第24屆全國中學(xué)生物理競賽決賽試題及詳細(xì)解答

1、第24屆全國中學(xué)生物理競賽決賽試題2007年11月寧波理論部分、A，B , C三個剛性小球靜止在光滑的水平面DCO上.它們的質(zhì)量皆為 m ,用不可伸長的長度皆為 I的柔軟輕線相連，AB的延長線與BC的夾角a= n/3，如圖所示在此平面內(nèi)取正交坐標(biāo)系Oxy ,A I原點O與B球所在處重合，x軸正方向和y軸正方 O向如圖另一質(zhì)量也是 m的剛性小球 D位于y軸上，沿y軸負(fù)方向以速度V0 （如圖）與B球發(fā)生彈性正碰，碰撞時間極短.設(shè)剛碰完后,連接A , B , C的連線都立即斷了.求碰后經(jīng)多少時間，D球距A , B , C三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心最近.為了近距離探測太陽并讓探測器能回到地球附近，可發(fā)射一艘

2、以橢圓軌道繞太陽運行的攜帶探測器的宇宙飛船， 要求其軌道與地球繞太陽的運動軌道在同一平面內(nèi)，軌道的近日點到太陽的距離為 0.01AU （ AU為距離的天文單位， 表示太陽和地球之間的平均距離：1AU =1.495 X1011 m）,并與地球具有相同的繞日運行周期（為簡單計，設(shè)地球以圓軌道繞太陽運 動）.試問從地球表面應(yīng)以多大的相對于地球的發(fā)射速度U0 （發(fā)射速度是指在關(guān)閉火箭發(fā)動機(jī)，停止對飛船加速時飛船的速度）發(fā)射此飛船，才能使飛船在克服地球引力作用后仍在地球繞太陽運行軌道附近（也就是說克服了地球引力作用的飛船仍可看做在地球軌道上）進(jìn)入符合要求的橢圓軌道繞日運行？已知地球半徑Re = 6 .3

3、7 >106 m，地面處的重力加速度 g =2 9.80 m / s，不考慮空氣的阻力.三、如圖所示，在一個豎直放置的封閉的高為H、內(nèi)壁橫截面積為 S的絕熱氣缸內(nèi)，有一質(zhì)量為m的絕熱活塞A把缸內(nèi)分成上、下兩部分.活塞可在缸內(nèi)貼缸壁無摩擦地上下滑動.缸內(nèi)頂部與A之間串聯(lián)著兩個勁度系數(shù)分別為k1和k2（ k1工k2）的輕質(zhì)彈簧.A的上方為真空；A的下方盛有一定質(zhì)量的理想氣體已知系統(tǒng)處于平衡 狀態(tài)，A所在處的高度（其下表面與缸內(nèi)底部的距離） 與兩彈簧總共的壓縮量相等皆為hi = H / 4 現(xiàn)給電爐絲R通電流對氣體加熱，使 A從高度hi開始上升，停止加 熱后系統(tǒng)達(dá)到平衡時活塞的高度為h2 =

4、3H / 4 .求此過程中氣體吸收的熱量 Q 已知當(dāng)體積不變時，每摩爾 該氣體溫度每升高1 K吸收的熱量為3R / 2 , R為普適 氣體恒量在整個過程中假設(shè)彈簧始終遵從胡克定律.四、為了減少線路的輸電損耗，電力的遠(yuǎn)距離輸送一般采用高電壓的交流電傳輸方式.在傳輸線路上建造一系列接地的鐵塔，把若干絕緣子連成串（稱為絕緣子串，見圖甲），其上端A掛在鐵塔的橫臂上，高壓輸電線懸掛在其下端B 絕緣子的結(jié)構(gòu)如 圖乙所示：在半徑為Ri的導(dǎo)體球外緊包一層耐高壓的半球形陶瓷絕緣介質(zhì)，介質(zhì)外是一內(nèi)半徑為R2的半球形導(dǎo)-時，介質(zhì)中離球心O的距離為r處的場強(qiáng)體球殼.已知當(dāng)導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼間的電壓為R1 R2 U為E

