研究背景及意義

1、特征值與特征向量的應(yīng)用矩陣的特征值和特征向量理論在經(jīng)濟分析、生命科學(xué)和環(huán)境保護等領(lǐng)域都有著廣泛而重要的應(yīng)用。因此研究特征值問題的應(yīng)用具有重要價值。應(yīng)用一 特征值與特征向量在處理數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用例1設(shè)k階線性循環(huán)數(shù)列 Xn滿足遞推關(guān)系：Xn=C1 Xn j+c2 Xn_2+ + Ck xn 上，(n=k+1,k+2,)其中 c (i=1,2,k)是常數(shù),且 ck 豐 0。Xn =C1Xn-C2Xn CrX.上Xn d = Xn d可表示為矩陣形式:xnXnXndCi10C201Ck00Xn/Xn _k 1f、XnC2Ckd.Ckf、10 00XnXn4X2Xnd,A=01 00,XnA =lxn

2、 _kH1)<00 10lXn_k 丿Xn_k 1 =那么可寫成:Xn _k 1 - AX n -k由式遞推得Xn =A2其中X1 =Xk,Xk4,，X2, xj，于是求通項Xn ,就歸結(jié)為求Xn斗1，也就是求An*如果A可對角化，即存在可逆矩陣P,使得PAP二上.那么Anq< = Ptn*P',由于1 - G - C2- Ck _i- Q-1 0 0-1 0 0從第一列開始每一列乘以0 0 -1-q_ q - c：'Q kA" k_2九_q托一,kr k_1Ck-_c-10000-10000-10加到后一列上，就得到如下行列式:kk d=扎 _Ci扎扎一

3、Ck假設(shè)是A的特征值，顯然有R，E-A二k1 ,那么齊次線性方程組E-A X=0的根底解系中只含有一個向量。因此當(dāng)A有k個特征值i2,時,這k個特征值對應(yīng)的特征向量分別為 R,R,Pk ,由這k個特征向量為列構(gòu)成的方陣 記為P，那么P是可逆的，并且PAP二上.r '0 0其中0?一20 A =U a M < AA A.00 j例1 設(shè)數(shù)列x,滿足遞推關(guān)系:Xn =2Xn_i+Xn/ -2Xn： n 色 4 ，并且 *=1, X? = -2, X3 = 3,求通項XnI Xn - 2Xn_1 Xn _2 - 2Xn_3解：，n 是三階循環(huán)數(shù)列，將方程組XnXn用矩陣表示為:Xn,

4、= Xn,-Xn 1'21-2、'Xn 212、Xn _1=100Xn/，令A(yù) =100.010丿1°1°并由上式遞推得:由Z323 _22 2 _ - 0,X2,其中 Xi = 1,X2 = -2, X3 = 3。得A的特征值為：i =1再由特征方程E-A X =0 i =1,2,3解得對應(yīng)于A的特征值dbl線性無關(guān)的特征向量分別為:11'"-336、q00、1-12貝u p=1-32,A= P0-1061b<202<0023-3 -1令 P =Ip,P2,P3】 =P",ndn2n100、nAAn； = P0_10

5、PS16 1<0021代入6式得:亠，nd-3 -1 i_. nd-3 -1 i+(1)n3-3 -1nd6 + 2(1)-26 + 2(-1廠-2心2n，n -13_3(-1 )6 + 2(_1廠_22Xn J-3n _3nnT _2n X33-3 -1 X26 2 -1-2n 洛6 一9 11 -1 L-111 T4R =1,P?=-1,P3 =2I-1 一i i1 一i1_i611600161160例2 計算n階行列式Dn =016116000000 0 0 0 00 00 00 06 111 6解 將Dn按第一行展開得：Dn =6Dn-IIM - 6皿!3其中M!2與皿!3分別是

6、元素與的余子式，再將它們分別按第一列展開得:Dn =6Dn-11Dn _2 ' 6Dn _3那么hn 1是三階線性循環(huán)數(shù)列將方程組Dn = 6 Dn J 11Dn_26 DDn J = Dn JDn _2二 Dn _2表示成矩陣形式為：D (6Dn 4-1101-11016)D J00丿LDn：6、00>Dn -2由上式遞推得:DDn J.Dn<Dn<=A2A nJ -二 AD2由九E-A=0解得A的特征值為：站=1,再由、E-A X =0P,1JJP24J JP39jj令 P - lP1P2P31 二j1：19131012-86， A =廠13-2 一10 0心10

