方向，小明速度3 米 / 秒，小亮速度 5 米 / 秒，則在兩人第30 次相遇時小明共跑了多少米？A、11250B、11350C、 11420D、 11480【答案及解析】 A。由題意知，第 1 次是迎面相遇，第2 次是背面追及相遇，之后都是迎面與背面相遇交替。則在30 次相遇中，迎面相遇15 次，背面相遇15 次。迎面相遇一次用時為 400 （3+5 ）=50 ，背面相遇一次用時為400 （5-3 ）=200 ，則 30 次相遇共用時為15 （50+200 ）=3750s ，則小時在這段時間里跑的路程為3750 3=11250米。【例 3】甲、乙兩人分別從一圓形場地的直徑兩端點同時開始以勻速按相反方向繞此圓形路線運動，當乙走了100 米以后，他們第一次相遇，在甲走完一周前60 米處又第二次相遇，則這個圓形場地的周長為多少米？A、320B、360C、420D、480【答案及解析】 D。如下圖，假設(shè)甲、乙分別在直徑A 、B 兩端以順時針和逆時針運動。第1 次相遇在 C點距 B點 100 米，第 2 次相遇在 D 點，距 A 點