5、= -2，場強(qiáng)方向沿徑向.BR2 Ri r3#圖甲圖乙1. 已知絕緣子導(dǎo)體球殼的內(nèi)半徑R2 = 4.6 cm，陶瓷介質(zhì)的擊穿強(qiáng)度Ek = 135 kV /cm 當(dāng)介質(zhì)中任一點的場強(qiáng) E > Ek時，介質(zhì)即被擊穿，失去絕緣性能.為使絕緣子所能承 受的電壓（即加在絕緣子的導(dǎo)體球和導(dǎo)體球殼間的電壓）為最大，導(dǎo)體球的半徑Ri應(yīng)取什 么數(shù)值？此時，對應(yīng)的交流電壓的有效值是多少?2. 個鐵塔下掛有由四個絕緣子組成的絕緣子串（如圖甲），每個絕緣子的兩導(dǎo)體間有電容Co .每個絕緣子的下部導(dǎo)體（即導(dǎo)體球）對于鐵塔（即對地）有分布電容Ci （導(dǎo)體球與鐵塔相當(dāng)于電容器的兩個導(dǎo)體極板，它們之間有一定的電容，這種

6、電容稱為分布電容）；每個絕緣子的上部導(dǎo)體（即導(dǎo)體球殼）對高壓輸電線有分布電容C2 若高壓輸電線對地電壓的有效值為Uo .試畫出該系統(tǒng)等效電路圖.3. 若Co = 70 pF = 7 10 t1 F , Ci = 5 pF , C2 = 1 pF，試計算該系統(tǒng)所能承受的最大 電壓（指有效值）.五、如圖所示，G為一豎直放置的細(xì)長玻璃管，以其底 端O為原點，建立一直角坐標(biāo)系 Oxy , y軸與玻璃管的 軸線重合.在x軸上與原點O的距離為d處固定放置一 電荷量為Q的正點電荷A , 一個電荷量為q（q>0）的 粒子P位于管內(nèi)，可沿y軸無摩擦地運動.設(shè)兩電荷之 間的庫侖相互作用力不受玻璃管的影響.1

7、. 求放在管內(nèi)的帶電粒子 P的質(zhì)量m滿足什么條 件時，可以在 y>0的區(qū)域內(nèi)存在平衡位置.2. 上述平衡狀態(tài)可以是穩(wěn)定的，也可能是不穩(wěn)定的；它依賴于粒子的質(zhì)量 m.以y（m）表示質(zhì)量為 m的粒子P處于平衡位置時的 y坐標(biāo).當(dāng)粒子 P處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，y （m） 的取值區(qū)間是 ;當(dāng)粒子P處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)時，y（m）的取值區(qū)間是 （請將填空答案寫在答題紙上）.3. 已知質(zhì)量為 mi的粒子P處于穩(wěn)定平衡位置，其 y坐標(biāo)為yi .現(xiàn)給P沿y軸一微小 擾動.試證明以后的運動為簡諧運動，并求此簡諧運動的周期.4已知質(zhì)量為m2的粒子P的不穩(wěn)定平衡位置的 y坐標(biāo)為y，現(xiàn)設(shè)想把P放在坐標(biāo) 亞 處， 然

8、后從靜止開始釋放 P.求釋放后P能到達(dá)玻璃管底部的所有可能的 y3 （只要列出y3滿足 的關(guān)系式，不必求解）.4六、如圖所示，一半徑為R、折射率為%的透明球體置于折射率no =1的空氣中，其球心位于圖中光軸的O處，左、Oi右球面與光軸的交點為 Oi與。2 .球體/右半球面為一球面反射鏡，組成球形反-射器.光軸上 Oi點左側(cè)有一發(fā)光物點 P , P點到球面頂點 Oi的距離為s .由P點發(fā)出的 光線滿足傍軸條件，不考慮在折射面上發(fā)生的反射.1問發(fā)光物點P經(jīng)此反射器，最后的像點位于何處？2當(dāng)P點沿光軸以大小為v的速度由左向右勻速運動時，試問最后的像點將以怎樣的 速度運動？并說明當(dāng)球體的折射率ng取何