7、2 0P-* = P 0【°0 3一5-6200P0 22* _3An" =P0 00 P-3n'-12n -3nJ-1 2nJ5 2n 2 3n-6 6 2n J - 2 -3nJ5 _2n* +3n_L _6 +6，2n 2 -35_2n 乜心6 + 6，2心2 3心由(7)式可得:Dn 1 牡廠1 - 2n _3心 D3 5 _22 3n D2 -6 62_2 -3nJ將D3 =90,D25,D6代入上式得：1 3n 2 Dn J -2" 2 3 2 2應(yīng)用二 特征值與特征向量在FSK信號檢測中的應(yīng)用在現(xiàn)行的移頻自動閉塞系統(tǒng)中，F(xiàn)SK移頻信號主要由國

8、產(chǎn)的 YP FSK信號和從法國引進的UT FSK信號組成。FSK信號集中在以載頻為中心的有限頻率范圍內(nèi)，低頻頻率間隔很小。因此，移頻信號檢測需要具有相對較高的頻率分辨率，并且還 必須具備很高的實時性。目前采用的檢測方式是對信號進行欠采樣，再利用傅立葉變換進行檢測；或者利用Burg算法等現(xiàn)代譜分析方法進行信號檢測。但是由于這些算法都存在著自身的 缺點：如傅立葉變換要提高頻率分辨率就需要相應(yīng)的增加FFT長度，或者盡量降低AD轉(zhuǎn)換器的采樣速率，在精度確定的情況下必定要犧牲實時性。又如Burg算法對于 噪聲特別敏感，有時候可能會出現(xiàn)譜線分裂的現(xiàn)象，且不容易找到適宜的階次，從 而導(dǎo)致偽峰的出現(xiàn)。在研究了

9、車載FSK信號的特征、小軌信號的定義以及小軌預(yù)報警的原理后，我們進行了實際的檢測實驗。最后給出檢測試驗的結(jié)果，結(jié)果說明它在FSK信號小軌信號檢測中非常有效。2.1 FSK信號的特征假設(shè)FSK信號可用周期信號s (t)表示，那么描述FSK信號的一般數(shù)學(xué)形式為：s(t)二Acos2二f(t) (t),0乞t汀。式中：f(t)為鍵控頻率;T為空鍵信號的周期;f (t)(t)為瞬時相位。根據(jù)FSK信號的定義，鍵控頻率f (t)的瞬時表達(dá)式為T fh ； 0- t2Tf e ;t ： T2式中：fo為FSK信號的中心載頻;fh和fe分別為FSK信號的上下頻偏頻率; f為信號頻偏，它與移頻器的靈敏度和鍵控

10、信號的幅值成正比。鐵路FSK信號中，不同的載頻、頻偏 f及基帶頻率都代表了不同的控制信息。其中載頻頻率范圍為550Hz2600Hz,頻偏為11Hz55Hz,基帶調(diào)制頻率為7Hz 26Hz,信號的有效帶寬小于500Hz。實際信號卻更加復(fù)雜，在我國現(xiàn)行的移頻自動閉塞系統(tǒng)中，同一段軌面存在著兩個FSK信號的疊加，其中一個FSK信號作為機車主信號傳輸，而另外一個 FSK 信號即為了鐵軌預(yù)警的小軌信號。例如實際傳輸?shù)男盘枮椋簜鬏斨蓄l為1700Hz的FSK信號和一個中頻為2300Hz的FSK信號，但由于串?dāng)_過來的信號有衰減，所以 兩個FSK信號幅度比值往往高達(dá)15： 1 20: 1。這個小幅度的串?dāng)_信號稱

11、為小軌 道信號，簡稱小軌信號。在實際的信號檢測中需要將大小兩個頻率都檢測出來。在 整個過程中，精確檢測幅度小的 FSK信號(小軌信號)將是整個檢測過程的重點。 小軌信號的實際作用是：如果鐵道發(fā)生斷裂，那么無法檢測到小軌信號，通過對小軌 信號的檢測，可以預(yù)先對于鐵軌的斷裂作出報警。因此引入小軌信號起到了預(yù)警的 作用極大地保障鐵路運輸?shù)钠桨病?.2 基于特征向量的功率譜估計目前常用的基于FFT算法的非參數(shù)功率譜估計在實際應(yīng)用中，為了獲取必要的 頻率分辨率通常都需要記錄較長的數(shù)據(jù)，同時加窗必然存在功率泄漏和頻率混疊使 接收的弱信號被掩蓋，因此這種經(jīng)典方法不適用于處理短數(shù)據(jù)。近年來在實現(xiàn)高分辨率譜估計