9、值時像點亦做勻速運動.七、已知鈉原子從激發(fā)態(tài)（記做 P3 / 2）躍遷到基態(tài)（記做Si /2 ）所發(fā)出的光譜線波長 瓜=588.9965 nm 現(xiàn)有一團(tuán)鈉原子氣，其中的鈉原子做無規(guī)的熱運動（鈉原子的運動不必考慮相對論效應(yīng)），被一束沿z軸負(fù)方向傳播的波長為入=589.0080 nm的激光照射.以B表示鈉原子運動方向與 z軸正方向之間的夾角（如 圖所示）問在30° V 0 V45°角度區(qū)間 內(nèi)的鈉原子中速率 u在什么范圍內(nèi)能產(chǎn)生共振吸收，從Si / 2態(tài)激發(fā)到P3 / 2態(tài)？并求共振吸收前后鈉原子速度（矢量）變化的大小.已知鈉原子質(zhì)量為M = 3.79 Xi026 kg，普朗克

10、常_ 348_ i量 h = 6.626069 Xi0_ J ?s，真空中的光速 c = 2.997925 Xi0 m ?s_ .激光束5第24屆全國中學(xué)生物理競賽決賽參考解答D球的速度1分析剛碰后各球速度的方向由于D與B球發(fā)生彈性正碰，所以碰后方向仍在y軸上；設(shè)其方向沿 y軸正方向,大小為v .由于線不可伸長，所以在 D , B兩球相碰的過程中， A , C兩球都將受到線給它們的沖量；又由于線是柔軟的，線對A ,C兩球均無垂直于線方向的作用力，因此剛碰后，A球的速度沿AB方向，C球的速度沿CB方向.用B表示B球的速度方向與x軸的06夾角，則各球速度方向?qū)⑷?圖所示因為此時連接 A , B ,

11、 C三球的兩根線立即斷了，所 以此后各球?qū)⒆鰟蛩僦本€運動.2. 研究碰撞后各球速度的大小.以vi , V2 , V3分別表示剛碰后 A , B , C三球速度的大小，如圖所示因為碰撞過程中動量守恒，所以沿x方向有mvi mv3 cosa+ mv2 cos 0= 0 ;(1)沿y方向有(2)mvo = mv mv2 sin 0 mv3 sin a .根據(jù)能量守恒有1 2_2mvo_1 2 1 2 mv + 一 mv” +2 1 2 21 22mv3 +1 2mv2(3)因為碰撞過程中線不可伸長,B , C兩球沿BC方向的速度分量相等， A , B兩球沿AB方向的速度分量相等，有v2 COs 0_

12、 v1 ,v2 COs n ( a+ 0) _ v將a_ n/ 3代入，由以上各式可解得.3 vo12216vo73-v3 _ 丁vo ,(4)(5)(6)(7)(8)(9)1v = _V043. 確定剛碰完后，A , B , C三球組成的系統(tǒng)質(zhì)心的位置和速度.由于碰撞時間極短，剛碰后A，B，C三球組成的系統(tǒng)，其質(zhì)心位置就是碰撞前質(zhì)心的位置，以（xc，yQ表示此時質(zhì)心的坐標(biāo)，根據(jù)質(zhì)心的定義，有Xc =ml cos a ml3mml sin a yc =代入數(shù)據(jù)，得Xc =yc=根據(jù)質(zhì)心速度的定義，可求得碰后質(zhì)心速度Vc的分量為mvi + mv2 cos mv3 cos avcy =3m mv2

13、 sin 0 mv3sina3m由（4）（7）和（14）, （15）各式及a值可得vcy =12v0(10)(11)(12)(13)(14)(15)(16)(17)7#4. 討論碰后 A , B , C三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心和D球的運動.剛碰后 A , B , C三球組成的系統(tǒng)的質(zhì)心將從坐標(biāo)（xc = l / 6 , yc = ；3l / 6 ）處出發(fā)，沿y軸負(fù)方向以大小 為5 v0 / 12的速度做勻速直線運動；而 D球則從坐標(biāo)原點 O出發(fā)，沿y軸正方向以大小為 v。/ 4的速度做勻速直線運動. A , B , C三球組成系統(tǒng)的質(zhì)心與 D球是平行反向運動，只要D球與C球不發(fā)生碰撞，則 vc ,

14、 vd不變，質(zhì)心與 D球之間的距離逐漸減少到 y坐標(biāo)相同處時，它們相距最近用t表示所求的時間，則有(18)vt = yc + vcy t將vcy , v , yc的值代入，得J 314vo此時，D球與A , B , C三球組成系統(tǒng)的質(zhì)心兩者相距（19）l / 6 .在求出（19）式的過程中，假設(shè)了在t =；3l / 4vo時間內(nèi)C球未與D球發(fā)生碰撞下面說明此假設(shè)是正確的;因為v3 = p3vo/ 3，它在x方向分量的大小為v'vo / 6 .經(jīng)過t時間，它沿x軸負(fù)方向經(jīng)過的距離為I / 8 而C球的起始位置的x坐標(biāo)為I / 2 經(jīng)t時間后，C球尚未到達(dá)y軸, 不會與D球相碰.從地球表面

15、發(fā)射宇宙飛船時，必須給飛船 以足夠大的動能，使它在克服地球引力作用后， 仍具有合適的速度進(jìn)入繞太陽運行的橢圓軌 道.此時，飛船離地球已足夠遠(yuǎn)，但到太陽的 距離可視為不變，仍為日地距離.飛船在地球 繞太陽運動的軌道上進(jìn)入它的橢圓軌道，用E表示兩軌道的交點，如 圖1所示.圖中半徑為 rse的圓A是地球繞太陽運行的軌道，太陽S位圖1于圓心.設(shè)橢圓 B是飛船繞日運行的軌道，P為橢圓軌道的近日點.由于飛船繞日運行的周期與地球繞日運行的周期相等，長軸a應(yīng)與日地距離rse相等，即有a = rse根據(jù)橢圓的性質(zhì)，軌道上任一點到橢圓兩焦點的距離之和為根據(jù)開普勒第三定律， 橢圓的半(1)2a，由此可以斷定，兩軌道

16、的交點E必為橢圓短軸的一個頂點，E與橢圓長軸和短軸的交點 Q (即橢圓的中心) 的連線垂直于橢圓的長軸.由 ESQ，可以求出半短軸b = Ur'se ( a SP )2(2)9#由(1), (2)兩式，并將 a = rse = 1AU , SP = 0.01 AU 代入，得b = 0.141AU .(3)在飛船以橢圓軌道繞太陽運行過程中，若以太陽為參考系，飛船的角動量和機(jī)械能是守恒的.設(shè)飛船在 E點的速度為v，在近日點的速度為 Vp，飛船的質(zhì)量為 m，太陽的質(zhì)量為Ms ,則有mva si nB= mvpSP ,式中B為速度v的方向與E , S兩點連線間的夾角：sin 0= 一 .(5)