12、技術(shù)方面取得了很大的進展，提出了許多功率譜 估計的參數(shù)方法，統(tǒng)稱為近現(xiàn)代譜估計法。其根本思想是在進行譜估計過程對觀測 的有限數(shù)據(jù)不作任何確定性假設(shè)?；谔卣飨蛄康墓β首V估計是基于參數(shù)建模的功率譜估計的一種，屬于現(xiàn)代譜 估計方法。其方法主要是基于矩陣特征分解的功率譜估計，它將相關(guān)矩陣的特征向 量空間分解為信號子空間和噪聲子空間，特征向量譜估計是基于噪聲子空間的功率 譜估計。2.3 特征向量功率譜估計由于信號向量e和噪聲空間的各個向量VmVm書，Vp*都是正交的，因此和它/ P+、們的線性組合也是正交的，即：；送akVk =0 i=1,2,，MT，那么有:IkdM 卅J令：e嚴(yán):-|1,exp j

13、 ,，exp j -pP 1e i= 'k=M +-p卅j -aMVj_kdM 1當(dāng)時，上式應(yīng)為零。因此信號的功率譜可以表示為:1pPi2送ak eH 國k =M 1令上式中的系數(shù)ak丄，其中 k為噪聲子空間相關(guān)矩陣的特征向量值,k =M 1/ , P 1,那么所得功率譜就是特征向量估計，即:1 f p+ 1、eH Z ' VkVkH e® 2.4 功率譜估計中信號與噪聲子空間維數(shù)估計理論上講對于P 1 P 1維的自相關(guān)矩陣Rp 1，假設(shè)信號空間的維數(shù)為M，那么有P M個最小且相等的特征值，即-M =二中1，因此通過判斷其最小的特征值的重復(fù)個數(shù)，即可確定其噪聲空間的維

14、數(shù)，但是由于子相關(guān)矩陣式是由有限長數(shù) 據(jù)估計出來的，因此其特征值不可能完全相等，所以擴展基于MDL準(zhǔn)那么估計信號與 噪聲空間的維數(shù)。設(shè)信號x n由m個復(fù)正弦加白噪聲組成，其長度為 N。取其自相關(guān)函數(shù)的最大延遲為P -1，其P P維的自相關(guān)矩陣由p個特征值，按次序排列，有'1 '2 V 心?；贛DL準(zhǔn)那么的信號與噪聲空間維數(shù)估計表達(dá)式如下：(p-p1 NMDL m - - lg1m 2pm lg Nn嚴(yán)i =m 卅1 p z片 p m is*取最小的MDL(m),m=0,1,p-1所對應(yīng)的m作為信號子空間維數(shù)的估計。而基 于MDL準(zhǔn)那么給出的估計是延遲m的一致估計。應(yīng)用三特征值

15、與特征向量在經(jīng)濟與環(huán)境中的應(yīng)用經(jīng)濟開展與環(huán)境污染是當(dāng)今世界亟待解決的兩個突出問題.為研究某地區(qū)的經(jīng)濟開展與環(huán)境污染之間的關(guān)系，可建立如下數(shù)學(xué)模型 ：設(shè)xo，yo分別為該地區(qū)目前的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟開展水平 ，為，%分別為該地區(qū)假設(shè)干年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟開展水平，且有如下關(guān)系：f、Xo，a 1 =f 、x.A =3 1'創(chuàng)02<22IX1 = 3xo ' yoy1 = 2 Xo yo：0那么上述關(guān)系的矩陣形式為：:A 0.此式反映了該地區(qū)當(dāng)前和假設(shè)干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟開展水平之間的關(guān) 系。那么由上式得:-1-A：:。3 i Yr<2汰14=4S丿1)J&qu

16、ot;0由此可預(yù)測該地區(qū)假設(shè)干年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟開展水平。般地，假設(shè)令Xt，yt分別為干地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平與經(jīng)濟開展水平，那么經(jīng)濟開展與環(huán)境污染的增長模型為:t = 1,2,kf > Xt at =屏丿那么上述關(guān)系的矩陣形式為:t = Atd, t =1,2,k% = A%,2由此，有°2 = A% = A«0,掃3 = A2 = A«0,a t =14 = A o由此可預(yù)測該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟開展水平。下面作進一步地討 論：由矩陣A的特征多項式I n丸一3 1九E-A=九 _4九 _11-2九-2得A的特征值為： =4,，2 =11