17、a由機(jī)械能守恒，得#1 2 Msm 1 2GmMs-mv G = -mvp2 a2 p(6)SP因地球繞太陽運行的周期T是已知的(T = 365 d),若地球的質(zhì)量為 Me,則有G 怦=Me ( 2n )2a . aT(7)解(3)(7)式，并代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得v= 29.8 km / s .(8)(8)式給出的v是飛船在E點相對于太陽的速度的大小，即飛船在克服地球引力作用后從E點進(jìn)入橢圓軌道時所必須具有的相對于太陽的速度.若在E點飛船相對地球的速度為u ,因地球相對于太陽的公轉(zhuǎn)速度為ve =罕=29.8 km / s ,(9)方向如圖1所示.由速度合成公式，可知V = U + Ve ,(10)

18、速度合成的矢量圖如 圖2所示，注意到Ve與ES垂直，有代入數(shù)據(jù)，得u = 39.1 km / s .u是飛船在E點相對于地球的速度，但不是所要求的發(fā)射速度(11)(12)u。.為了求得u0，可以從與地心固定連接在一起的參考系來考察飛船的運動.因飛船相對于地球的發(fā)射速度為uo時,飛船離地心的距離等于地球半徑Re .當(dāng)飛船相對于地球的速度為u時，地球引力作用可以忽略.由能量守恒，有11(13)1mu2MemRe1 22mu12(13)地面處的重力加速度為g = Gr2解(13), (14)兩式，得uo =, u2 + 2gRe由(15)式及有關(guān)數(shù)據(jù)，得uo = 40.7 km / s如果飛船在E點

19、處以與圖示相反的方向進(jìn)入橢圓軌道,時，它應(yīng)為u =+ 1- 2vVeCOS (扌 +9)(14)(15)(16)則(11)式要做相應(yīng)的改變.此(17)#(13)#(13)相應(yīng)計算，可得另一解u = 45.0 km / s , U0 = 46.4 km / s .(18)如果飛船進(jìn)入橢圓軌道的地點改在E點的對稱點處(即地球繞日軌道與飛船繞日軌道的另一個交點上)，則計算過程相同，結(jié)果不變.兩個彈簧串聯(lián)時，作為一個彈簧來看，其勁度系數(shù)k =込k1 + k2(1)設(shè)活塞A下面有vmol氣體.當(dāng)A的高度為h1時，氣體的壓強(qiáng)為 p1 ,溫度為T1 .由理想氣體狀態(tài)方程和平衡條件，可知p£h1 =

20、 VRT1 ,(2)p1S= kh1 + mg .(3)對氣體加熱后，當(dāng) A的高度為h2時，設(shè)氣體壓強(qiáng)為 P2 ,溫度為T2 由理想氣體狀態(tài)方程和平衡條件，可知P2Sh2 = VRT2 ,(4)P2S= kh2 + mg .(5)在A從高度h1上升到h2的過程中，氣體內(nèi)能的增量3 U = v-R ( T2-).(6)氣體對彈簧、活塞系統(tǒng)做的功W等于彈簧彈性勢能的增加和活塞重力勢能的增加，即#(7)1 2 2W = 2k ( h： h2 ) + mg (h2 E ).根據(jù)熱力學(xué)第一定律，有(8)由以上各式及已知數(shù)據(jù)可求得k1k225帚甘+ 4mgH(9)四、1.根據(jù)題意,當(dāng)導(dǎo)體球與導(dǎo)體球殼間的電

21、壓為U時，在距球心r ( Ri< r v R2)處，電場強(qiáng)度的大小為R1R2UR2 R1r(1)在r = R1 ,即導(dǎo)體球表面處，電場強(qiáng)度最大.E (Ri)表示此場強(qiáng)，有R2UE ( R1) = (R2 R1) R1 .(2)因為根據(jù)題意，E ( R1)的最大值不得超過Ek ,R2為已知，故(2)式可寫為_R2UEk = 一(R2 R1) R1(3)(R2 R1) R1U = Ek R2(4)由此可知，選擇適當(dāng)?shù)?R1值，使(R2 - R1) R1最大，就可使絕緣子的耐壓U為最大不難看出，當(dāng)R1 = R2(5)時，U便是絕緣子能承受的電壓的最大值Uk .由(4), (5)兩式得(6)代入