17、對人=4，解方程組4E-AX=O得特征向量：訂丿(1 、 對対=1，解方程組(EA)X=O得特征向量：口2 =(-2丿顯然，! ,2線性無關(guān)下面分三種情況分析：Case 1a0=0 1 1由8及特征值與特征向量的性質(zhì)知,=At 1=4t: t 二 Au 0r此式說明：在當(dāng)前的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟開展水平的前提下，t年后，當(dāng)經(jīng)濟發(fā)展水平到達(dá)較高程度時，環(huán)境污染也保持著同步惡化趨勢。Case 2 口0 ="2 =丁 y0 =-2<0，二不討論此種情況。廠2丿1 )Case 3 a0 =v «0不是特征向量，二不能類似分析。Q丿但是：0可以由1，2唯一線性表出為：>0=

18、3 1-2 2由8及特征值與特征向量的性質(zhì)：:t = Al 0 = At(3 4 - 2 2 3 At 2 At 2.t'1(3 山 - 2 -2 1=| +1一2V3 -4 + 4 =3'1t 1 - 2 ' 2t= 3 4t即f 、 Xt13 4 -2=1 tg13 4 +4 丿由此可預(yù)測該地區(qū)t年后的環(huán)境污染水平和經(jīng)濟開展水平。2因無實際意義而在Case 2中未作討論，但在Case 3的討論中仍起到了重要作用由經(jīng)濟開展與環(huán)境污染的增長模型易見，特征值和特征向量理論在模型的分析和研究中獲得了成功的應(yīng)用。應(yīng)用四特征值與特征向量在種群繁殖問題中的應(yīng)用萊斯利種群模型研究動

19、物種群中雌性動物的年齡分布與數(shù)量增長之間的關(guān)系。設(shè)某動物種群中雌性動物的最大生存年齡為I 單位：年，將區(qū)間0, L作n等 分得n個年齡組：丄丨,i =1,2,，n,IL n n每個年齡組的長度為：-n設(shè)第i個年齡組 l,-l的生育率即每一雌性動物平均生育的雌性幼體的數(shù)IL n n目為a,，存活率即第i個年齡組中可存活到第i J個年齡組的雌性動物的數(shù)目與 第i個年齡組中雌性動物的總數(shù)之比為 b。令xpl xi003丿X 0即為初始時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量。k取tk = I, k= 1,n設(shè)在時刻tk該動物種群的第i個年齡組中雌性動物的數(shù)目為Xik , i=1,2,n乂 r令xt=

20、xf , k=1,2,那么x k即為時刻tk該動物種群中雌性動物的年齡分布向量。 顯然，隨著時間的變化，該動物種群的各年齡組中雌性動物的數(shù)目會發(fā)生變化。易知，時刻tk該動物種群的第一個年齡組中雌性動物的數(shù)目等于在時段tkjtk內(nèi)各年齡組中雌性動物生育的雌性幼體的數(shù)目之和，即：xf )= xf 二)印 + xf 二)& + + xf °)an =耳 x(k，)+a2xf)+ an*')又tk時刻該動物種群的第1個年齡組中雌性動物的數(shù)目等于 tkd時刻第i個年 齡組中雌性動物的存活量，即：xA)= x/°)匕=b£kPi =1,2,n1聯(lián)立兩方程得：x

21、/)= a1x/k)+ a2x2k_1)+ anx(k_l1你)=biXi(k° ,i =1,2,n -1x(k )= a x(T)+ a x仁 1)+ + a. x；丿+咼乂"1 ) xk)= b *)dk)w)anan I0000bnd0a1 a2b10令萊斯利矩陣L = 0 b20 0那么 X kl=LX 2,k =1,2,于是 X 1 二 LX 0 ,X2 "X1 =l2x0,x lx2= 3l X0,由此，假設(shè)初始時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量X 0，那么可計算出tk時刻該動物種群中雌性動物的年齡分布向量xk,從而對該動物種群中雌性動物的數(shù)量作出

22、科學(xué)的預(yù)測和分析。例 設(shè)某動物種群中雌性動物的最大生存年齡為15年，且以5年為間隔將雌性動物分為3個年齡組0,5,5,10,10,15。由統(tǒng)計資料知，3個年齡組的雌性動物的生 育率分別為0, 4, 3,存活率分別為0.5，0.25, 0,初始時刻3個年齡組的雌性動物 的數(shù)目分別為500, 1000, 500。試?yán)萌R斯利種群模型對該動物種群中雌性動物的 年齡分布和數(shù)量增長的規(guī)律進行分析。角牛：1 =15, n =3, ai =0, =4, =3, b =0.5, b? =0.25,b3 二 0z500 ' xC)= 1000 , L,500 ' 0那么 X°)=LX(

23、0)= 0.5<0r 0Xf)= LX。)= 0.5L 0 043 x0.50000.25043 '勺00 '*5500、001000=2500.250<500<250 丿435500、1750、00250=27500.250.250 62.5= LkX°F面求Lk由矩陣L的特征多項式:XE L =-0.5-0.25得L的特征值為,2對-I，解方程組|e-l二0得特征向量:<18；對 |二一35，解方程組JWe_l "0得特征向量:36 -16J5 '-14 +6亦對壬衛(wèi)，解方程組5E -L X =0得特征向量:-36-16&

24、#174; 14 6,5令矩陣p mm,3 =1131118那么P可逆，且于是36-16、5-14 6、5P1-36-16、一514 6、5kX=LkX0=P>2PX0= p/l«2<>3|1 !<>3丿從而px0=pPX 0 = ；PP-1X 0=kP1131<1836-16、5-14 65-36-167514 + 6書5001000500919-15-8.538015-8.53802719-5-9一5760-55760819255 117.5380-255-117 5380廣5001000曲0027500、kZ-219<1. k 、= p

25、5875 2500 5196125-2900 519有丄xOp12750019 5875 + 25005196125-2900519兩邊取極限得:=P limk_L:27500-P27500195875 2500.5196125-2900、51927500195875+2500亦196125-2900亦i 19195875 2500 5196125-2900.51927500 '190=(602030(2750019)00邊119于是，當(dāng)k充分大時,1k127500X k :-27500 ；：19由此式知，在初始狀態(tài)下，經(jīng)過充分長的時間后，該動物種群中雌性動物的年齡分布將趨于穩(wěn)定，即3

26、個年齡組中雌性動物的數(shù)目之比為1：丄丄，且該時刻該3 18動物種群的3個年齡組中雌性動物的數(shù)目分別為：275003丫 2 7 5 0 022 7 5 0 0 丫3， , 一 , -192 丿5 7<23 4 22且其總和為：34375017112 丿程序和計算結(jié)果：為了計算五年后、十年后、十五年后農(nóng)場中動物的數(shù)量，輸入初始數(shù)據(jù)和萊斯利矩陣在MATLAB中鍵入下面命令：x0=500;1000;500;A=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0;x仁 A*x0x2=A*x1x3=A*x2x4=A*x3可得數(shù)據(jù)結(jié)果x1 = 7000 500 250x2 = 2750 3500 125x3

27、= 14375 1375 875x4 = 1.0e+0038.1250 7.1875 0.3438(x4的數(shù)據(jù)結(jié)果中，1.0e+003是科學(xué)計數(shù)法，表示用103乘后面的每一個數(shù))為了計算萊斯利矩陣的特征值，鍵入下面命令eig(A)得數(shù)據(jù)ans =1.5000 -1.3090 -0.1910這說明矩陣A的唯一正特征值為 =1.5為了驗證 x(k1)x(k)運行下面程序x=500;1000;500;d1=1.5;A=0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0;y=A*x;y1= d1*x;k=1;while max(abs(y-y1)>.1x=y;y=A*x;y1= d1*x;k=k+1;end可知，當(dāng)k=291時，有結(jié)論X(k1)、X(k)成立。問題解答與進一步思考：根據(jù)數(shù)學(xué)模型計算結(jié)果如表1所示：表1計算結(jié)果k現(xiàn) 在k=1 5 年后k=2 10年后k=315 年后k=4 20 年后1x1000700027501437581252x1000500350013757187.53x1000250125875343.8從表中數(shù)據(jù)變化，如果沒有其它的原因，估計農(nóng)場的動物總數(shù)量會逐步增加當(dāng)k=291可以得到如下結(jié)論x = 1.0e+05