22、有關(guān)數(shù)據(jù)，得Uk = 155 kV當(dāng)交流電壓的峰值等于Uk時，絕緣介質(zhì)即被擊穿這時，對應(yīng)的交流電壓的有效值Ue =-7= 110 kV .2(8)13(7)#(7)2系統(tǒng)的等效電路如 圖所示.#0丁壬壬壬T亠一T2c_uo3設(shè)絕緣子串中間三點的電勢分別為Ui , U2 , U3 ,如圖所示由等效電路可知，與每個中間點相連的四塊電容極板上的電荷量代數(shù)和都應(yīng)為零，即有(Ui U2)CoU1C1(UoUJCo(U 0 -U1)C0,(U2 -U3)CoU2C1-(Ui-U2)Co-(Uo -U 2)C0,(9)IU3C0 U3C1 -(U 2 -U3)Co -(Uo -U 3)C2 =0.一C16r

23、coc0co四個絕緣子上的電壓之和應(yīng)等于Uo ,即(Uo Ui ) + (Ui U2 ) + ( U2 U3 ) + U3 = Uo (10)設(shè) U 1 = Uo U 1 , U2 = U 1 U 2 , U 3 = U2 U3 , U4 = U 3 ,( 11)則可由(9)式整理得 Ui(Co Ci C2) - U2C0 -UoCi =0, Ui(CiC2) U2(Co CiC2)- U3C0 -UoCi =0, Ui(CoCi C2) U2(CoCiC2) U3(2Co CiC2) -Uo(Co Ci) =0;代入數(shù)據(jù)，得76 5-70 U2 -5U0 =0,*6 6+76 U2 -70

24、U3 -5U 0 = 0,(12)76 5+76 U2 +146 U3 - 75U0 =0.解(12)式，可得 Ui = 0.298 Uo , U2 = 0.252 Uo , U3 =0.228 Uo (13)15(14)時，此絕緣子被擊穿，整個絕緣子串損壞由（8), (13)（15）三式可知，絕緣子串承由（10）（12）式可得 U4 =U3 = 0.222 Uo以上結(jié)果表明，各個絕緣子承受的電壓不是均勻的；最靠近輸電線的絕緣子承受的電壓 最大，此絕緣子最容易被擊穿當(dāng)最靠近輸電線的絕緣子承受的電壓有效值(15) U1 =U e16(14)#(14)受的最大電壓UomaxUe0.298=369

25、kV（五、1 如圖所示，位于坐標(biāo)y處的帶電粒子P受到庫侖力Fe為斥力，其y分量為FEy = kQq sin 0 = k式中r為P到A的距離,2 2、3 / 2,（d + y ）0為r與x軸的夾角.可以(1)看出，F(xiàn)Ey與y有關(guān)：當(dāng)y較小時，（1）式分子中的y起主要作用，F(xiàn)Ey隨y的增大而增大；當(dāng)y較大時，（1 ）式分母中的y起主要作用，F(xiàn)Ey隨y的增大而減小可見,FEy在隨y由小變大的過程中會出現(xiàn)一個極大值通過數(shù)值計算法，可求得FEy隨y變化的#(14)#(14)情況令F = k Qq _FEy = k 22 3 / 2 d （ 1 + z ）整理出的數(shù)據(jù)如表當(dāng).取不同數(shù)值時，對應(yīng)的.（1 +

26、 . 2） 3 / 2的值不同.經(jīng)數(shù)值計算， 1所示.表1T0.1000.5000.6000.6500.7000.7070.7100.7500.8002 - 3 / 2T ( 1 +1 )0.09850.3560.3780.3820.3850.3850.3850.3840.381由表中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)= 0.707,即(3)y = y0 = 0.707d時，庫侖力的y分量有極大值，此極大值為#(4)F Eymax = 0.385 kd由于帶電粒子 P在豎直方向除了受到豎直向上的Fey作用外，還受到豎直向下的重力mg作用.只有當(dāng)重力的大小mg與庫侖力的y分量相等時，P才能平衡.當(dāng)P所受的重力mg大

27、于FEymax時，P不可能達(dá)到平衡.故質(zhì)量為m的粒子存在平衡位置的條件是mg w F Eymax .(4)式得(5)/ 0.385 qQm wk 2 .g di3i32.y (m) > 0.707d;Ov y (m) w 0.707d .3.根據(jù)題意，當(dāng)粒子P靜止在y = yi處時，處于穩(wěn)定平衡位置，故有Qqyi3 mig = 0 .(d* 2 - y12)2(6)設(shè)想給粒子P沿y軸的一小擾動 y，則P在y方向所受的合力為Fy = FEy mig =y y d + ( yi + y )2 3 / 2 mi g .(7)由于 y為一小量，可進(jìn)行近似處理，忽略高階小量，有Qq ( yi +

28、y )Fy = k 223 / 2d + yy + 2yd ymigQq ( yi + y )( i=k 22 3 / 2(d + yi)心)-mig/ 2d + yii3i3=kQqyi=k 22、3/2(d + ")mig .QqA y22 .3/2(d + % )23qQyQ yi3i3注意到(6)式，得Fy =2 .2mig (2yi d ) y .2 2(d + yi) yi(8)因y = yi是粒子P的穩(wěn)定平衡位置,故 y1> 0.707d , 2y1 d2> 0 .由(8)式可知，粒子P在y方向受到合力具有恢復(fù)力的性質(zhì),故在其穩(wěn)定平衡位置附近的微小振動是簡諧

29、運動;其圓頻率為(2y2 d2 )(d2 + y2) yi9 '(9)i3(10)周期為cot = 2n=222(d + y2)yi(2y2- d ) g4.粒子P處在重力場中，具有重力勢能；它又處在點電荷A的靜電場中，具有靜電勢能.當(dāng)P的坐標(biāo)為y時，其重力勢能(14)19(10)(14)#(10)W = m2gy ,式中取坐標(biāo)原點O處的重力勢能為零；靜電勢能(14)#(10)(14)#(10)d +y粒子的總勢能(11)當(dāng)y較大時，重力勢能qQ W = Wg + We = m2gy + k2 2 .x/d2 + y2勢能也與P的y坐標(biāo)有關(guān)：當(dāng)y較小時，靜電勢能起主要作用, 起主要作用

30、在 P的穩(wěn)定平衡位置處，勢能具有極小值；在 P的不穩(wěn)定平衡位置處，勢能具有極大值.根據(jù)題意，y = y2處是質(zhì)量為m2的粒子的不穩(wěn)定平衡位置，故 y = y2處，勢能具有極大值，即W ( y2 ) = Wmax=m2gy2 + k(12)(14)#(10)(14)#(10)當(dāng)粒子P的坐標(biāo)為y3時，粒子的勢能為W ( y3 ) = m2gy3 + k當(dāng)y3 v y2時，不論y3取何值，粒子從靜止釋放都能到達(dá)管底.若止釋放能夠到達(dá)管底，則有y3 > y2 ,粒子從靜W ( y) > W ( y2 )所以，y3滿足的關(guān)系式為y3 v y2 ；(13)或者y3 > y2且m2gy3

31、+ k>m2gy2 + k(14)#(10)(14)#(10)附：(1)式可表示為(14)#FEy = k 歲sin 0= kQQq2cos Osin 0式中0為P, A之間的連線和x軸的夾角.由上式可知，帶電粒子P在0= 0 , n 2時, FEy = 0 .在0 w 0W n/ 2區(qū)間，隨著0的增大，sin0是遞增函數(shù)，cos20是遞減函數(shù).在此區(qū)間內(nèi)，F(xiàn)Ey必存在一個極大值 FEymax；用數(shù)值法求解，可求得極大值所對應(yīng)得角度0 經(jīng) 數(shù)個計算整理出的數(shù)據(jù)如表 2所示.表20/ rad0. 0100.4640.5400.5760.6110.6150.6170.6440.6752cos

32、 Osin 00.0290.3670.3780.3830.3850.3850.3850.3840.381由表中數(shù)值可知，當(dāng)0= 000.615 rad （即35.26 °時，F(xiàn)Ey取極大值F Eymax =2cos 0sin 0 = 0.385 kQq孑20#帶電粒子P在豎直方向上還受到重力G的作用，其方向與 FEy相反.故帶電粒子 P受到的合力F = FEy G =kQq cos2 d0in 0 mg .當(dāng)F = 0 ,即卩FEy = G時，P處于平衡狀態(tài).由此可見，當(dāng)帶電粒子的質(zhì)量F Eymax2k(qQ / d2)cos 0sin 0m w=gg時，可以在y軸上找到平衡點.六、

33、1單球面折射成像公式可寫成n'nn' n(1)+ = s'sr式中s為物距，s'為像距，r為球面半徑，n和n '分別為入射光和折射光所在介質(zhì)的折 射率.在本題中，物點 P經(jīng)反射器的成像過程是：先經(jīng)過左球面折射成像（第一次成像）；再經(jīng)右球面反射成像（第二次成像）；最后再經(jīng)左球面折射成像（第三次成像）（1）第一次成像.令S1和s1分別表示物距和像距.因S1= s,n =n0 = 1 , n'=ng, rngS11+ S1ng 1Rsi=ngRs_1( ng - 1 ) s R(2) 第二次成像用 足表示物距，s2表示像距，有112+ = 一 s 2S

34、2r因 S = 2 R s i , r = R，由(3) , (4)兩式得(2 s + 2R ngS )R s 2 =3R + 3s ngs(3) 第三次成像.用s3表示物距，s 3表示像距，有(5)nos 3+衛(wèi)S3 no ngr(6)因 ss = 2R s'2 , no = 1,r= R，由(5), (6)兩式得(7),(4s ngS + 4R )Rs 3 =-2ngS 4s+ ngR 4R2以v'表示像的速度，則 s314( s s) - ng (s s) 4 R R(4 s - ngs 4R)R v : t t 2ng (s - s)4(s - s) ngR4R 2ng

35、s4s ngR4RL' (8)22、人-ng R s/ t2人(2 ng s 4s ng R -4 R) - s(2 n 4)(2 ng s -4s ng R -4 R)由于 s很小，分母中含有 s的項可以略去，因而有22(9)ngR SV ' =2 -(2rgs 4s + ngR 4R ) t根據(jù)題意，P從左向右運動，速度大小為 v，則有(10)由此可得，像的速度2 2ngRv2(2ngs 4s+ ngR 4R )(11)可見，像的速度與s有關(guān)，一般不做勻速直線運動，而做變速直線運動當(dāng)n=2(12)時，(11)式分母括號中的頭兩項相消，v'將與s無關(guān).這表明像也將做勻

36、速直線運動;而且(11)式變?yōu)関 ' = v，即像的速度和P的速度大小相等.21(1)七、解法一根據(jù)已知條件，射向鈉原子的激光的頻率對運動方向與 z軸正方向的夾角為0、速率為u的鈉原子，由于多普勒效應(yīng)，它接收的激光頻率,uv = v( 1 + Tcos 0)；改用波長表示，有 r -1 + cos 0c(3)發(fā)生共振吸收時，應(yīng)有入'=瓜，即=& . u1 + cos 0c(4)解（4）式，得入一瓜;ucos 0= cr(5)代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得ucos 0= 5.853 1103m ?s 1(6)由（6）式，對 0=30°的鈉原子,其速率ui = 6.76310 m對 0= 45 °的鈉原子，其速率U2 = 8.28103 m?s1運動方向與